中考数学二轮专题复习《函数压轴题》专项练习九（含答案）

中考数学二轮专题复习

《函数压轴题》专项练习九

1.如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO ，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B(4，3)，C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线交于第四象限的F点．

(1)求该抛物线解析式与F点坐标；

(2)如图2，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA ，垂足为H , 连结MP ，MH.设点P的运动时间为t秒．若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．

2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣0.25x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(﹣4，0)．

(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；

(2)点D的坐标为(0，4)，点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．

①求S的最大值；

②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．

3.已知抛物线y=ax2+bx+2经过A(﹣1，0)，B(2，0)，C三点．直线y=mx+0.5交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；

(3)如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2，直线y=x﹣2经过点C，交y轴于点G．

(1)点C、D的坐标；

(2)求顶点在直线y=x﹣2上且经过点C、D的抛物线的解析式；

(3)将(2)中的抛物线沿直线y=x﹣2平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请明理由．

5.如图，抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过经过点A(2，0)，点B(3，3)，BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为(﹣4，0)，点F与原点重合．

(1)求抛物线的解析式；

(2)△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动，

①求点D落在抛物线上时点D的坐标；

②设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式．

6.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点.

(1)求抛物线解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MOA的面积为S.

求S关于m的函数关系式，并求出当m为何值时，S有最大值，这个最大值是多少？

(3)若点Q是直线y=﹣x上的动点，过Q做y轴的平行线交抛物线于点P，判断有几个Q能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形的点，直接写出相应的点Q的坐标.

0.参考答案

1.解：(1)∵矩形ABCO，B点坐标为(4，3)，

∴C点坐标为(0，3)，

∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B，C，

∴解得：

∴该抛物线解析式y＝－x2＋2x＋3，

设直线AD的解析式为y＝k1x＋b1，

∵A(4，0)，B(2，3)，

∴ ∴

∴y＝－x＋6，联立

∵F点在第四象限，

∴F(6，－3)

(2)如图①过M作MN⊥OA交OA于N，

∵△AMN∽△AEO，∴＝＝，∴AN＝t，MN＝t，

①如图③，当PM＝HM时，M在PH的垂直平分线上，

∴MN＝PH，∴MN＝t＝，∴t＝1；

②如图①，当HM＝HP时，MH＝3，MN＝t，HN＝OA－AN－OH＝4－2t，

在Rt△HMN中，MN2＋HN2＝MH2，

∴(t)2＋(4－2t)2＝32，解得：t1＝2(舍去)，t2＝；

③如图②，如图④，当PH＝PM时，

∵PM＝3，MT＝|3－t|，PT＝BC－CP－BT＝|4－2t|，

∴在Rt△PMT中，MT2＋PT2＝PM2，

即(3－t)2＋(4－2t)2＝32，解得：t1＝，t2＝.

综上所述：t＝或或1或.

2.解：(1)把A(0，8)，B(﹣4，0)代入y=﹣x2+bx+c

得，解得，

所以抛物线的解析式为y=﹣5x2+x+8；

当y=0时，﹣x2+x+8=0，解得x1=﹣4，x2=8，

所以C点坐标为(8，0)；

(2)①连结OF，如图，设F(t，﹣t2+t+8)，

∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，

∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD=×4×t+×8×(﹣t2+t+8)﹣×4×8

=﹣t2+6t+16=﹣(t﹣3)2+25，

当t=3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，

∵四边形CDEF为平行四边形，∴S的最大值为50；

②∵四边形CDEF为平行四边形，∴CD∥EF，CD=EF，

∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，

∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，

即E(t﹣8，﹣t2+t+12)，

∵E(t﹣8，﹣t2+t+12)在抛物线上，

∴﹣(t﹣8)2+t﹣8+8=﹣t2+t+12，解得t=7，

当t=7时，S△CDF=﹣(7﹣3)2+25=9，

∴此时S=2S△CDF=18．

3.解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过A(﹣1，0)，B(2，0)，

∴将点A和点B的坐标代入得：

，解得a=﹣1，b=1，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．

(2)直线y=mx+交抛物线与A、Q两点，把A(﹣1，0)代入解析式得：m=，

∴直线AQ的解析式为y=x+0.5．

设点P的横坐标为n，

则P(n，﹣n2+n+2)，N(n，n+0.5)，F(n，0)，

∴PN=﹣n2+n+2﹣(n+0.5)=﹣n2+n+1.5，NF=n+0.5．

∵PN=2NF，即﹣n2+n+1.5=2×(n+)，

解得：n=﹣1或．

当n=﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．

∴点P的坐标为(，)．

(3)∵y=﹣x2+x+2，=﹣(x﹣)2+，∴M(，)．

如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．

设直线AM的函数解析式为y=kx+b，

且过A(﹣1，0)，M(，)．

根据题意得：﹣k+b=0,k+b=，解得k=,b=．

∴直线AM的函数解析式为y=+．

∵D为AC的中点，∴D(﹣，1)．

设直线AC的解析式为y=kx+2，将点A的坐标代入得：﹣k+2=0，解得k=2，

∴AC的解析式为y=2x+2．

设直线DE的解析式为y=﹣x+c，

将点D的坐标代入得：+c=1，解得c=，

∴直线DE的解析式为y=﹣x+．

将y=﹣x+与y=+联立，解得：x=﹣，y=．

∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，

此时G(﹣，)．

4.解：(1)令y=2，2=x﹣2，解得x=4，则OA=4﹣3=1，

∴C(4，2)，D(1，2)；

(2)由二次函数对称性得，顶点横坐标为，令x=，

则y=×﹣2=，

∴顶点坐标为(，)，

∴设抛物线解析式为y=a(x﹣)2＋，把点D(1，2)代入得，a=，

∴解析式为y=(x﹣)2＋；

(3)设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E(m，m﹣2)(m＞0)

∴可设解析式为y=(x﹣m)2＋m﹣2，

当FG=EG时，FG=EG=2m，则F(0，2m﹣2)，

代入解析式得： m2＋m﹣2=2m﹣2，

得m=0(舍去)，m=﹣，此时所求的解析式为：y=(x﹣＋)2＋3﹣；

当GE=EF时，FG=2m，则F(0，2m﹣2)，

代入解析式得：m2＋m﹣2=2m﹣2，解得m=0(舍去)，m=，

此时所求的解析式为：y=(x﹣)2﹣；

③当FG=FE时，不存在．

5.解：(1)根据题意得：

，解得a=1，b=﹣2，

故抛物线解析式是y=x2﹣2x；

(2)①∵点E的坐标为(﹣4，0)，∴EF=4，

∵△DEF是等腰直角三角形，∴点D的纵坐标为2，

当点D在抛物线上时：x2﹣2x=2，解得：x1=1+，x2=1﹣，

∴点D落在抛物线上时点D的坐标为：(1+，2)或(1﹣，2)；

②有3种情况：

(Ⅰ)当0≤t≤3时，△DEF与△OBC重叠部分为等腰直角三角形，如图1：S=t2；

(Ⅱ)当3＜t≤4时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图2：S=﹣t2+3t﹣；

(Ⅲ)当4＜t≤5时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图3：S=﹣t2+3t﹣．

6.解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

∵抛物线经过A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=x2+x﹣4；

(2)∵点M的横坐标为m，

∴点M的纵坐标为m2+m﹣4，

又∵A(﹣4，0)，

∴AO=0﹣(﹣4)=4，

∴S=×4×|m2+m﹣4|=﹣(m2+2m﹣8)=﹣m2﹣2m+8，

∵S=﹣(m2+2m﹣8)=﹣(m+1)2+9，点M为第三象限内抛物线上一动点，

∴当m=﹣1时，S有最大值，最大值为S=9；

故答案为：S关于m的函数关系式为S=﹣m2﹣2m+8，当m=﹣1时，S有最大值9；

(3)∵点Q是直线y=﹣x上的动点，∴设点Q的坐标为(a，﹣a)，

∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴，

∴点P的坐标为(a， a2+a﹣4)，

∴PQ=﹣a﹣(a2+a﹣4)=﹣a2﹣2a+4，

又∵OB=0﹣(﹣4)=4，

以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，

∴|PQ|=OB，即|﹣a2﹣2a+4|=4，

①﹣a2﹣2a+4=4时，整理得，a2+4a=0，

解得a=0(舍去)或a=﹣4，

﹣a=4，

所以点Q坐标为(﹣4，4)，

②﹣a2﹣2a+4=﹣4时，整理得，a2+4a﹣16=0，解得a=﹣2±2，

所以点Q的坐标为(﹣2+2，2﹣2)或(﹣2﹣2，2+2)，

综上所述，Q坐标为(﹣4，4)或(﹣2+2，2﹣2)或(﹣2﹣2，2+2)时，

使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形.