2021-2022学年北京市海淀外国语实验学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市海淀外国语实验学校七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列说法正确的是(    )

A. 的平方根是 B. 的立方根是
C. 的立方根是 D. 只有非负数才有立方根

2. 下列各点中，位于第二象限的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列实数，，，，，中，无理数有个．(    )

A.  B.  C.  D.

4. 我们可以用右面的两个相同的三角尺作出平行线，其中的道理是(    )

A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 同垂直于一直线的两条直线平行

5. 若，则估计的值所在的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为，“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 方程组，将代入得(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则的度数等于(    )

A.
B.
C.
D.

9. 已知点的坐标为，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知为实数，规定运算：，，，，，按上述方法计算：当时，的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 比较大小： ______填，，．
12. 若是方程的一个解，则______．
13. 在平面直角坐标系中，点到轴距离是______ ．
14. 如图，长方形的顶点，分别在直线，上，且，，则的度数为______．

15. 如图，以单位长度为边画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与负半轴的交点表示的数是______．

16. 如图，将周长为的沿方向向右平移个单位得到，则四边形的周长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共52分）

17. 计算：；
    解方程：．
    解方程组．
18. 已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
19. 按要求完成下列证明：
    如图：，直线交于点，求证：．
    证明：
    已知，
    ______
    ______，
    ____________，
    ______

20. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点，，的坐标分别为，，，如果将三角形先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形，点，，分别为点，，平移动后的对应点．
    请在图中画出三角形；
    直接写出点，，的坐标和三角形的面积．

21. 如图，，，于，求证：．
     

22. ，则在第______象限．
23. 有一个数值转换机，原理如图：
    当输入的时，输出的______．
24. 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
    ，
    ，
    ，
    ．
    观察算式规律，计算______；______．
    用含正整数的代数式表示上述算式的规律：______；
    计算：．
25. 探究：如图，，试说明．
    应用：如图，，点在、之间，与交于点，与交于点若，，则的大小是多少？
    拓展：如图，直线在直线、之间，且，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接、若，则 ______ 度请直接写出答案．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：：的平方根是，故原说法不正确，不符合题意；
：的立方根是，故原说法不正确，不符合题意；
：的立方根是，故原说法正确，符合题意；
：任何实数都有立方根，故原说法不正确，不符合题意．
故选：．
根据平方根和立方根的定义即可得出答案．
本题考查了算术平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解决此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为第二象限的点的坐标的特征是，
所以在第二象限，
故选：．
根据第二象限的点的坐标特征判断即可．
本题考查了点的坐标，熟练掌握每一个象限的点的坐标特征是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有，，，共个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据图形可得，
所以根据内错角相等可判断．

故选：．
利用两个相同的三角尺得到，然后根据平行线的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
估算无理数的大小即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．
【解答】
解：根据题意建立坐标系如图所示：

棋子“炮”的坐标为．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：代入得，，
即．
故选D．
根据代入消元法，把中的换成即可．
本题考查了代入消元法解方程组，把方程中的未知数换为另一个未知数的代数式即可，比较简单．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
，
，
，
故选：．
根据翻折不变性以及平行线的性质解决问题即可
本题主要考查了平行线的性质的运用，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，平行于轴，
，
解得，
，，
点的坐标为，
故选：．
根据点的坐标为，点的坐标为，平行于轴，可以得到，然后求出的值，再代入点的坐标中，即可得到点的坐标．
本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确平行于轴的直线上点的横坐标都是相等的．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，

，
，
故选：．
把代入进行计算，找出规律即可解答．
本题考查了实数的运算，规律型：数字变化类，把代入进行计算从数字找规律是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
先比较两数的平方的大小，然后即可作出判断．
本题考查实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：把代入方程，得
，
所以，
即的值为．
把方程的解代入方程，把关于和的方程转化为关于和的方程，再根据系数的关系来求解．
本题考查了二元一次方程的解，注意运用整体代入的思想．
 

13.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点到轴的距离为．
故答案为：．
根据点的纵坐标的绝对值是点到轴的距离，可得答案．
本题考查了点的坐标，点的纵坐标的绝对值是点到轴的距离，横坐标的绝对值是点到轴的距离．
 

14.【答案】 

【解析】解：作，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
作，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质计算．
本题考查的是矩形的性质、平行线的性质，掌握矩形的四个内角都是是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，
正方形的对角线长为，
与负半轴的交点到原点的距离是，
该点对应的数为．
故答案为：．
根据勾股定理计算对角线的长度，从而得出与负半轴的交点所表示的数．
本题考查了实数与数轴的对应关系，以及勾股定理和正方形的性质，根据勾股定理得到对角线的长度是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，将周长为的沿边向右平移个单位得到，
则，，，
又，
四边形的周长．
故答案为：．
根据平移的基本性质解答即可．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到，是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；

，
，
，
，
解得：，；

，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以原方程组的解是． 

【解析】先根据算术平方根和立方根的定义进行计算，再算加减即可；
移项后方程两边乘得出，再开方，即可得出两个方程，再求出方程的解即可；
得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程和解二元一次方程组，能正确根据实数的运算法则进行计算是解的关键，能选择适当的方法解一元二次方程是解的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程组是解的关键．
 

18.【答案】解：由题意得：
，，
，，
，
，
的整数部分是，
，


，
的平方根是． 

【解析】根据平方根，算术平方根的意义可得，，从而求出，的值，然后估算出的值，从而求出的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
 

19.【答案】两直线平行，同位角相等  已知    等量代换  同旁内角互补，两直线平行 

【解析】证明：已知，
 两直线平行，同位角相等．
已知，
 等量代换，
同旁内角互补，两直线平行．
根据平行线的性质与判定填空即可．
本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是掌握平行线性质与判定定理．
 

20.【答案】解：如图，三角形即为所求；
，，，
三角形的面积．
 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，；
根据点的位置写出坐标即可，把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质学会用分割法求三角形面积．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
于，即，
，
即． 

【解析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
根据平行线的判定与性质可得，，继而得，又于，即，可得，即．
 

22.【答案】二 

【解析】解：由题意得，，，
解得，，
所以，点的坐标为，在第二象限．
故答案为：二．
根据非负数的性质列式求出、，再根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了非负数的性质和点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

23.【答案】 

【解析】解：，不是无理数，返回，
，不是无理数，返回，
是无理数，输出，
故答案为：．
计算的算术平方根，判断是不是无理数，如果不是就返回计算，如果是就输出答案．
本题考查了代数式求值，掌握的算术平方根是不是无理数，如果不是就返回计算，如果是就输出答案是解题的关键．
 

24.【答案】    

【解析】解：，
，
故答案为：，；
正整数的代数式表示上述算式的规律：；
故答案为：；
原式


．
直接根据规律计算即可；
归纳总结得到第个等式即可；
原式变形后，确定的个数，的个数，利用得出的规律计算即可求出值．
此题考查了有理数的混合运算，以及数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

25.【答案】或 

【解析】解：如图，，
，，
，
．
由中探究可知，，
，且，
，
；
如图，当为钝角时，
由中结论可知，，
；

当为锐角时，如图，
由中结论可知，，
即，

综上，或．
故答案为：或．
由可得，，，则；
利用中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得；
结合中的结论可得，注意需要讨论是钝角或是锐角时两种情况．
本题主要考查平行线的性质与判定，难度适中，观察图形，推出角之间的和差关系是解题关键．