湖南省娄底市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．满分为120分，作业时量为120分钟．
2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．
3．请你在答题卡上作答，答在本卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1. 2024的倒数是（ ）
A. B. C. 2024D. -2024
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查倒数的定义，根据乘积等于1的两个数互为倒数即可得到答案．
【详解】解：∵
∴的倒数是，
故选：D．
2. 流感病毒中甲型流感的致病力最强，该病毒的直径大约是0.000000086米，0.000000086这个数字用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位）．
【详解】解：，
故选：C．
3. 如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是（ ）

A. 中B. 考C. 胜D. 利
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正方体的展开图，解题关键是掌握“相对的面之间一定相隔一个正方形”．根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形做判断．
【详解】解：原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是“考”．
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项B根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项C根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
【详解】解：A．，故本选项不合题意；
B．，故本选项不合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不合题意；
故选：C．
5. 已知，则的值约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的正弦值和余弦值都是的的值，因此值相等．
【详解】
∴
故选：D
【点睛】此题考查锐角三角形函数值，解题关键是分清锐角三角函数中的对边，邻边和斜边分别是哪条边．
6. 如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂径定理可得，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵是的直径，弦，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键．
7. 反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 函数图象分布在第二、四象限
C. 函数图象关于原点中心对称D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，故选项正确，不合题意；
，
此函数图象的两个分支位于二四象限，故选选项正确，不合题意；
反比例函数的图象关于原点对称，故选项正确，不合题意；
反比例函数图象的两个分支位于二四象限，
当时，随着的增大而增大，故选项错误，符合题意．
故选：D
8. 植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是列分式方程．甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树，甲班植70棵树所用的时间与乙班植50棵树所用的时间相等，可列方程，即可判断出错误的选项．
【详解】解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树，
根据题意，可如甲、乙两班植树时间相同，可列方程，
故选：A．
9. 若，，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方运算及分式的化简，解题关键是理解指数幂的运算法则．逆用幂的运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴，
故选A．
10. 如图，抛物线与x轴交于点．点，是抛物线上两点，当时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先求出二次函数的对称轴，结合开口方向再分类讨论，当点P，Q均在对称轴左侧；当点P在对称轴左侧，Q在对称轴右侧时；若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，分别列式计算，即可作答．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，
当点P，Q均在对称轴左侧时，有，，
，
则，
∵m随t的增大而减小，，
∴
当点P在对称轴左侧，Q在对称轴右侧时
①若点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，有，，
，
则，
对称轴：，在对称轴左侧m随t的增大而减小，
∴
②若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，
当时，，，
则，
对称轴：，在对称轴右侧m随t的增大而增大，
∴，
∵，
∴点P，Q不可能均在对称轴右侧．
综上可得：，
故答案为D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
12. 已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角是这一关键．
设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是求出n的值即可．
【详解】解：多边形的各个内角都等于，
每个外角，
设这个多边形的边数为，则
，
解得．
故答案为：12．
13. 有一组数据：3，5，7，6，8，8，9，则这组数据的中位数是_____．
【答案】7
【解析】
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，取中间位置或中间两个数据的平均值即为这组数据的中位数．
【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列，3，5，6，7，8，8，9；
∴这组数据的中位数是7；
故答案为7．
【点睛】本题考查了中位数的求法问题，解题时应先把数据按照从大到小，或从小到大的顺序排列，再求中位数，是基础题．
14. 因式分解：_________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键．
15. 分式方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时乘以完成去分母，再按照去括号，移项、合并同类项的步骤求解，检验即可获得答案．
【详解】解：，
等号两边同时乘以，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
经检验，是该分式方程的解，
所以，该分式方程的解为．
故答案为：．
16. 两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于M，若， 则∠DMC的大小为_________．

【答案】110°##110度
【解析】
【分析】延长ED交BC于点G，利用三角形内角和定理求出∠C＝30°，∠E＝40°，再利用平行的性质求出∠EGC＝∠E= 40°，再利用三角形内角和即可求出∠DMC＝110°．
【详解】解：延长ED交BC于点G，

∵∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，
∴∠C＝30°，∠E＝40°，
∵，
∴∠EGC＝∠E= 40°，
∴∠DMC＝180°-∠EGC -∠C= 110°．
故答案为：110°
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及平行线的性质，解题的关键是求出∠C＝30°，∠E＝40°，证明∠EGC＝∠E= 40°．
17. 如图，点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上，轴，且四边形是平行四边形，则的面积为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，由平行于y轴的直线上的点横坐标相等，设出点的坐标，再根据平行四边形面积公式求解即可．
【详解】解：设，，
轴，四边形是平行四边形，
轴，，
，
，，
，
，
边上的高，
的面积，
故答案为：8．
18. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，解Rt△ABC求出AC、BC，再由勾股定理求得AD，根据三角形的面积公式求得DF，由勾股定理求得AF，再证明△DEF∽△BEC，求得EF，进而求得AE，最后由三角形面积公式求得结果．
【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴，
∵∠ADC＝90°，CD=2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是作辅助线构造相似三角形与直角三角形．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数、绝对值及负整数指数幂．根据60度角的正切值、绝对值及负整数指数幂的意义即可求得结果．
【详解】解：
．
20. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，100．
【解析】
【分析】按分式运算法则先化简分式，再代入求值．
【详解】解：原式
．
当，时．
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的基本运算法则．
21. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了_________名学生，图2中A所对应的圆心角度数为_________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50，； （2）详见解析；
（3），详见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，
（1）由的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出的人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键．
【小问1详解】
共调查的学生人数为：（名），
∴图2中A所对应的圆心角度数为：，
故答案为：；
【小问2详解】
（2）由图知，D的人数为：（人），
∴C的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
22. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）

【答案】米
【解析】
【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，

依题意， ，（米）
在中，（米），（米），则（米）
∵（米）
∴（米）
∵，
∴（米）
∴（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
【答案】（1）每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是100元，60元
（2）有5种购买方案；最低费用是8440元
【解析】
【分析】（1）每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是x元，y元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，列出方程组，求解即可；
（2）设学校需购进甲型号“文房四宝”m套，则购买乙型号“文房四宝”套，根据不等关系列出不等式组，求出，根据m取正整数，得出有5种购买方案，根据甲型号“文房四宝”的价格大于乙型号“文房四宝”的价格，得出当甲型号“文房四宝”购买数量最少时，费用最少，当时，总费用最少，求出最少费用即可．
【小问1详解】
解：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是x元，y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是100元，60元；
【小问2详解】
解：设学校需购进甲型号“文房四宝”m套，则购买乙型号“文房四宝”套，根据题意得：
，
解得：，
∵m取正整数，
∴，，，，，
∴有5种购买方案，
∵甲型号“文房四宝”的价格大于乙型号“文房四宝”的价格，
∴当甲型号“文房四宝”购买数量最少时，费用最少，
∴当时，总费用最少，且最少费用为：
（元），
答：有5种购买方案；最低费用是8440元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组．
24. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论；
（2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，且，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键．
25. 如图，O是△ABC外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
（1）求证：EB=EI；
（2）若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
【答案】（1）见解析 （2）AI=4
【解析】
【分析】（1）欲证明EB=EI，只要证明∠EBI=∠EIB；
（2）连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，证明△AEM≌△AEN和△BME≌△CNE，再利用勾股定理计算即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵I是△ABC内心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，
∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE=∠CAE，
∴∠BIE=∠EBI，
∴EB=EI；
【小问2详解】
解：连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，则EM=EN，
∵∠BAE=∠CAE，
∴=，
∴BE=EC=4．
∵AE=AE，EM=EN，
∴△AEM≌△AEN，
∴AM=AN．
∵BE=EC，EM=EN，
△BME≌△CNE(HL)，
∴BM=CN．
设BM为x，则8-x=6+x，解得x=1，即BM=1，
∴AM=7．
又∵BE=4，由勾股定理得，EM==．
∴AE==8，
∵EI=BE=4，
∴AI=AE−EI=4．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
26. 如图，抛物线：与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为．
（1）求的值及顶点的坐标；
（2）点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图1），求抛物线的表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）点的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；将点代入，即可求出的值；
（2）连接，作轴于，作轴于，证明，可得，，故抛物线的顶点的坐标为，即可得出抛物线的函数表达式；
（3）设点，作轴于，轴于，于，根据旋转可得，进而可得点的坐标为，点的坐标为，再分类讨论即可得出答案．
小问1详解】
解：由，可得，
∴顶点的坐标为，
∵点在抛物线上，
∴可得，
解得；
【小问2详解】
对于抛物线：，由（1）可知，，
令，可得，
整理可得，
解得，，
∵点在点的左侧，
∴，；
如下图，连接，作轴于，作轴于，
∵，
∴，
根据题意，点，关于点成中心对称，
∴过点，且，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴抛物线的顶点的坐标为，
∵抛物线由绕点旋转后得到，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问3详解】
∵抛物线由绕轴上的点旋转后得到，
∴顶点，关于点成中心对称，由（2）知，点的纵坐标为8，
设点，如下图，作轴于，轴于，于，
∵旋转中心在轴上，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
根据勾股定理得，，
显然，和不可能是直角三角形，
分情况讨论：
①当是直角三角形时，显然只能有，
根据勾股定理得，，
，
∴，解得，
∴，
∴点的坐标为；
②当是直角三角形时，显然只能有，
根据勾股定理得：
，
，
∴，解得：，
∴，∴点P的坐标为，
③当是直角三角形时，
，
，
i）当时，，
即，解得，
∴，
∴点的坐标为；
ii）当时，，
即，
解得，
∴，
∴点P的坐标为；
iii）∵，
∴．
综上所述，当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，
点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了图形的变换—中心对称变换、二次函数综合应用、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，根据旋转中心是对应点连线的中点确定点的坐标和分情况讨论是解答本题的关键．