八年级下册16.2 二次根式的乘除练习题

这是一份八年级下册16.2 二次根式的乘除练习题，共15页。试卷主要包含了2 二次根式的乘除等内容，欢迎下载使用。

■重点01 二次根式的乘法
【例题】（2023秋•金山区期末）计算： ．
【答案】．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算．
【解答】解：，
故答案为：．
解法揭秘
．
在进行二次根式的乘法运算时，
（1）法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的．
（2）两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方．
闯关演练
【闯关1】 （2022秋•兴县校级期末）计算的结果为
A．1B．C．D．5
【闯关2】 （2022秋•惠来县校级期末）计算： ．
【闯关3】 （2023秋•肇东市校级期末）化简： ．
【闯关4】 （2022秋•阳城县期末）计算的结果是 ．
【闯关5】 （2023秋•洪洞县期中）计算的结果是 ．
■重点02 二次根式的除法
【例题】（2023秋•沈丘县期末）若成立，则的值可以是
A．B．0C．2D．3
【分析】直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案．
【解答】解：若成立，
，
解得：，
故的值可以是0．
故选：．
解法揭秘
．
（1）a≥0，b>0时，式子才成立，若a，b都是负数，虽然有意义，但在实数范围内无意义；若b=0，则号无意义．
（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数．
（3）二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式．
闯关演练
【闯关6】 （2022秋•儋州期末）计算： ．
【闯关7】 （2023春•德庆县期末）计算： ．
【闯关8】 （2023春•朝阳区期末）计算： ．
【闯关9】 （2023春•临高县期末）计算： ．
【闯关10】 （2023春•铁西区期末）计算： ．
■重点03 分母有理化
【例题】（2023秋•崇明区期末）的一个有理化因式是 ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积为有理数解答即可．
【解答】解：，
是的一个有理化因式．
故答案为：（答案不唯一）．
解法揭秘
1．分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．
2．分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．
闯关演练
【闯关11】 （2023秋•睢阳区校级期末）的有理化因式是 ．
【闯关12】 （2023秋•闵行区校级期末）分母有理化： ．
【闯关13】 （2023秋•闵行区校级期末）的有理化因式为 ．
【闯关14】 （2023秋•闵行区期中）的有理化因式是 ．
【闯关15】 （2023秋•长春期中）分母有理化： ．
■重点04 最简二次根式
【例题】（2023秋•长宁区校级期末）下列二次根式中，不是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：、是最简二次根式，不符合题意；
、是最简二次根式，不符合题意；
、，不是最简二次根式，符合题意；
、是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
解法揭秘
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
闯关演练
【闯关16】 （2023•港北区三模）将二次根式化为最简二次根式 ．
【闯关17】 （2022秋•邓州市期末）化为最简二次根式是 ．
【闯关18】 （2023秋•太原期中）将化为最简二次根式是 ．
【闯关19】 （2023秋•开封期中）请写出一个大于1且小于2的最简二次根式 ．
【闯关20】 （2023春•巴东县期末）把化成最简二次根式为 ．
■难点01 二次根式乘除的规律问题
【例题】（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
按上述规律，计算 ．
【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
故答案为：．
解法揭秘
认真观察所列等式，根据所列等式呈现的规律进行解答．由规律得出一般情况．
闯关演练
【闯关21】 （2022秋•长安区校级期末）小明做数学题时，发现；；；；；按此规律，若，为正整数），则 ．
【闯关22】 （2022秋•市中区期末）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【闯关23】 （2023春•荣成市期中）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第4个等式；
（2）请写出第个等式是正整数，用含的式子表示），并证明．
【闯关24】 （2023春•微山县期末）阅读下列解题过程并解答问题：
；；
（1）填空： ， ．
（2）利用上面隐含的规律计算：．
【闯关25】 （2023春•太原期中）观察下列各式并按规律填空：
；；
（1） ， ．
（2）按此规律第个式子可以表示为 ．
（3）并说明上面式子成立的理由．（请写出推导过程）
■易错点01 二次根式的乘除混合运算
【例题】（2023春•密云区期末）计算：．
【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可．
【解答】解：原式
．
解法揭秘
1．二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用．
2．二次根式乘除混合运算的一般步骤：
（1）将算式中的除法转化为乘法；
（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；
（3）将系数和被开方数分别相乘；
（4）化成最简二次根式．
闯关演练
【闯关26】 计算：．
【闯关27】 ．
【闯关28】 计算：
（1）
（2）
【闯关29】 计算：
【闯关30】 ．
闯关演练参考答案
1．【答案】
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果．
【解答】解：，
故选：．
二．填空题（共20小题）
2．【答案】．
【分析】根据计算，再利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：，
故答案为：．
3．【答案】6．
【分析】直接把被开方数相乘即可．
【解答】解：原式．
故答案为：6．
4．【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案．
【解答】解：．
故答案为：4．
5．【答案】4．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：4．
6．【分析】原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式．
故答案为：6．
7．【答案】2．
【分析】根据二次根式的除法法则计算．
【解答】解：
，
故答案为：2．
8．【答案】．
【分析】根据二次根式的除法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：，
故答案为：．
9．【答案】．
【分析】根据二次根式的除法进行计算即可求解．
【解答】解：，
故答案为：．
10．【答案】3．
【分析】直接利用二次根式的除法运算计算得出答案．
【解答】解：．
故答案为：3．
11．【答案】（答案不唯一）．
【分析】找出已知二次根式的有理化因式即可．
【解答】解：的有理化因式是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
12．【答案】．
【分析】根据分母有理化的方法进行解题即可．
【解答】解：．
故答案为：．
13．【答案】．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：的有理化因式是，
故答案为：．
14．
【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号解答即可．
【解答】解：的有理化因式是．
故答案为：．
15．【答案】．
【分析】利用平方差公式和二次根式的性质解答即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
16．【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．
【解答】解：原式，
故答案为：
17．【答案】．
【分析】根据二次根式的性质，和化简方法即可求解．
【解答】解：，
故答案为：．
18．【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
19．【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据最简二次根式的概念解答即可．
【解答】解：大于1且小于2的最简二次根式可以为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
20．【答案】．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：，
故答案为：．
21．
【分析】找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可确定出的值．
【解答】解：根据题中的规律得：，，
则．
故答案为：73．
三．解答题（共9小题）
22．
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解答】解：（1）；故答案为：；
（2）；故答案为：；
（3）．
23．
【分析】（1）根据规律求解；
（2）根据规律写出等式，再利用二次根式的性质证明．
【解答】解：（1）第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式为：，即；
（2）由（1）可得：
第个等式为：，
证明：左边
，
左边右边，
等式成立．
24．【答案】（1）；；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）结合题干及（1）中结果总结规律后进行计算即可．
【解答】解：（1）；
；
故答案为：；；
（2）原式．
25．【分析】（1）利用已知数据之间变化规律得出根号下与根号外数据的变化规律进而得出答案；
（2）利用已知数据之间变化规律得出根号下与根号外数据的变化规律进而得出答案；
（3）利用二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：（1）；；
，；
故答案为：，；
（2）由（1）得按此规律第个式子可以表示为：；
故答案为：；
（3）
．
26．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
27．【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式．
28．
【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值；
（2）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
29．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式．
30．
【分析】首先把乘除法混合运算转化成乘法运算，然后进行乘法运算即可．
【解答】解：原式