湖北省武汉市洪山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项．
1．本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟．
2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息．
3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效．
4．认真阅读答题卡上的注意事项．
预祝你取得优异成绩！
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【详解】解：依题意，得
，
解得，．
故选：C．
2. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为2和3，则斜边的长为（ ）
A. B. C. 5D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．直接利用勾股定理计算得出答案．
【详解】解：直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，
斜边的长为：．
故选：B
3. 如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平形四边形，则下列正确是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B． ∵，∴，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
C．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴四边形为平形四边形，
故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式相关运算法则逐项判断即可．
详解】解：与2不能合并，故选项A错误，不符合题意；
与不能合并，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
5. 由下列线段，，首尾相连组成三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：．，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；
．，故是直角三角形，故此选项符合题意；
．，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；
．，故不是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：．
6. 菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 对角线平分一组对角
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的性质，矩形的性质以及中心对称图形定义可得答案．
【详解】解：菱形和矩形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握对角线互相平分．
7. 若是整数，则正整数的最小值为（ ）
A. 5B. 7C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
由，是整数，可求正整数的最小值．
【详解】解：∵，是整数，
∴正整数最小值为7，
故选：B．
8. 如图，一木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处，则木杆折断之前的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出木杆折断之前的高度．
【详解】解：一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，
折断的部分长为：，
折断前高度为．
故选：C
9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、割补法以及三角形面积公式等知识，解题的关键是由勾股定理求出的长，再由割补法求出的面积，然后由三角形面积公式求出的长即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
，
又，
，
，
故选：A．
10. 如图，，，在正方形的边上，，垂直平分交于，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】过N作于G，利用正方形的性质可判定是等腰直角三角形，求出，证明四边形是矩形，可得出，则，利用证明，得出，，从而可证明是等腰直角三角形，进而可求出，利用含角的直角三角形性质得出，即可求解．
【详解】解∶过N作于G，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，即，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选∶A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，含角的直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．
11. 化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟知是解题关键，据此进行化简即可求解
【详解】解：．
故答案为：
12. 平面直角坐标系中，点的坐标为，则点到原点的距离是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题关键是勾股定理的正确应用．由点的坐标为，则点到原点的距离．
【详解】解：由点的坐标为，
则点到原点的距离．
故答案为：．
13. 已知，则值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．先根据完全平方公式得出，再代入求出答案即可．
【详解】解：，
．
故答案为：0．
14. 如图，将矩形沿折叠，点与点重合，连结并延长分别交，于点，，且．若，则________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，三角形内角和定理，等边对等角等等，由矩形的性质得到，，由三角形内角和定理得到，则由折叠的性质得到，再由平行线的性质结合平角的定义得到，据此根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∴；
故答案为：．
15. 如图，在平行四边形中，，于点，点，分别是，的中点，连接，，，与交于点．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确的结论是______．（填写所以正确结论的序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形中位线性质，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．根据平行四边形的性质及菱形的判定判断①；根据全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质判断③；由中位线性质及平行四边形的判定与性质判断④．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是、的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形，故①正确；
延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，故③正确；
如图，作出线段的中点P，连接，
P是线段的中点，F是线段的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，故④正确；
从现有条件无法推得②成立，
故答案为：①③④
16. 如图，在中，，分别以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连接并延长交于，过作交于，若，则正方形的面积等于________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定理进行求解．设与相交于点H，过点H分别作，先证得，再由角平分线的性质可得，从而得到，设，则，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，设与相交于点H，过点H分别作，
，
，
四边形是正方形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是正方形的对角线，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
中，，
解得：（负值舍去），
，
正方形的面积等于，
故答案为：36．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减、乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的乘除法进行计算即可求解．
【小问1详解】
原式，
；
【小问2详解】
原式
18. 如图，在四边形中，，，，．
（1）直接写出的长为________；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；
（1）连接，根据勾股定理，即可求解；
（2）勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，进而根据，即可求解．
【小问1详解】
解：连接，
∵，，
∴，
故答案为：．
小问2详解】
∵，，．
∴
∴
∴是直角三角形，
∴
19. 如图，，平分交于点，平分交于点，连接．求证：四边形是菱形．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由平行线的性质和角平分线定义得出，证出，同理：，得出，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，再由邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论．
【详解】证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理得，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．
20. 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先求出、，再根据进行求解即可；
（2）根据进行求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
∴，
【小问2详解】
．
21. 如图所示，由正方形组成的的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．直角三角形的顶点均为格点，点在线段上．请你仅用无刻度直尺按要求完成作图，作图痕迹用虚线表示．
（1）在图1中，作平行四边形；
（2）在图1中，在上作点，使得；
（3）在图2中，作的边上的高；
（4）在图2中，在上作点，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图一应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据平行四边形的定义画出图形即可；
（2）连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求；
（3）取格点连接交于点，线段即为所求；
（4）作等腰，作中线，连接交于点，连接，延长交于点，线段即为所求．
【小问1详解】
如图1中，平行四边形即为所求；
【小问2详解】
如图1中，点即为所求；
【小问3详解】
如图2中，线段即为所求；
【小问4详解】
如图2，线段即为所求．
理由：由题意可得四边形是矩形，
是中点，
由题意可得是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
22. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为．
（1）当________时，四边形为平行四边形；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）当时，的值为秒或秒
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、一元一次方程的应用、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据平行线的判定可知，当时，四边形为平行四边形，得到，解方程即可得到答案；
（2）分两种情况分别画出图形进行解得即可．
【小问1详解】
∵，
∴
当时，四边形为平行四边形；
∵，
∴，
解得，
即当时，四边形为平行四边形；
故答案为：
【小问2详解】
①如图1，
过点A作交于点E，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴,
在中，，
即，
解得，
即，
解得，
②如图2，过点D作交于点E，
同理可得，，即，
解得，
∵P运动的总时间为，Q运动的总时间为，
∴，
综上，当时，的值为秒或秒
23. 为等边三角形，是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，为线段中点，连接，．
结论猜想：当点与点重合时，请你在图1中补全图形，并直接写出的形状为________；
结论推广：如图2，当点在延长线上时，的形状是否仍然保持不变？若不变，请证明；若变化，请说明理由．
【答案】结论猜想：直角三角形；（2）结论推广：形状不变，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，难度较大，综合性较强，解决问题的关键是“倍长中线”模型方法．
（1）先补全图形，连接，证得为等边三角形，再进行求解即可；
（2）延长至，使，连接，先证得，进而证得，进一步得，，从而得出结论；
【详解】解：结论猜想：
补全图形如下：
连接，
为等边三角形，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，
，
为等边三角形，
，
为线段中点，
，
是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
结论推广：
形状不变，理由如下：
如图，延长至，使，连接，
是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
是直角三角形，
24. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，，为线段上一点（不与，重合）．
（1）直接写出，，三点的坐标；
（2）是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点坐标；
（3）作于，于，连，为的中点，直接写出周长的最小值．
【答案】（1）；；
（2）点坐标为或
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，相似三角形的性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
（1）根据含有角的直角三角形的三边关系，即可解答；
（2）设，根据菱形对角线的性质分三种情况讨论即可求解；
（3）取的中点G、H，连接，作点关于的对称点，连接，由对称性可知，，此时的周长最小，即可解答。
【小问1详解】
解：，，
，
，
，
根据勾股定理可得，
，
，
根据勾股定理可得，
；
【小问2详解】
解：设，
当为对角线时，，
，
此时，可得方程，
解得，
，
；
当为对角线时，，
，
故线段上不存在点使得；
当为对角线时，
此时点E在点C左边，且，
可得，
综上所述，点坐标为或；
【小问3详解】
解：如图，
于，于，
，
四边形为矩形，
为的中点，
为的中点，
的纵坐标为
如图，取的中点G、H，连接，作点关于的对称点，连接，
由对称性可知，，此时的周长最小，
故周长最小值为，
根据勾股定理可得，
周长最小值为．