湖南省永州市宁远县2024届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省永州市宁远县2024届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时量：120分钟 满分：120）
一、选择题（每题3分，共30分．将答案填在表格内）
1. 的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
答案：A
2. 下图中表示函数和在同一平面直角坐标系中的图像是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
3. 信号的传播速度为，将300000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
4. 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆个数为（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
答案：B
5. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解：依题意，该几何体的主视图是
故选：A．
6. 关于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 函数图象的对称轴是直线
B. 函数的有最小值，最小值为
C. 点在函数图象上，当时，
D. 函数值y随x的增大而增大
答案：C
解析：解：∵，
∴对称轴为，故A不正确；
函数有最大值，最大值为，故B不正确
当，y随x增大而增大，当，y随x的增大而减小，故D不正确；
当时，，故C正确．
故选：C．
7. 下列图形是圆柱侧面展开图的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
8. 在不透明的袋子里装有颜色不同的6个红球和6个白球，每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率最有可能接近的数值为（ ）
A. 1.25B. 0.98C. 0.52D. 0.03
答案：C
9. 如图，是的直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：如图：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
10. 诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”，将这六个字写在一个正方体的六个面上，如图是该正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是（ ）
A. 学B. 广C. 才D. 以
答案：C
二、填空题（共24分）
11. 若代数式有意义，则m的取值范围是________．
答案：且
解析：解：要使式子有意义，
则且，
解得：且．
故选：且
12. 分解因式： __________
答案：
解析：解：，
故答案为：．
13. 如图，在正六边形中，，是正六边形的一条对角线，则的长为________．
答案：
解析：解：六边形是正六边形，
，，
，
过作于，则，，
，
，
，
故答案为：．
14. 抛物线的顶点在轴上，则的值为_______．
答案：
解析：解：∵，，顶点在x轴上
∴顶点纵坐标为0，即
解得
故答案为：16．
15. 数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥侧面展开图的圆心角为________
答案：
解析：解：圆锥侧面展开图的弧长是：（分米），
设圆心角的度数是n度．则 ，
解得：．
故答案为：．
16. 如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板周长为，则投影三角板的周长为________．
答案：50
解析：解：∵三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板周长为，相似三角形的周长比等于相似比，
∴投影三角板的周长为50cm．
故答案为：50．
17. 清明时节雨纷纷，这是__________事件．（选填“必然”、“随机”和“不可能”）
答案：随机
解析：解：清明时节雨纷纷，这是随机事件．
故答案为：随机．
18. 如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为_______．

答案：
解析：解：如图所示，过点作于点，交于点，则，

∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．
∴，
在中，
∴
故答案为：．
三、解答题（共66分）
19. 计算：．
答案：2
解析：解：
．
20. 先化简，再求值：，其中．
答案：，
解析：解：
，
当时，原式．
21. 新能汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为米，宽为米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为，求和减少的长度是多少？
答案：米
解析：解：设和减少的长度为米，
根据题意，得，
解得：（不合题意，舍去），，
答：和减少的长度为米．
22. 某校对A《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒传》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生(每名学生必选且只能选这四大名著中的一部)并将得到的信息绘制了下面两幅尚不完整的统计图∶
根据所给信息，回答下列问题．
（1）本次一共调查了_______名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用画树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．
答案：（1）50 （2）见解析
（3）
小问1解析：
解：本次一共调查了名学生，
故答案为：；
小问2解析：
解：喜欢B《红楼梦》的人数为：（名），
补全条形统计图如图所示：
；
小问3解析：
解：列表得：
共有12种等可能出现的结果，其中恰好选择《三国演义》和《红楼梦》的共有种，
故恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．
23. 如图，为了测量风景区中一座塔的高度，某数学兴趣小组在斜坡上的点处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，用皮尺测得坡的长15米，已知坡的坡比为，请你帮助该数学兴趣小组计算这座塔的高度．
答案：这座塔的高度为米．
解析：解：过点分别作地面和的垂线，垂足分别为，如图，
∵，∴四边形是矩形，
∴，，
∵坡的坡比为，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∵的长15米，
∴，解得，
∴，，
在中，，，
∴，
∴（米），
答：这座塔的高度为米．
24. 如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．

（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
答案：（1）见解析；
（2）．
小问1解析：
证明：连接，

∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
小问2解析：
解：∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，解得，
∴．
25. 阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB
在中，
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：如图2，过点作于点，
在中，，
在中，，
，
；
小问2解析：
解：如图3，过点作于点，
，，
，
在中，
又，
即，
，
．
26. 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）；（2）；（3）存在，或．
解析：解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：；
（2）∵经过点A，
∴，
∴，
∴直线：；
设，则，
∵抛物线对称轴为：，且Q点和M点关于对称轴对称，
∴M点横坐标为，
∴；
又∵，
∴，
当时，的值最小，为；
∴该矩形周长的最小值为；
（3）存在，或；
由（2）可知，，
∵抛物线的函数表达式为：；
且，
∴顶点D坐标为，
如图4，作DE⊥QM，
因为，，
∴；
又∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，
∴
令，解得：，；
∴,,
∴,
∴，
∴当F点在点A处时，能使得，此时;
如图5，在BC另一侧，当时，，
过C点作CN⊥BH，垂足为点N，
由角平分线的性质可得：CN=CO=2，
∴BN=BO=4，
由勾股定理可得：且,
即，且；
解得：，;
∴
设直线BH的函数解析式为：，
∴，
∴，
∴直线BH的函数解析式为：，
联立抛物线解析式与直线BH的函数解析式，得：
解得：（与B点重合，故舍去），或，
∴，
综上可得，抛物线上存在点，使得，或．