初中数学13.4课题学习 最短路径问题课堂检测

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模型1：异侧两定一动模型
1．如图，在直线l上找一点O，使OA+OB的和最短，并给出相应的理由．（不写作图过程，但保留作图痕迹）
【分析】根据两点之间，线段最短可知，连接AB交l即为点O．
【解答】解：根据两点之间，线段最短可知，连接AB交l即为点O．
【点评】本题主要考查了两点之间，线段最短这一定理，属于简单题．
2．如图，在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】根据两点之间线段最短作出图形，只需要连接AB，与直线l交于点P，则点P就满足PA+PB的值最小．
【解答】解：连接AB，与直线l交于点P，则P为所求作点，
【点评】本题考查了作图，线段最短原理，关键是应用两点之间线段最短公理作图．
3．如图，在l上找一点P，使|PA﹣PB|最大．
【分析】作A关于l的对称点A'，直线A'B与MN交于P，则P就是所求点，也可作B关于l的对称点．
【解答】解：如图所示：
∵点A与点A′关于l对称，
∴PA＝PA′．
∴PB﹣PA＝PB﹣PA′．
当点P、A′、B在一条直线上时，|PA﹣PB|有最大值，最大值为BA′．
【点评】本题主要考查的是轴对称的性质，明确当P、A′、B在一条直线上时，PB﹣PA有最大值是解题的关键．
模型2：同侧两定一动模型
4．著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？
【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．
【解答】解：作B点与河面的对称点B′，连接AB′，可得到马喝水的地方C，
如图所示，
由对称的性质可知AB′＝AC+BC，
根据两点之间线段最短的性质可知，C点即为所求．
【点评】本题考查的是最短路线问题，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短．
5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值为 6 （直接写出结果）．
【分析】（1）先证明△ABD≌△CBD（SSS），再证明△ADE≌△CDE（SAS），即可求证；
（2）求出∠DAE＝∠ABE＝30°，利用直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半即可求解；
（3）连接AF交BD于点P，连接PC，PC+PF的最小值为AF，求出AF即可．
【解答】解：（1）∵AB＝BC，AD＝CD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵AD＝EC，∠ADB＝∠CDB，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝ED，∠AED＝∠DEC＝90°，
∴BD垂直平分AC；
（2）∵DB⊥AC，
∴BE平分∠ABC，
∵∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝4，
∴BD＝8，DE＝2，
∴BE＝6；
（3）连接AF交BD于点P，连接PC，
∵BD是AC的垂直平分线，
∴A、C关于BD对称，
∴AP＝PC，
∴PC+PF＝AP+PF≥AF，
∴PC+PF的最小值为AF，
∵F是BC的中点，
∴AF⊥BC，
∵BE＝6，
∴AF＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
6．如图，ABC在直角坐标系中，
（1）请写出ABC三个顶点的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请在图中表示出点P的位置并写出点P的坐标．
【分析】（1）根据点A、B、C平直接写出坐标即可；
（2）找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P．
【解答】解：（1）A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）；
（2）找出A的对称点A′（1，﹣1），连接BA′，与x轴交点即为P，
如图所示：点P坐标为（2，0）．
【点评】本题考查了利用平移变换作图、轴对称﹣最短路线问题；熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
7．在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若AD＝12，试求PC+PE的最小值．
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．
【解答】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵AD＝12，点E是边AC的中点，
∴AD＝BE＝12，
∴PE+PC的最小值是12．
【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，延长DF交AB于点E，连接CE．
（1）求证：CE＝BE．
（2）若AB＝15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小？并求出此时PB+PC的值．
【分析】（1）先证明DE是AC的垂直平分线，再证明DE∥BC，最后由∠ECB＝∠EBC，即可证得CE＝BE；
（2）连接PA，PC，由垂直平分线的性质可得PC＝PA，再由两点之间线段最短即可得到所求PA+PB最小为AB的长．
【解答】解：（1）∵△ACD为等边三角形，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，
∴∠AEF＝∠FEC，
∵∠ACB＝∠AFE＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠AEF＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴CE＝BE；
（2）连接PA，PC，
∵DE垂直平分AC，P在DE上，
∴PC＝PA，
∵两点之间线段最短，
∴当P与E重合时PA+PB最小为15 cm，
∴PB+PC最小为15 cm．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质是解题的关键．
9．如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．
（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址P应选在哪个位置；
（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址Q应选在哪个位置？（分别在图上找出点P、点Q，并保留作图痕迹）
【分析】（1）根据中垂线的性质知，作AB的中垂线，交于直线MN于点P就是所求的点；
（2）由三角形的三边关系，三角形是任意两边之和大于第三边知，故作出点A关于直线MN的对称点E，连接BE交于直线MN的点Q是所求的点．
【解答】解：（1）（2）如图所示：
【点评】本题考查了利用中垂线的性质，轴对称的性质，三角形的三边关系求解．
模型3：两动一定模型
11．（1）已知：如图（1），点M在锐角∠AOB的内部，在边OA上求作一点P，在边OB上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小；
（2）已知：如图（2），点M在锐角∠AOB的内部，在边OB上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到边OA的距离之和最小．
【分析】（1）根据轴对称确定最短路线问题，作出点M关于OA的对称点M1，点M关于OB的对称点M2，连接M1M2，与OA、OB的交点即为所求的点P、Q；
（2）作出点M关于OB的对称点M′，根据垂线段最短，作M′C⊥OA，与OB的交点即为所求作的点P．
【解答】解：（1）如图所示，点P、Q即为所求作的使△PMQ的周长最小的点；
（2）如图所示，点P到点M的距离与点P到边OA的距离之和最小．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，主要利用了对称点的作法和轴对称的性质．
12．如图，BA、BC是两条公路，在两条公路夹角内部的点P处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？
【分析】利用关于直线对称点的性质得出P点关于AB的对称点P′，以及P点关于CB的对称点P″，连接P′P″即可得出．
【解答】解：如图所示：M、N点即为所求．
【点评】此题主要考查了应用作图与设计，利用关于直线对称点的性质得出是解题关键．
13．如图，已知∠AOB和∠AOB内一点P，你能在OA和OB边上各找一点Q和R，使得由P，Q、R三点组成的三角形周长最小吗？
【分析】设点P关于OA、OB对称点分别为M、N，当点R、Q在MN上时，△PQR周长为PR+RQ+QP＝MN，此时周长最小．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．
【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路线的问题，综合应用了轴对称、等腰直角三角形以及勾股定理的有关知识．
14．如图，点A位于∠MON的内一点，点P，Q分别为OM，ON上的动点，若∠MON＝30°，且OA＝2，当△APQ 的周长最小时，求△APQ周长的最小值．
【分析】分别作点A关于OP、OQ的对称点A'、A''，连接OA'、OA''、A'A''，A'A''交OP、OQ于点B、C，连接AB、AC，此时周长最小．
【解答】解：分别作点A关于OM、ON的对称点A'、A''，连接OA'、OA''、A'A''，A'A''交OM、ON于点P、Q，连接AP、AQ，此时△APQ周长的最小值等于A'A'．
由轴对称性质可得，OA'＝OA''＝OA＝2，∠A'OP＝∠AOP，∠A''OQ＝∠AOQ，．
则∠A'OA''＝2∠POQ＝2×30°＝60°，
在△A'OA''中，A'A''＝OA'＝2．
即△APQ周长的最小值等于2．
【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路线的问题，综合应用了轴对称、等腰直角三角形以及勾股定理的有关知识．
模型4：两定两动模型
15．在射线OM、ON分别找两点P、Q，使得四边形PQBA的周长最短．
【分析】分别作点A、B关于OM、ON的对称点A′和B′，连接A′、B′交OM、ON于点P、Q．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题主要考查的是轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．如图：要求在l1、l2上找出M，N两点．使四边形PQNM的周长最小，在图上画出M，N的位置．（不写画法，保留作图痕迹）
【分析】作出P、Q分别关于关于直线l1、l2的对称点P′，Q′，再连接P′Q′，分别与直线l1、l2的交点便为所要求作的M、N点．
【解答】解：①作P关于l1的对称点P′，作Q关于l2的对称点Q′，
②连接P′Q′，分别交l1和l2于点M和N点，
则PM+MN+QN＝P′M+MN+Q′N＝P′Q′的值最小，
∴此时PQ+PM+MN+QN＝PQ+P′Q′的值最小，
即四边形PQNM的周长最小．
故上图中的M、N两点就是所要求作的点．
【点评】本题主要考查了作图的应用，轴对称﹣最短路线问题，关键是正确应用轴对称和两点之间线段最短作图．
17．如图，C为马，D为帐篷，牧马人牵马，先到草地边牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．
【分析】作出点C的关于AO的对称点C'，点D的关于BO的对称点D'，连接两个对称点，交于AO于点P，交BO于点Q，连接CP，DQ，则CP+PQ+DQ是最短路线．
【解答】解：如图所示，CP+PQ+DQ即为所求．
【点评】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
18．如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检查，再到公路n上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法．
【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作A关于公路m的对称点A′，作B关于公路n的对称点B′，连接A′B′与公路m，n分别相交于点M、N，然后沿A→M→N→B走才能使总路程最短．
【解答】解：如图所示，分别作A、B关于公路m、n的对称点A′、B′，连接A′B′交m、n于M、N两点，连AM、BN，则A→M→N→B即为最短路线．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，应用与设计作图，此类问题的求解方法比较单一，需熟记．
模型5：造桥选址模型
19．如图，A和B两地之间有两条平行的河流，现要在两条河上各造一座桥MN和EF，桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
【分析】根据修建的桥必须是与河岸垂直的，利用平移的知识，先将在桥上要走的路程放在开始走，然后就可以利用“两点之间线段最短”即可解决问题．
【解答】解：沿河流垂直方向平移A到A'，使AA'等于河宽，平移B到B'，使BB'等于河宽，连接A'B'，分别交A、B的对岸为于点N、点E．作NM垂直河流，交河岸于点M，作EF垂直河流，交河岸于点F．
此时AM﹣MN﹣NE﹣EF﹣FB最短．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，利用平移的性质得出桥的位置是解题关键．
20．如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
【分析】先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，即可得出答案．
【解答】解：如图，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．
理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换以及利用轴对称解决最短路径问题，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
21．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？
【分析】由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将AD、BE平移至
D′F、E′G，即可得到桥所在位置．
【解答】解：作AF⊥CD，且AF＝河宽，
作BG⊥CE，且BG＝河宽，
连接GF，与河岸相交于E′、D′．
作DD′、EE′即为桥．
证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF＝DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD＝FD′，
同理，BE＝GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小；
即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最短．
距离为+5×2＝110米．
【点评】此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，由于有固定长度的线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．
22．如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B，两村要在河上合修一座便民桥，桥修在什么地方可以使桥到两村的距离之和最短？
【分析】如图作点A关于河岸的对称点C，连接BC交河岸于点P，点P就是桥的位置．
【解答】解：如图作点A关于河岸的对称点C，连接BC交河岸于点P，点P就是桥的位置．
理由：两点之间线段最短．
【点评】本题考查轴对称﹣线段最短问题，两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用对称找到点P（桥）的位置，属于中考常考题型．
23．如图，荆州护城河在CC'处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经两座桥（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西南北方向的，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？
【分析】由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将AD、BE平移至D′F、E′G，即可得到桥所在位置．
【解答】解：作AF⊥CD，且AF＝河宽，
作BG⊥CE，且BG＝河宽，
连接GF，与河岸相交于E′、D′．
作DD′、EE′即为桥．
由作图法可知，AF∥DD′，AF＝DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD＝FD′，
同理，BE＝GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小；
即当桥建于如图所示位置时，才能使从A到B的距离最短．
【点评】此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，由于有固定长度的线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．
24．如图，河两岸有甲、乙两村庄，现准备建一座桥，桥必须与河岸垂直，问桥应建在何处才能使由甲到乙的路程最短？请作出图形，并说明理由．
【分析】本题为数学知识的应用，由题意建一座桥，桥必须与河岸垂直，问桥应建在何处才能使由甲到乙的路程最短，肯定要尽量缩短两地之间的路程，就用到两点间线段最短定理．
【解答】解：设桥为 CD，则这个问题中的路线为 AC、CD、DB 三条线段之和．怎样转化为两点间的一条线段呢？经观察，不难发现其中的线段 CD 是定值，因此只需要考虑使 AC+DB 最短．它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移 DB 到 CB′，此时连接 AB′交l于P，得桥址．
【点评】本题也可以将乙点向上平移河的宽度，得到点丙连接甲和丙，则与甲一侧的河岸交点是最近的建桥地点．因为这时候甲到乙的路程等于甲到丙的距离加上河的宽度，是一个直线加上河宽，在其它地方建路程是乙到丙的一个折线加上河宽．
25．如图，在平面直角坐标系中，两个村庄M、N的坐标分别是（4，6）、（1，0），两村庄之间有一条河，河的两岸线的纵坐标分别是2和3，现准备在河上建一座桥（桥近似看成一条线段），桥垂直于河岸线，再在桥的两端向两个村庄铺建直线型路段，当两路段之和最小时，完成下列问题．
（1）请画出桥的位置．（用虚线画出必要的辅助线）
（2）你所画的桥的位置的数学依据是 ．
（3）直接写出B的横坐标．
【分析】（1）因为河宽1个单位，所以将点M向下平移1个单位得M'（4，5），连接M'N，交河岸于B，过B作AB⊥河岸，AB为桥的位置．
（2）根据题意得：数学依据为两点之间，线段最短．
（3）求直线M'N的解析式，直线M'N与y＝2相交可求桥的横坐标．
【解答】解：（1）如图所示，桥AB即本题所求．
（2）两点之间，线段最短
（3）设直线M'N的解析式y＝kx+b
根据题意得：
解得：
∴y＝x﹣
当y＝2时，2＝x﹣
x＝
∴桥的横坐标为．
【点评】本题考查的是最短路线问题，待定系数法，解答此题的关键是画出图形，根据两点之间线段最短的道理求解