湖南省永州市东安县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省永州市东安县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含湖南省永州市东安县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题原卷版docx、湖南省永州市东安县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 2024
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：的倒数是，
故选：B．
2. 第135届广交会4月15日开幕，这是目前为止规模最大的春季广交会，本届广交会展览面积155万平方米，家企业参加出口展览，其中数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：B．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，合并同类项．熟练掌握幂的乘方，合并同类项是解题的关键．
根据幂的乘方，合并同类项对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：A．，故不符合要求；
B．，故不符合要求；
C．，故不符合要求；
D．，故符合要求；
故选：D．
4. 下列常用手机的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念，注意中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
5. 如图，直线，在，它的顶点分别在直线上，且平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，由平行线的性质和角平分线的性质得到，即可求解，掌握平行线的性质和角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在，
，
故选：B．
6. 在某市举行足球比赛中，六支球队的进球数分别为，这组数据的中位数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中位数的知识，根据中位数的概念求解，解题的关键是正确理解将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解：∵这组数据从小到大的顺序排列为：，处在第和第位的数为和，
∴这组数据的中位数是，
故选：A．
7. 某工程队要限期完成一项工程，甲工程队独做可提前2天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设工程期限为x天，则甲工程队的工作效率是，乙工程队的工作效率是，根据“现由两工队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成”即可列出方程．
【详解】设工程期限为x天，根据题意，得
．
故选：D
8. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为，则（ ）
A. 3B. 4C. 2D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题， 根据题意和函数解析式，可以求得点和点的坐标，得到一次函数和反比例函数的解析式，过点作轴于点，直线与轴交于点，求出点的坐标，从而可以求得的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：把点的横坐标，分别代入函数中，得
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
反比例函数的解析式为：，
∴点，，
过点作轴于点，直线与轴交于点，如图：
当时，，
∴点，
∴
，
故选：B．
9. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则半径长为（ ）寸．
A. 6.5B. 12.5C. 13D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．设寸，利用垂径定理得到，利用勾股定理得到，根据其建立方程求解，即可解题．
【详解】解：设寸，
弦于点，寸，寸，
寸，
，
，
解得，
半径长为寸．
故选：C．
10. 如图.我们按规律将正整数填入平面直角左边系的部分对应点，若将点上的数字记作，如，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分析得，依次表示出到，根据裂项法则依次展开即可求解．
【详解】由图可知：，，，，，，，，，，则
故选A．
【点睛】本题考查找规律和简便运算，熟练图形中的数字规律和分数裂项法则为解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 函数的自变量x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义，分母不为0，二次根式的被开方数是非负数，根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：，
解得：，
故答案为：．
12. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，先提公因式后，再用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：
13. 2024年永州市体育中考报名工作即将开始，在女子四选一（一分钟跳绳、仰卧起坐、原地正面掷实心球、立定跳远）的项目中，小红和小美两名女同学对这四项运动都比较擅长，请问这两名同学选到相同项目的概率是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据题意设分别表示一分钟跳绳、仰卧起坐、原地正面掷实心球、立定跳远，画树状图，进而即可求解．
【详解】解：设分别表示一分钟跳绳、仰卧起坐、原地正面掷实心球、立定跳远，画树状图如图所示，
共有种等可能结果，其中符合题意的有种，
∴这两名同学选到相同项目的概率是，
故答案为：．
14. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点是边的中点，连接，若，则的长为______ ．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，求出是的中位线得出．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
点是边的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，垂线段最短，取的中点，连接，易得：为的中位线，进而得到当时，最短，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：取中点，连接，则：，
∵，
∴为的中点，
∵为的中点，
∴，
∴当最小时，最小，
∵为上一个动点，
∴当时，最小，
∵矩形，
∴，
∴当时，四边形为矩形，
∴，
∴；
故答案为：．
16. 若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后根据不等式组有且只有2个整数解，即可得到的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
该不等式组的解集是，
不等式组有且只有2个整数解，
这三个整数解是4，5，
，
解得，
故答案为：．
17. 图中分别为反比例函数与一次函数的图象，已知交点坐标，，直接写出不等式的解：___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．先把代入得到，再把代入可求出，然后
观察函数图象得到当或时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，即使．
【详解】解：把代入得到，
∴反比例函数解析式为，
把代入得，
解得：，
∴，
∵当或时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，
∴的解集为：或．
故答案为：或．
18. 如图，正六边形的边长为6，分别以正六边形的边，为直径作圆，两圆交于点，点，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，扇形与三角形的面积．掌握求不规则图形面积方法以是解题的关键．
连接，，，设以边为直径的圆的圆心为，连接，先证明为等边三角形，然后由求解即可．
【详解】解：如图，连接，，，设以边为直径的圆的圆心为，连接，
∵是直径，
∴，
∵正六边形，
∴，，
，，
，
，
为等边三角形，
，，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分）
19. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查绝对值，零次幂与负整数指数幂，特殊角三角函数值，根据绝对值，零次幂与负整数指数幂，特殊角三角函数值分别计算即可．
【详解】解：
．
20. 先化简，再求值：，在，，2中选一个合适的数作代入求值．
【答案】，时，原式
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．先把分式化简后，再把使原分式有意义的数代入化简后的式子，计算即可得到结果．
【详解】解：原式
，
当时，分式无意义，
所以取，
当时，原式．
21. 永州市某游乐场有一摩天轮如图，某人站在距离摩天轮30米的点处（即米），以的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的点，在原地再以的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的点．（人的身高忽略不计）
（1）求摩天轮最低处到地面的距离的长；
（2）求摩天轮圆轮直径的长．
【答案】（1）摩天轮的最低处到地面的距离的长为米
（2）摩天轮圆轮直径的长为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）由锐角三角函数的定义得出，即可得出结果；
（2）由锐角三角函数的定义得出，求出的长，再由（1）得出的长，即可得出结果．
【小问1详解】
解：在中，，
（米），
摩天轮的最低处到地面的距离的长为米．
【小问2详解】
解：在中，，
（米），
（米），
即摩天轮圆轮直径的长为米．
22. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，九年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．

（1）本次抽查的学生人数是 ，并补全条形统计图；
（2）本次捐款金额的平均数为 元，中位数为 元；
（3）若该校九年级学生为名，请你估算捐款金额不低于元的人数．
【答案】（1），补全图形见解析
（2），
（3）全校九年级学生为名，捐款金额不低于元的人数为人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、平均数以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
（1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为元”的学生有人，占调查人数的，根据频率频数总数可求出答案；
（2）根据平均数、中位数的定义进行计算即可；
（3）根据样本估计总体进行计算即可．
【小问1详解】
解：（人），
故答案为：．
“捐款为元”的学生有（人），补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：这名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是元，因此中位数是元
样本平均数为（元/人），
故答案为：．
【小问3详解】
全校九年级学生为名，捐款金额不低于元的人数为人，
答：全校九年级学生为名，捐款金额不低于元的人数为人．
23. 东安县某中学举办一场运动会，现需购买、两种奖品．若购买种奖2件和种奖品4件，共需48元；若购买种奖品3件和种奖品3件，共需54元．
（1）求、两种奖品单价各是多少元？
（2）学校计划购买、两种奖品共60件，购买费用不超过640元，且种奖品的数量大于种奖品数量的2倍．设购买种奖品件，购买费用为元，写出（元）与（件）之间的函数表达式，并说明有多少种购买方案．
【答案】（1）种奖品的单价为12元，种奖品的单价为6元
（2）；一共有6种购买方案
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的运用，一元一次不等式组的运用，一元一次不等式的应用，解决的关键是读懂题意，找到数量之间的关系．
（1）根据所花费用等于的费用加上的费用，找到等量列出方程组，即可得到结论；
（2）根据总费用等于的费用加上的费用，列出与之间的函数解析式，并通过不等式组找到的取值范围，再由一次函数的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元．
则有，
解得，
答：种奖品的单价为12元，种奖品的单价为6元．
【小问2详解】
解：根据题意，购买费用为元，购买种奖品个，则购买种奖品个，
∵，
∴．
．
∵，
∴，
∴，
由题知为正整数，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
答：一共有种购买方案．
24. 如图，已知的内接为等边三角形，连接顶点C与圆心O，并延长交于点，交于点，连接，．
（1）图中与全等的三角形是 ；
（2）求证：；
（3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）四边形为菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理可知是的角平分线，根据全等三角形的判定可得，即得答案；
（2）由（1）的推理过程可知，证明，由此即可证得答案；
（3）证明，是等边三角形，再根据菱形的判定即得答案．
【小问1详解】
解：是等边三角形的外接圆，
，
，
是的直径，
，
是的角平分线，
，
，
是的角平分线，
，
与中，
，
，
故答案为：．
【小问2详解】
证明：由（1）知，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：四边形为菱形．
理由如下：
∵，，
∴，
，
，是等边三角形，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定，相似三角形的判定，菱形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25. 如图，在中，弦与弦相交于点，于点，过点的直线与的延长线交于点， ．
（1）若，求证：是的切线．
（2）若，，求的半径．
（3）请问的值为定值吗？请说明理由
【答案】（1）见解析 （2）
（3）是定值；理由见解析
【解析】
【分析】（1）等边对等角，得到，根据等角的余角，得到，进而得到，即可；
（2）平行得到，垂径定理，得到，进而得到，求出的长，连接，设圆的半径为r，则，利用勾股定理进行求解即可；
（3）证明，得到，得到，代入求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，即，
∴，
∵是的弦，
∴点B在上，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴， 即，解得，
连接，如图1所示：
设圆的半径为r，则，
在中，，
即，
解得：；
【小问3详解】
是定值；理由如下：
连接，如图2所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过点A，C，点D为y轴左侧抛物线上一点，连接，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点D在直线下方时，连接交于点E，求的最大值及此时点D的坐标；
（3）是否存在点D，使？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的最大值为，此时点
（3）存在，点D的坐标为： 或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）分情况讨论：当点D在下方时，可求出一个D点坐标；当点D在上方时，可求出一个D点坐标．
【小问1详解】
解：∵，则点，
将点C的坐标代入一次函数表达式得：，
则一次函数表达式为：，
令，得，
∴点，
把A、C两点坐标代入二次函数解析式中，得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
由，得，
∴点，
设直线交y轴于点N，设点，
设直线的表达式为：，
则，
解得：，
直线的表达式为：，
令，得，
∴点，，
过点D作轴交于点H，则点，
则
，
∵，则有最大值，
当时，的最大值为，
此时点；
【小问3详解】
存在，理由：
当点D在下方时，由点A、C的坐标知，，
∵若，
∴，
∴，即，
∴；
设点，
过点D作轴于E，如图，
则；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（舍去），，则点；
当点D在的上方时，如图，设交x轴于点F，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
设直线解析式为 6，把点F坐标代入得：，
∴直线的表达式为：，
联立直线的表达式与抛物线表达式得：，
解得：，（舍去），
即点；
综上，点D的坐标为： 或．
【点睛】本题是二次函数综合题，涉及到解直角三角形、面积的计算，分类求解是本题解题的关键．