湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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数学
温馨提示：本卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，若，则的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了倒数及相反数的定义，熟练掌握相关概念是求解的关键．先求出的值，再求的相反数即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
则的相反数为，
故选：B．
2. 如图，，点E为上一点，连接．若，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据平行线的性质求出的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
3. 如图是小强用八块相同的小正方体积木搭建的几何体，这个几何体的左视图是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：这个几何体的左视图是
故选：D．
4. 《红楼梦》是我国古典四大名著之一，其总字数大约731000字，其中731000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正整数；当原数的绝对值1时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：B．
5. 图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条和的夹角为，的长为，贴纸部分的宽为，则弧的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了弧长计算，直接根据弧长计算公式可进行求解．
【详解】解：的长为，外侧两竹条和的夹角为，
的长为：．
故选：D．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 随机抛掷一枚硬币，反面一定朝上
B. 数据3，3，5，5，8的众数是8
C. 某商场抽奖活动获奖的概率为，说明每买50张奖券中一定有一张中奖
D. 想了解湖南省城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了事件的概率，众数，判断全面调查与抽样调查，掌握以上知识是解题的关键．
根据事件的概率，众数，判断全面调查与抽样调查，逐项分析判断即可．
【详解】A． “随机抛掷一枚硬币，反面朝上”随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
B． 数据3，3，5，5，8的众数是3，5，故该选项不正确，不符合题意；
C．某次抽奖活动中奖的概率为，中奖是随机事件，每买50张奖券，不一定有一次中奖，故该选项不正确，不符合题意；
D． 想了解湖南省城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查，故该选项正确，符合题意；
故选D．
7. 如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，若∠1+∠2＝90°，则∠A的度数是（ ）

A. 45°B. 40°C. 35°D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】根据翻折变换的性质和平角的定义求出∠3+∠4，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，
∴∠3+∠4=（180°-∠1）+（180°-∠2）=180°-（∠1+∠2），
∵∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=180°-×90°=180°-45°=135°，
在△AEF中，∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-135°=45°．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，熟记各性质并整体思想的利用是解题的关键．
8. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板距离地面的高度就与人的身高相等，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长？”若设绳索长为尺，则根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是根据题意画出图形，再利用勾股定理求解．过点作于点，根据题意可得尺，尺，尺，由勾股定理可得，代入数值即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作于点，
设绳索长为尺，
根据题意，可得尺，尺，尺，
由勾股定理可得，
即．
故答案为：B．
9. 如图，点，，，在上，，垂足为，若，，则（ ）
A. 6B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理求得，在中可得，可得的长度，故长度可求得，即可求解．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，垂足为，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及解直角三角形，作出合适的辅助线是解题的关键．
10. 如图，二次函数图象与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．①根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点坐标，可判断，，与的大小关系；②将代入二次函数，可得；③根据题意可得，结合点的坐标为，点位于轴负半轴，即可判断该结论是否正确；④求得点的坐标为，可得，结合，可求得点的坐标，进而求得点的坐标．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴．
将代入二次函数解析式，得．
∴点的坐标为．
∵点位于轴负半轴，
∴．
∵对称轴，
∴．
∴．结论①正确．
②将代入二次函数，得
．
根据二次函数图象可知．结论②错误．
③∵，，
∴．
又点的坐标为，点位于轴负半轴，
∴．
∴．结论③正确．
④∵，点的坐标为，点位于轴负半轴，点位于轴正半轴，
∴点的坐标为．
因为二次函数的图象过点，可得
．
化简，得
．
因为对称轴，
所以，．
将代入，得
．
可得
．
所以，点的坐标为．
设点的坐标为．
根据题意可得
．
则．
所以，点的坐标为．
所以，关于的方程的两个解为，．
结论④正确．
综上所述，结论正确的为①③④．
故选：C．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11. 已知，，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值问题，也考查二次根式的乘法运算，利用平方差公式进行因式分解是解决本题的关键．
将原式进行因式分解，然后整体代入求值．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图，在⊙O中，，，则的度数为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得AB=AC，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求解．
【详解】解：，
AB=AC，
∠B=∠C，
，
；
故答案为70°．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
13. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
设方程的两个根分别为，令，由题意知，，，计算求解即可．
【详解】解：设方程的两个根分别为，令，
由题意知，，，
∴，
解得，，
∴，
∴它的另一个根为，
故答案为：．
14. 如图，小明在处测得风筝的仰角为，同时在正对着风筝方向距处30米的处，小明测得风筝的仰角为，则风筝此时的高度________米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，此题涉及到锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟知相关知识是解题的关键．
根据“等角对等边”求出的长，然后在Rt中，利用三角函数求出的长．
【详解】解：由题意可得，，米
又∵
∴，
∴米，
在Rt中，
解得，
故答案为：．
15. 下列算式中计算正确的有________（填序号）．
①，②，③，④．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，完全平方公式，同底数幂乘除法，二次根式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键．
根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂乘除法，二次根式的加法等计算法则求解判断即可．
【详解】解：①，原计算错误，不符合题意；
②，原计算正确，符合题意；
③，原计算正确，符合题意；
④与不是同类二次根式，不能合并计算，原计算错误，不符合题意；
故选：②③．
16. 不等式组的正整数解是________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查求一元一次不等式组的正整数解，先分别求解两个不等式的解集，找到解集的公共部分，再找到正整数解即可．
【详解】解：解可得：，
解可得：，
∴不等式组的解集为，
∴正整数解为：1，
故答案为：1．
17. 如图，是坐标原点，平行四边形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图像经过位于第二象限的顶点，若平行四边形的面积为16，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质．过点A作于点D，根据平行四边形的性质可得轴，再由平行四边形的面积可得，从而得到点B的坐标为，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作于点D，
∵平行四边形的顶点的坐标为，
∴轴，
∵平行四边形的面积为16，
∴，
∴，
∴点B的横坐标为
∴点B的坐标为，
把点代入得：
，解得：．
故答案为：．
18. 如图1，在中，，，点为边的中点，作，射线交边于点，设，，若与的函数图象如图2所示，且其顶点坐标为，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质等知识．熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质是解题的关键．
设，则，由勾股定理得，，，证明，则，即，可得，将代入，可求，则，可求顶点坐标为，然后计算求解即可．
【详解】解：设，则，
由勾股定理得，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
整理得，，
将代入得，，
解得，，
∴，
∴顶点坐标为，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，正弦等知识．熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，正弦是解题的关键．
先分别计算零指数幂，负整数指数幂，正弦，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
20. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，分式的化简求值，根据方程有两个相等的实数根，得到，求出的值，根据分式的运算法则化简后，把的值代入计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得，
又，
∴当时，．
21. 端午节是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)．

请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【答案】（1）本次参加抽样调查的居民有60人；
（2）见详解 （3）他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．
【解析】
【分析】（1）用D的人数除以D所占的百分比即可求得结论；
（2）分别求得C的人数及A、C所占的百分比即可补全统计图；
（3）画树状图列出所有等可能的情况，从中找出第二次吃C粽的情况，然后利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：D组人数24，占40%，
24÷40%=60（人）．
答：本次参加抽样调查的居民有60人;
【小问2详解】
解：C组人数为：60-18-6-24=12人，
A组所占百分比为：18÷60×100%=30%，
C组所占百分比为：12÷60×100%=20%,
可补全图形如图:
【小问3详解】
解：如图；
两次吃粽子的所有等可能情况共有12中，其中第二次吃C粽的情况有3种，
他第二个吃到的恰好是C粽的概率PC粽=．
答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．
【点睛】本题考查条形图统计图和扇形统计图，画树状图或列表求概率，掌握从条形图和扇形图获取信息处理信息，画树状图求概率是解题关键．
22. 在中，，是的中点，E是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【小问1详解】
∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，，
又是的中点，
∴
∴，
∴，
∴
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
连结，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
则，
∴．
23. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元；
（2）超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元；
（3）能，方案见解析．
【解析】
【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程，解出x，y的值即可；
（2）设采购A种型号电风扇台，则采购B种型号电风扇台．根据题意可列出关于a一元一次不等式，求出a的解集，再结合a的实际意义即可解答；
（3）设采购A种型号电风扇m台，则采购种型号电风扇台，根据题意可列出关于m的一元一次不等式，求出m的解集，再结合（2）的条件和m的实际意义即可解答．
【小问1详解】
设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元；
【小问2详解】
设采购A种型号电风扇台，则采购B种型号电风扇台．
依题意得：，
解得：，
是整数，
最大是37，
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元；
【小问3详解】
设采购A种型号电风扇m台，则采购种型号电风扇台，
根据题意得：，
解得：．
∵，且为整数，
在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标的相应方案有两种：
当时，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台，
当时，采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
24. 在四边形中，，，，对角线与相交于点，线段、的中点分别为点、．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）若直线与线段、分别相交于点、，的面积为2，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由点，分别为，的中点，可得，，则，，证明即可；
（2）由勾股定理得，，则，由，可得，根据，求解作答即可；
（3）证明，则，，可求，证明是等腰直角三角形，由，可求，，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
点，分别为，的中点，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴．
【小问2详解】
解：由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
∴．
小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∵，，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了中位线，正弦，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握中位线，正弦，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25. 如图，平面内有一条线段，分别过点、向轴作垂线，垂足分别点、，我们把线段称之为线段在轴上的射影，线段的长称之为线段在轴上的射影长．
（1）若双曲线上有两点、，求线段在轴上的射影长；
（2）若直线的图象上有两点、，且线段在轴上的射影长为4，求的长；
（3）若已知抛物线和直线，其中、、满足，抛物线过点，且与直线相交于、两点，求线段在轴上的射影长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将、代入双曲线，即可求出，的值，再根据轴上两点间的距离为横坐标之差的绝对值，即可得出答案；
（2）由点，在上，列出方程组，得到，与，的关系为，根据线段在轴上的射影长为4，即可得，，再利用勾股定理即可求得的值；
（3）已知抛物线和直线相交、两点，可令，得方程，设其两根为，，根据抛物线过点及根与系数的关系得，，由距离公式可得，变形为，将相应的值整体代入得，再根据，求出的取值范围，即可得出答案．
【小问1详解】
解：、在双曲线，
，，
，
线段在轴上的射影长为3．
【小问2详解】
解：如图，分别过点、向轴作垂线，垂足分别点、，过点作的垂线，垂足为点，
点，在上，
，得，
线段在轴上的射影长为4，
，
，
．
【小问3详解】
解：令，则，设其两根为，，
抛物线过点，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，即线段在轴上的射影长的取值范围为．
【点睛】本题考查了两点间的距离，勾股定理的应用，二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握两点间距离公式，构建直角三角形并利用勾股定理解直角三角形，根据一元二次方程的根与系数的关系，利用整体代入法求两点间的距离．
26. 新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．
问题探究：
（1）如图1，等边边长为3，垂直于边的等积垂分线段长度为______；
（2）如图2，在中，，，，求垂直于边的等积垂分线段长度；
（3）如图3，在四边形中，，，，求出它的等积垂分线段长．
【答案】（1）
（2）边的等级垂分线段的长度为
（3）四边形的一条等积垂分线段的长为
【解析】
【分析】（1）过点A作，根据等边三角形性质求解即可．
（2）线段EF是垂直于BC边的等积垂分线段，设，作，构建方程即可得到答案．
（3）分两种情况，作，设或作，设，构建方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示为垂直于边的等积垂分线，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
【小问2详解】
解：如图2中，线段是垂直于边的等级垂分线段，设．作于．
在中，∵，，，
∴，，
∵，
∴，
由题意：，
∴，
解得或（舍弃），
∴边的等积垂分线段的长度为．
【小问3详解】
①如图3-1中，当线段是等积垂分线段时，设交于．作于．设．
在中，∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，∵，
∴，
由，可得，，
∴，
∵四边形的面积＝四边形的面积，的面积＝的面积，
∴的面积＝的面积，
∴，
解法（负根已经舍弃），
∴．
②如图3-2中，当线段是等积垂分线段时，设交于．作于．设，则，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴
由面积＝的面积，
∴，
解得（负根已经舍弃），
∴．
综上所述，四边形的一条等积垂分线段的长为．
【点睛】本题考查了四边形综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，理解题意，学会用分类讨论的思想解决问题是关键．销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
4台
1200元
第二周
5台
6台
1900元