初中北师大版第二章 一元二次方程5 一元二次方程的根与系数的关系背景图ppt课件

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1.通过阅读课本学生可以掌握一元二次方程根与系数的关系，提高学生解决问题的能力2.通过自主探究经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，培养学生的逻辑推理和数学运算能力.3.通过对根与系数之间关系的探究，体会事物之间的联系，发展学生归纳和推理论证的能力 .
1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b²-4ac来判断一元二次方程根的情况？
(①b²-4ac>0,方程有两个不相等的实数根；②b²-4ac=0，方程有两个相等的实数根；③b²-4ac<0，方程没有实数根)
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一天，小王去小明家玩，当时小明正为墨迹不小心污染了一道解一元二次方程的习题而愁眉不展，小王翻看了后面的答案后立马帮他补全了题目.这让解方程一向熟练的小明很惊讶，忙急着问小王有什么“秘法”.
16世纪法国最杰出的数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间存在的特殊关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化,并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。
1.请同学们阅读课本49-50页内容并思考.2.请同学们完成下面的表格：
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自主探究 （10min）
3.完成表格后，请同学们思考以下问题：①针对表格中第一个方程，猜想：若方程x²+px+q=0 的根为x₁,x₂,则x₁+x₂与x₁x₂ 的值与p,q之间的关系是什么?②针对表格中第二、三个方程，猜想：方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根x₁,x₂之和、之积与a,b,c之间的关系是什么?③你能证明一下上述两个猜想吗?
x₁+x₂=-p, x₁x₂=q
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利用根与系数的关系，求一元二次方程2x²+3x-1=0的两个根的平方和与倒数和.
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点 2：一元二次方程的根与系数关系的应用（难点）（1）验根.不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；（2）已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数；
(4)已知方程的两根，写出一个一元二次方程；以x₁,x₂为根的一元二次方程是x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0.
(5)已知一元二次方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；(6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根为x₁,x₂,则①当Δ>0且x₁x₂>0时,两根同号.当Δ>0且 x₁x₂>0,x₁+x₂>0时,两根同为正数;当Δ>0且x₁x₂>0,x₁+x₂<0|时，两根同为负数.②当Δ>0且x₁x₂<0时,两根异号.当Δ>0且x₁x₂<0,x₁+x₂>0时,两根异号且正根的绝对值较大;当Δ>0且x₁x₂<0,x₁+x₂<0|时，两根异号且负根的绝对值较大.
【题型一】利用一元二次方程根与系数的关系求值
例 1: 若x₁,x₂是一元二次方程x²-7x+5=0的两根,则x₁x₂的值是( ) A.7 B.-7 C.5 D.-5
变式： 设方程2x²-4x+1=0的两个根为x₁,x₂,则则x₁+x₂的值是( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4
【题型二】通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值
例 2： 已知关于 x的一元二次方程x²-mx-2=0有两个实数根 x₁,x₂,若3x₁+3x₂-x₁x₂=5,则 m的值为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2
【题型三】利用一元二次方程根与系数的关系求参数
例 3： 若关于x的一元二次方程x²-(m²-m-6)x-6=0的两个根互为相反数，则m的值为( ) A.3或-2 B.-2 C.3 D.2或-3
变式： 若关于x的一元二次方程x²+(2+k)x+k²=0的两根互为倒数，则k=( ) A.3 B.1 C.-1 D.±1
点拨:设x₁,x₂是x²+(2+k)x+k²=0的两根，∵方程x²+(2+k)x+k²=0的两根互为倒数，∴k²=1,解得k=±1.∵方程有两个实数根,∴Δ=b²-4ac=(2+k)²-4k²=-3k²+4k+4>0,当 k=1时,Δ=-3+4+4=5>0,∴k=1符合题意;当 k=-1时,Δ=-3-4+4=-3<0,∴k=-1不符合题意.∴k=1,故选 B.