2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习三（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习三（含答案），共16页。
(1)求直线BC及抛物线的函数表达式；
(2)P为x轴上方抛物线上一点．
①若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
②如图，PD∥y轴交BC于点D，DE∥x轴交AC于点E，求PD＋DE的最大值；
(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
如图，抛物线y＝a(x﹣2)2﹣2与y轴交于点A(0，2)，顶点为B．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P(t，y1)，Q(t＋3，y2)都在抛物线上，且y1＝y2，求P，Q两点的坐标；
(3)在(2)的条件下，若点C是线段QB上一动点，经过点C的直线y＝﹣x＋m与y轴交于点D，连接DQ，DB，求△BDQ面积的最大值和最小值．
如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点M是线段AC(不包括A、C两点)上一点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P，求线段PM的长的最大值，并写出此时点M的坐标；
(3)过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，设点Q是CE上方的抛物线上一点，连接CQ，过点Q作QF∥y轴，交CG于点F，若以Q、C、F为顶点的三角形和△BOC相似，求点Q的坐标．
已知直线y=eq \f(1,2)x+m与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣eq \f(1,2)x2+bx+3过A、C两点，交x轴另一点B．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，P、Q两点在第二象限的抛物线上，且关于对称轴对称，点F为线段AP上一点，2∠PQF+∠PFQ=90°，射线QF与过点A且垂直x轴的直线交于点E，AP=QE，求PQ长；
(3)如图3，在(2)的条件下，点D在QP的延长线上，DP：DQ=1：4，点K为射线AE上一点连接QK，过点D作DM⊥QK垂足为M，延长DM交AB于点N，连接AM，当∠AMN=45°时，过点A作AR⊥DN交抛物线于点R，求R点坐标．
定义：将函数C1的图象绕点P(m，0)旋转180，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．
例如：当m＝1时，函数y＝(x﹣3)2＋9关于点P(1，0)的相关函数为y＝﹣(x＋1)2﹣9．
(1)当m＝0时，
①一次函数y＝﹣x＋7关于点P的相关函数为 ．
②点A(5，﹣6)在二次函数y＝ax2﹣2ax＋a(a≠0)关于点P的相关函数的图象上，求a的值．
(2)函数y＝(x﹣2)2＋6关于点P的相关函数是y＝﹣(x﹣10)2﹣6，则m＝ ．
(3)当m﹣1≤x≤m＋2时，函数y＝x2﹣6mx＋4m2关于点P(m，0)的相关函数的最大值为8，求m的值．
在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(﹣2，0)，B(﹣3，3)及原点O，顶点为C．
(1)求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；
(2)设该抛物线上一动点P的横坐标为t．
①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；
②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
③在图3中，若P是y轴左侧该抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝x2＋2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)．
(1)请求出A、B、C三点的坐标；
(2)平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．
如图，已知直线y＝﹣x＋2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为(﹣1，0).
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式.
(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值.
(3)在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP＝∠DBC.若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2﹣4x﹣2的顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线C1绕着平面内的某一点旋转180°得到抛物线C2，抛物线C2与y轴正半轴相交于点C．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)若抛物线C2上存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形，请求出此时抛物线C2的表达式．
如图，已知抛物线y=－x2＋bx＋c与y轴相交于点A(0，3)，与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1.
(1)求此抛物线的解析式及点B的坐标；
(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形；
②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t值；若不能，请说明理由．
\s 0 答案
解：(1)将点B(3，0)代入y＝mx2＋(m2＋3)x﹣(6m＋9)，
∴m2＋m＝0，
解得m＝0(舍)或m＝﹣1，
∴y＝﹣x2＋4x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C(0，﹣3)，
设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b，
将点B(3，0)，C(0，﹣3)代入，
得，解得，
∴y＝x﹣3；
(2)①如图1，过点A作AP∥BC，则S△PBC＝S△ABC，
∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴直线AP的表达式为y＝x﹣1．
联立．解得 (舍)或，
∴P(2，1)；
②由(1)知直线BC的表达式为y＝x﹣3，
设直线AC的解析式为y＝k'x＋b'，
∴，解得，
∴y＝3x﹣3，
设点P(t，﹣t2＋4t﹣3)，则点D(t，t﹣3)，，
∴PD＝﹣t2＋4t﹣3﹣(t﹣3)＝﹣t2＋3t，，
∴＝﹣(t﹣)2＋，
∴当时，PD＋DE取最大值；
(3)如图2，在抛物线上取点Q，使∠ACQ＝45°，
过点B作BM⊥BC，交CQ的延长线于点M，过点M作MN⊥x轴于点N，
∵B(3，0)，C(0，﹣3)
∴OB＝OC＝3，BC＝3eq \r(2)，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∵∠ACQ＝45°，
∴∠OCA＝∠BCM，
∵A(1，0)，
∴，∴，
∵，∴，
∴BN＝NM＝1，
∴M(4，﹣1)，
∴直线CQ的解析式为y＝eq \f(1,2)x﹣3，
设点Q(n,eq \f(1,2)n﹣3)，∴eq \f(1,2)x﹣3＝﹣n2+4n﹣3，
整理得：n2﹣eq \f(7,2)n＝0，解得n＝eq \f(7,2)或n＝0(舍)，
∴Q(eq \f(7,2),﹣eq \f(5,4))．
解：(1)将A(0，2)代入到抛物线解析式中，得，
4a﹣2＝2，解得，a＝1，
∴抛物线解析式为y＝(x﹣2)2﹣2；
(2)∵y1＝y2，
∴(t﹣2)2﹣2＝(t＋3﹣2)2﹣2，解得，t＝eq \f(1,2)，
∴P(eq \f(1,2),eq \f(1,4))，Q(eq \f(7,2),eq \f(1,4))；
(3)由题可得，顶点B为(2，﹣2)，将直线y＝﹣x＋m进行平移，
当直线经过B点时，﹣2＝﹣2＋m，解得m＝0，
当直线经过点Q时，eq \f(1,4)＝﹣eq \f(7,2)+m，解得m＝eq \f(15,4)，
∵经过点C直线y＝﹣x＋m与y轴交于点D，
∴D为(0，m)，
∵点C是线段QB上一动点，
∴0≤m≤eq \f(15,4)，
延长QB交y轴于点E，设直线QB的解析式为y＝kx＋b，
代入点Q、B坐标得，
，解得，
∴QB的解析式为：，令x＝0，则y＝﹣5，
∴E(0，﹣5)，
由图可得，S△BDQ＝S△DEQ﹣S△DEB，
∴＝，
∵0≤m≤eq \f(15,4)，
∴当m＝0时，S△BDQ最小值为eq \f(15,4)，
当m＝eq \f(15,4)时，S△BDQ最大值为．
解：(1)将A、C点坐标代入函数解析式，得
，解得，
抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
(2)直线AC：y=﹣x+3，设P(m，﹣m2+2m+3)，M(m，﹣m+3)，其中0＜m＜3，
PM=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣(m﹣eq \f(3,2))2+eq \f(9,4)，
当m=eq \f(3,2)时，PM有最大值eq \f(9,4)，此时M(eq \f(3,2)，eq \f(3,2))；
(3)设Q(t，﹣t2+2t+3)，则F(t，3)，其中0＜t＜2，∴QT=﹣t2+2t，CF=t，
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1，x=3，B(﹣1，0)，
当x=0时，y=3，即C(0，3)，∴OB=1，OC=3，
∵∠BOC=∠QFC=90°，当△CFQ∽△BOC时， =，
∴=eq \f(1,3)，∴t=﹣1(舍去)．
‚当△QFC∽△BOC时， =，∴=eq \f(1,3)，∴t=eq \f(5,3)，
由此可知，当以Q、C、F为顶点的三角形和△BOC相似，
点Q的坐标为(eq \f(5,3)，3eq \f(5,9))．
解：(1)∵当x=0时，y=﹣eq \f(1,2)x2+bx+3，∴C(0，3)，
将点C代入y=eq \f(1,2)x+m得m=3，当y=0时，x=﹣6，∴A(﹣6，0)，
将点A代入y=﹣eq \f(1,2)x2+bx+3得b=﹣eq \f(5,2)，
∴抛物线的解析式为y=﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(5,2)x+3；
(2)如图2，延长QP、AE交于点H，
∵点P、Q关于对称轴对称，∴QP∥x轴，
∵AE⊥x轴，∴∠H=90°，
∵2∠PQF+∠PFQ=90°，
∴∠PQF+∠PFQ=90°﹣∠PQF=∠HEQ=∠HAP+∠EFA，∴∠PQF=∠HAP，
在△HAP和△QEH中，
∴△HAP≌△QEH，∴QH=AH，
过点Q作QK⊥AB于点G，
∴四边形AGQH是正方形，
设点Q(t，﹣eq \f(1,2)t2﹣eq \f(5,2)t+3)，∴QH=t+6，QG=﹣eq \f(1,2)t2﹣eq \f(5,2)t+3，
∴t+6=﹣eq \f(1,2)t2﹣eq \f(5,2)t+3，解得：t=﹣1或t=﹣6(舍去)，
∴Q(﹣1，5)；
∵点P、Q关于x=﹣eq \f(5,2)对称，∴点P(﹣4，5)，
∴PQ=3；
(3)∵DP：DQ=1：4，∴DP=1，D(﹣5，5)，HD=1，
∵DN⊥QK，∠AMN=45°，
过点A作AG⊥AM交DN延长线于点G，如图3，
∴AM=AG，∴KMN+∠KAN=180°，
∴∠MKA+∠MNA=180°，∠ANG+∠MNA=180°，
∴∠MKA=∠ANG，
∵KAN=∠MAG=90°，∴∠MAK=∠NAG，
在△AKM和△ANG中，
∴△AKM≌△ANG，∴AK=AN，
过点D作DL⊥AB于点L，四边形HALD是矩形，
∴HD=AL=1，AH=DL=QH，∠HKQ=∠DNL，
在△HKQ和△LND中，
∴△HKQ≌△LND，∴HK=LN，
设HK=LN=m，则AN=AK=m+1，
∴AH=m+1+m=5，∴m=2，
∵∠HQK=∠OAR，
∴tan∠HQK=tan∠OAR=，
设R(m，﹣﹣eq \f(1,2)m2﹣eq \f(5,2)m+3)，过点R作RS⊥AB于点S，
∴，∴m=或m=﹣6(舍)，
∴R(，)．
解：(1)①根据相关函数的定义，
y＝﹣x＋7关于点P(0，0)旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7，
故答案为：y＝﹣x﹣7；
②y＝ax2﹣2ax＋a＝a(x﹣1)2，
∴y＝ax2﹣2ax＋a关于点P(0，0)的相关函数为y＝﹣a(x＋1)2，
∵点A(5，﹣6)在二次函数y＝﹣a(x＋1)2的图象上，
∴﹣6＝﹣a(5＋1)2，解得：a＝eq \f(1,6)；
(2)y＝(x﹣2)2＋6的顶点为(2，6)，
y＝﹣(x﹣10)2﹣66的顶点坐标为(10，﹣6)；
∵两个二次函数的顶点关于点P (m，0)成中心对称，∴m＝6，
故答案为：6；
(3)y＝x2﹣6mx＋4m2＝(x﹣3m)2﹣5m2，
∴y＝x2﹣6mx＋4m2关于点P(m，0)的相关函数为y＝﹣(x＋m)2＋5m2．
①当﹣m≤m﹣1，即m≥eq \f(1,2)时，当x＝m﹣1时，y有最大值为8，
∴﹣(m﹣1＋m)2＋5m2＝8，
解得m1＝﹣2﹣eq \r(13)(不符合题意，舍去)，m2＝﹣2＋eq \r(13)；
②当m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜eq \f(1,2)时，当x＝﹣m时，y有最大值为8，
∴5m2＝8，解得：m＝±eq \f(2,5)eq \r(10)(不合题意，舍去)；
③当﹣m＞m＋2，即m＜﹣1时，当x＝m＋2，y有最大值为8，
∴﹣(m＋2＋m)2＋5m2＝8，
解得：m＝4﹣2eq \r(7)或，m＝4＋2eq \r(7)(不符合题意，舍去)，
综上，m的值为﹣2＋eq \r(13)或4﹣2eq \r(7)．
解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，
将A(﹣2，0)，B(﹣3，3)代入，
∴，解得，
∴y＝x2＋2x，
∴C(﹣1，﹣1)；
(2)①∵P的横坐标为t，
∴P(t，t2＋2t)，
设直线BO的解析式为y＝kx，
∴﹣3k＝3，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x，
过点P作PG⊥x轴交BO于点G，
∴E(t，﹣t)
∴PG＝﹣t﹣t2﹣2t＝﹣t2﹣3t，
∴S＝eq \f(1,2)×3×(﹣t2﹣3t)＝﹣eq \f(3,2)(t＋eq \f(3,2))2＋eq \f(27,8)，
∵﹣3＜t＜0，
∴t＝﹣eq \f(3,2)时，S有最大值eq \f(27,8)；
②∵y＝x2＋2x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设E(﹣1，m)，
当AO为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴P(﹣1，﹣1)；
当AP为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴P(1，3)；
当AE为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴P(﹣3，3)；
综上所述：P点坐标为(﹣1，﹣1)或(1，3)或(﹣3，3)；
(3)存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，理由如下：
∵B(﹣3，3)，C(﹣1，﹣1)，
∴BO＝3eq \r(2)，OC＝eq \r(2)，BC＝2eq \r(5)，
∴BO2＋CO2＝BC2，
∴△COB为直角三角形，∠BOC＝90°，
∴tan∠CBO＝eq \f(1,3)，
∵PM⊥AM，
∴∠BOC＝∠PMA，
设P(m，m2＋2m)(t＜0)，
∴PM＝m2＋2m，AM＝﹣2﹣m，
当∠MPA＝∠OBC时，＝，解得m＝﹣2(舍)或m＝﹣3，
∴P(﹣3，3)；
当∠PAM＝∠OBC时，＝，解得m＝﹣2(舍)或m＝﹣eq \f(1,3)，
∴P(﹣eq \f(1,3)，﹣eq \f(5,9))；
综上所述：P点坐标为(﹣3，3)或(﹣eq \f(1,3)，﹣eq \f(5,9))．
解：(1)∵抛物线y＝x2＋2x与x轴交于B、C两点，
∴0＝x2＋2x，
∴x1＝0，x2＝﹣2，
∴点B(﹣2，0)，点C(0，0)，
∵y＝x2＋2x＝(x＋1)2﹣1，
∴点A(﹣1，﹣1)；
(2)设平移后抛物线的表达式为：y＝(x＋1﹣m)2﹣1＋n(m＞1)，
∴点D(m﹣1，﹣1＋n)，
∵y＝(x＋1﹣m)2﹣1＋n＝x2＋2×(1﹣m)x＋m2﹣2m＋n，
∴点E(0，m2﹣2m＋n)，
Ⅰ、如图1，当点D在点A的下方时，过点A作AM⊥y轴于N，过点D作DM⊥AM于M，
∴∠ANE＝∠AMD＝90°，
∵以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，
∴AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴∠EAN＋∠DAM＝90°，
∵∠AEN＋∠EAN＝90°，
∴∠AEN＝∠DAM，
∴△AEN≌△DAM(AAS)，
∴AN＝DM，EN＝AM，
∴1＝﹣1﹣(﹣1＋n)，m﹣1﹣(﹣1)＝m2﹣2m＋n﹣(﹣1)，
∴n＝﹣1，m＝3，
∴平移后抛物线的表达式为：y＝(x﹣2)2﹣2；
Ⅱ、如图2，点D在点A上方时，过点D作DM⊥y轴于N，过点A作AM⊥DM于M，
同理可证△EDN≌△DAM，
∴DN＝AM，EN＝DM，
∴m﹣1＝﹣1＋n＋1，m2﹣2m＋n﹣(﹣1＋n)＝m﹣1＋1，
∴m＝，n＝，
∴平移后抛物线的表达式为：y＝(x﹣)2﹣，
Ⅲ、当∠AED＝90°时，
同理可求：y＝(x﹣1)2﹣1；
综上所述：平移后抛物线的表达式为：
y＝(x﹣2)2﹣2或y＝(x﹣)2﹣或y＝(x﹣1)2﹣1．
解：(1)直线y＝﹣x＋2与x轴交于B(2，0)，与y轴交于C点(0，2)，
设过A、B、C的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
把A(﹣1，0)、B(2，0)、C(0，2)的坐标代入，
∴a＝﹣1，b＝1，c＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋x＋2，
(2)设D(x，﹣x2＋x＋2)，F(x，﹣x＋2)，
∴DF＝(﹣x2＋x＋2)﹣(﹣x＋2)＝﹣x2＋2x，
所以x＝1时，DF最大＝1，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∵DE⊥BC，DF∥y轴，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴△DEF周长的最大值为1＋eq \r(2)
(3)如图，
当△DEF周长最大时，D(1，2)，F(1，1).延长DF交x轴于H，作PM⊥DF于M，
则DB＝eq \r(5)，DH＝2，OH＝1
当∠DFP＝∠DBC时，△DFP∽△DBF，
∴，
∴DP＝，
∴＝eq \f(1,5)，
∴PM＝eq \f(1,5)，DM＝，
∴P点的横坐标为OH＋PM＝1＋eq \f(1,5)＝eq \f(6,5)，
P点的纵坐标为DH﹣DM＝2﹣eq \f(2,5)＝1.6，
∴P(eq \f(6,5)，1.6).
解：(1)∵抛物线C1：y＝﹣x2﹣4x﹣2＝﹣(x＋2)2＋2，
∴顶点A(﹣2，2)，
令x＝0，可得y＝﹣2，
∴B(0，﹣2)．
(2)如图1中，当AB为菱形的边时，四边形ABCD是菱形，
由题意A(﹣2，2)，B(0，﹣2)，C(0，6)，D(2，2)，此时抛物线C1与C2关于T(0，2)成中心对称，
∴D(2，2)是抛物线C2的顶点，
∴抛物线C2的解析式为y＝(x﹣2)2＋2，即y＝x2﹣4x＋6．
如图2中，当AB是菱形的对角线时，四边形ADBC是菱形，
此时CA＝BC，设C(0，m)则有，22＋(2﹣m)2＝(m＋2)2，
∴m＝eq \f(1,2)，∴C(0，eq \f(1,2))，
∵AD＝BC＝eq \f(5,2)，∴D(﹣2，﹣eq \f(1,2))，
设抛物线C2的解析式为y＝x2＋bx＋eq \f(1,2)，
把D(﹣2，﹣eq \f(1,2))代入y＝x2＋bx＋eq \f(1,2)，可得﹣eq \f(1,2)＝4﹣2b＋eq \f(1,2)，解得b＝eq \f(5,2)，
∴抛物线C2的解析式为y＝x2＋eq \f(5,2)x＋eq \f(1,2)，
如图3中，当AB是菱形的边时，点C是抛物线的顶点(0，2eq \r(5)﹣2)，可得抛物线的解析式为y＝x2＋2eq \r(5)﹣2．
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＋6或y＝x2＋eq \f(5,2)x＋eq \f(1,2)或y＝x2＋2eq \r(5)﹣2．
解：(1)∵抛物线y=－x2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，
∴c=3，
∵对称轴是直线x=1，
∴－eq \f(b,2×（－1）)=1，解得b=2，
∴抛物线的解析式为y=－x2＋2x＋3；
令y=0，得－x2＋2x＋3=0，
解得x1=3，x2=－1(不合题意，舍去)，
∴点B的坐标为(3，0)；
(2)①由题意得ON=3t，OM=2t，则点P(2t，－4t2＋4t＋3)，
∵四边形OMPN为矩形，
∴PM=ON，即－4t2＋4t＋3=3t，
解得t1=1，t2=－eq \f(3,4)(不合题意，舍去)，
∴当t=1时，四边形OMPN为矩形；
②能，在Rt△AOB中，OA=3，OB=3，∴∠B=45°，
若△BOQ为等腰三角形，有三种情况：
(ⅰ)若OQ=BQ，如解图①所示：
则M为OB中点，OM=eq \f(1,2)OB=eq \f(3,2)，
∴t=eq \f(3,2)÷2=eq \f(3,4)；
(ⅱ)若OQ=OB，
∵OA=3，OB=3，
∴点Q与点A重合，即t=0(不合题意，舍去)；
(ⅲ)若OB=BQ，如解图②所示：
∴BQ=3，
∴BM=BQ·cs45°=3×eq \f(\r(2),2)=eq \f(3\r(2),2)，
∴OM=OB－BM=3－eq \f(3\r(2),2)=eq \f(6－3\r(2),2)，
∴t=eq \f(6－3\r(2),2)÷2=eq \f(6－3\r(2),4)，
综上所述，当t为eq \f(3,4)秒或eq \f(6－3\r(2),4)秒时，△BOQ为等腰三角形．