湖北省武汉市江汉区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．
1. 下列实数是无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数．根据无理数的定义，逐项判断，即可．
【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意；
B、不是无理数，故本选项不符合题意；
C、不是无理数，故本选项不符合题意；
D、不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：A
2. 甲骨文是中华优秀传统文化的根脉，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，根据图形的平移的定义逐一判断即可求解，熟记：“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”是解题的关键．
【详解】解：A，B，C可通过轴对称得到，只有D是利用图形的平移得到的，
故选D．
3. 在平面直角坐标系中，第二象限内的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查象限内点的坐标特征，第二象限的点横坐标为负，纵坐标为负，据此判断即可．
【详解】解：∵第二象限的点横坐标为负，纵坐标为负，
∴是第二象限内的点，
故选：C．
4. 如图，要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式，线段最短，理由是（ ）
A. 两点之间，线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据“垂线段最短”，即可求解．
【详解】解：线段最短，理由是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故选：D
5. 如图是一款折叠LED护眼灯示意图，是底座，，分别是长臂和短臂，点在上，若，，则长臂和短臂的夹角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B
6. 下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
7. 如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角的运算、垂线的定义、对顶角的性质，先根据，得出，结合，根据对顶角相等，则，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
则，
故选：C．
8. 如图，下列条件中能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定，“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”．根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】解：，
∴，
故A不符合题意；
，
∴，
故B符合题意；
，
∴，
故C不符合题意；
，
∴，
故D不符合题意；
故选：B．
9. 如图，用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形，大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的大小估算，根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，再对无理数进行估算即可求解，掌握估算方法是解题的关键．
【详解】解：∵用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：，
则大正方形边长为：，
∵，
∴，
∴大正方形的边长最接近的整数是7，
故选C．
10. 下列命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④，，是三条不重合的直线，如果，，则；⑤，，是三条不重合的直线，如果，，则．其中真命题的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了真假命题的判断，包括对顶角的定义，同位角的定义，垂线的性质，平行线的性质与判定，平行公理及其推论，熟练掌握以上定理公理是解题的关键．
①根据相等角的概念判断；
②根据同位角相等的前提条件判断；
③根据平行公理进行判断；
④根据平行公理的推论进行判断；
⑤根据垂直的定义进行判断．
【详解】①由对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故①错误；
②因为“两直线平行，同位角相等”，故②错误；
③根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，故③错误；
④根据平行公理的推论：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行”，所以④正确；
⑤当，，那么平行于，故⑤错误．
故答案为：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11. ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据立方根的概念求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查求一个数的立方根，理解概念正确计算是解题关键．
12. 点在轴上，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了在x轴上点的坐标特点，根据在x轴上的点纵坐标为0得到，即可求得．
【详解】解：∵在轴上，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 已知，，则___．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动2个位数，则它的算术平方根就向左向右移动1个位数”可知答案．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了求算术平方根，掌握规律是解题的关键．
14. 上图是游乐园一角的平面示意图，如果跷跷板的坐标为，碰碰车的坐标为，则摩天轮的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据跷跷板的坐标为，碰碰车的坐标为，确定原点，后解答即可．
【详解】∵跷跷板的坐标为，碰碰车的坐标为，
建立坐标系如下：
∴摩天轮的坐标为,
故答案为：．
15. 如图，已知，直线分别交，于点，，平分，若，则________．
【答案】56
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义．根据平行线的性质可得，再由角平分线的定义，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
故答案为：56
16. 如图是一块长方形的草地，宽为10米，长为14米，图中阴影部分为等宽的两条小道，小道汇合处的宽度是2米，其余部分宽度是1米，则图中小道（阴影部分）的占地面积是________平方米．
【答案】32
【解析】
【分析】此题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键．
根据已知将道路平移，再利用长方形的性质求出长和宽，再进行解答．
【详解】解：由图可知：长方形中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的长方形，且它的长为：米，宽为米，
∴（平方米）．
则图中小道（阴影部分）的占地面积是32平方米，
故答案为：32．
三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了化简绝对值、求一个数的立方根、二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简绝对值，再合并同类二次根式，即可作答．
（2）先运算乘法，得出，再运算减法，即可作答．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
．
18. 求下列各式中的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是利用平方根的含义与立方根的含义解方程：
（1）先移项，再等式两边同时除以5，然后开平方即可求解；
（2）先将常数移项，再等式两边同时乘以3，之后开立方，即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
19. 完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
已知：如图，，，．求证：．
证明：，，
，（①________）．
．
（②________）．
（③________）．
又，
．
④________⑤________（⑥________）．
（两直线平行，同位角相等）．
【答案】①垂直的定义；②同旁内角互补，两直线平行；③两直线平行，同位角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】本题考查了垂直的定义、平行线的性质与判定的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先由垂直的的定义，得出，，根据同旁内角互补，得出，再结合，得知，即可作答．
【详解】证明：，，
，（垂直的定义）．
．
（同旁内角互补，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等）．
又，
．
（内错角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：①垂直的定义；②同旁内角互补，两直线平行；③两直线平行，同位角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行．
20. 如图，直线，分别被直线，所截，已知．
（1）如图（1），若，求的度数；
（2）如图（2），是线段上的一个动点，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质探究角的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由同旁内角互补，得出，结合，进行角的运算，即可作答．
（2）过点作，得出，根据平行线的性质，进行列式代数计算，即可作答．
【小问1详解】
解：，
，
．
，
．
【小问2详解】
解：过点作．
，，
，
，
，
21. 在的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，网格线的交点称为格点，图中，，都是格点．请用无刻度的直尺画图，并回答相关问题．
（1）分别写出点，点和点的坐标；
（2）将三角形作平移变换．得到三角形，三角形内一点平移后的对应点为，画出三角形；
（3）是线段上的格点，在直线上画点，使；
（4）已知，在（3）的条件下，是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，直接写出的最小值．
【答案】（1），，
（2）见解析 （3）见解析
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了图形与坐标变换——平移：
（1）直接根据题意写出三个点的坐标，即可；
（2）根据题意可得三角形先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到三角形，再找到点A，B，C的对应点，即可；
（3）取格点F，使，连接，在的延长线上取点G，即可；
（4）当点三点共线，且时，最小，连接，过点F作于点K，则此时，即的最小值为的长，根据，即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：，，；
【小问2详解】
解：∵三角形内一点平移后的对应点为，
∴三角形先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到三角形．
如图，三角形即为所求；
【小问3详解】
解：如图，点E即为所求；
理由：取格点F，使，连接，在的延长线上取点G，
∴，
∵，
∴
由平移的性质得：，
∴；
【小问4详解】
解：当点三点共线，且时，最小，
连接，过点F作于点K，则此时，
即的最小值为的长，
∵，
由平移的性质得：，
∴，
解得：，
即的最小值为．
第Ⅱ卷（本卷满分50分）
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
22. 一个正数的两个平方根分别是和，且，则________，________．
【答案】 ①. 2 ②. 3
【解析】
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此列式，得出的值，再求出的值，根据立方根的性质得出的值，再代入，即可作答．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：2，3．
23. 已知直线轴，点到轴的距离等于7．若点，则点的坐标是________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据直线轴，可求得点的纵坐标为，再根据点到轴的距离等于7可求得点的横坐标，进而可求解，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键．
【详解】解：直线轴，，
点的纵坐标为，
点到轴的距离等于7，
点的横坐标为7或，
点的坐标是或，
故答案为：或．
24. 如图，若，，且，，则________．

【答案】40
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解二元一次方程组．根据平行线的性质，可得，从而得到，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：40．
25. 将图（1）中的长方形纸片沿翻折得到图（2），再将图（2）中的四边形沿翻折得到图（3）．在图（3）中，下列四个结论：①；②；③；④．
其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质．延长交于点M，延长至点K，延长至点P，过点F作，由折叠的性质得：，再由平行线的性质可得，然后结合三角形外角的性质，可判断①；根据，可得，由折叠的性质得：，，再由，可得，从而得到，从而得到，可判断②；根据，可得，从而得到，可判断③；根据，可得，可判断④．
【详解】解：如图，延长交于点M，延长至点K，延长至点P，过点F作，
由折叠的性质得：，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由题意得：，
∵，
∴，
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴不一定平行于，故②错误；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①③④
五、解答题（共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
26. 在四边形中，平分，交于点，交的延长线于点，．
（1）求证：；
（2）为上一点，连接，．
①求证：；
②如果，那么平分吗？为什么？
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②平分，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由角平分线的定义得出，再结合角的等量代换，得，即可作答．
（2）①先证明，由（1）知，得出，即可作答．
②由平行线的性质，得出，，结合，则，与①同理，得出，即可作答．
【小问1详解】
证明： 平分，
．
又，
，
．
【小问2详解】
证明：①，
，
．
由（1）可知，
，
．
②平分，理由如下：
，
，，
，
．
由（1）可知，
，
，
平分．
27. 小李同学探索的近似值的过程如下：
面积为137的正方形的边长是，且，
设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积．
又，．
当时，可忽略，得，得到，
．
（1）且接写出下列各数的整数部分的值：①；②；
（2）仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）；
（3）结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）．
【答案】（1）①2；②9
（2），图见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算：
（1）先判断及，进而可求解；
（2）设，其中，画出示意图，可得，当时，可忽略，得，可求得，进而可求解；
（3）如图：设，正方形的面积为：，而，当较小时，省略，得，进而可求解；
关键在于理解题意并作出分析．
【小问1详解】
解：①，
，
整数部分的值为2；
②，
，
整数部分的值为9．
【小问2详解】
面积为66的正方形的边长是，且，
设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积．
又，
．
当时，可忽略，得，得到，
．
【小问3详解】
如图：设，
正方形的面积为：，而，
当较小时，省略，得，
，
．
28. 如图（1），在平面直角坐标系中．已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上．
（1）直接写出点，点的坐标；
（2）若是轴上一个动点，当三角形的而积恰好等于三角形面积的两倍时，求点的坐标；
（3）若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点．
①当点在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由；
②若三角形的面积等于14，直接写出点的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）①；②或
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质可以直接写出点，点的坐标；
（2）根据三角形之间的关系可得到，依据此条件可列出关于的等式，，解此等式便可得到点的坐标；
（3）①依据，两个动点的运动速度之比为，可得到，，，，由此便可计算三角形之间的关系，最终得到；②由小问①可以直接写出点的坐标．
【小问1详解】
∵点，，且将线段平移得到线段，
由于点的对应点在轴上，点的对应点在轴上，
∴可判断线段先向下平移2个单位，再向右平移8个单位，
∴，；
【小问2详解】
如图所示，连接，设交轴于点，
∵，
∴，
∴，，
由于点在轴上，所以设，
∴，
，
∵，
∴，
∴或，
∴或；
【小问3详解】
①
理由：由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是，
设，，
当点在第二象限时，如图所示：
，，，，
∵，
，
∴，
∵，
，
∴．
②由题意可知，存在两种情况，分别是在第二象限和在第四象限的情况；
当点在第二象限时，如图所示：
由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是，
设，，
此时，，，，
∵，
，
∴，
∵，
，
∴，
设点，
则可得：，整理得到：，
故设点，
∴，
，
∴，
∵,
∴，
∴,
，
；
解得：，
故点；
当点在第四象限时，如图所示：
由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是，
设，，
此时，，，，
∵，
，
∴，
∵，
，
∴，
设点，
则可得：，整理得到：，
故设点，
∴，
，
；
解得：，
故点；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，熟练的利用数形结合与方程思想解题是关键．