湖北省武汉市经开区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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满分：120分 时间：120分钟
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．据此列式求解即可．
【详解】解：依题意，得
，
解得，．
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法法则、乘法法则、二次根式的除法法则进行判断．
【详解】解：A．与不能合并，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减法法则、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3B. 3，4，5C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数．根据勾股数的定义逐项分析即可．
【详解】解：A. 因为，所以这组数不是勾股数，不符合题意；
B. 因为，所以这组数是勾股数，符合题意；
C. ，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
D. ，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意．
故选：B
【点睛】本题主要考查了勾股数的知识，熟知满足 的三个正整数，称为勾股数是解答此题的关键．
4. 如图，▱ABCD中，∠B＋∠D＝100°，则∠A＝（ ）
A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°
【答案】D
【解析】
【分析】四边形ABCD是平行四边形，由“平行四边形对角相等”可得∠B＝∠D，又由∠B+∠D＝100°，即可求得∠B的度数，然后根据平行四边形的性质“平行四边形邻角互补”即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠B+∠D＝100°，
∴∠B＝∠D＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝130°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
5. 如图，在长方形中，点是上一点，连接，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则折痕的长度为（ ）
A. B. 10C. D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠性质，，，从而由长方形性质知，，根据，得到，在中，利用勾股定理得到，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，从而在中，利用勾股定理得到，从而得到答案．
【详解】解：由折叠性质可知，，
在长方形中，，
，
，
在中，利用勾股定理得到，
设，则，
在中，利用勾股定理得到，即，解得，
，
在中，利用勾股定理得到，
故选：C．
【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，涉及长方形性质、折叠性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质及勾股定理求线段长是解决问题的关键．
6. 由矩形(非正方形)各内角平分线所围成的四边形一定是( )
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形性质，三角形内角和定理及角平分线定义得到所求的四边形的各个角为90°，进而求解．
【详解】如图，
∵AF，BE是矩形的内角平分线．
∴∠ABF=∠BAF-90°．
故∠1=∠2=90°．
同理可证四边形GMON四个内角都是90°，则四边形GMON为矩形．
又∵有矩形ABCD且AF、BE、DK、CJ为矩形ABCD四角的平分线，
∴有等腰直角△DOC，等腰直角△AMD，等腰直角△BNC，AD=BC．
∴OD=OC，△AMD≌△BNC，
∴NC=DM，
∴NC-OC=DM-OD，
即OM=ON，
∴矩形GMON为正方形，
故选D．
【点睛】本题考查的是矩形性质，角平分线定义，联系三角形内角和的知识可求解．
7. 下列各命题中，原命题成立，而它逆命题不成立的是（ ）
A. 平行四边形的两组对边分别平行
B. 矩形的对角线相等
C. 四边相等的四边形是菱形
D. 直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和
【答案】B
【解析】
【分析】分别判断该命题的原命题和逆命题后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、平行四边形的两组对边分别平行，成立，逆命题为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，成立，逆命题为对角线相等的四边形是矩形，不成立，符合题意；
C、四边相等的四边形是菱形，成立，逆命题为菱形的四条边相等，成立，不符合题意；
D、直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，成立，逆命题为两边的平方和等于第三边的平方的三角形为直角三角形，成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是命题和定理的知识，正确的写出它的逆命题是解题的关键．
8. 我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做“中点四边形”．若一个四边形的“中点四边形”是一个菱形，则四边形一定满足（ ）
A. 是菱形B. 对角线相等C. 对角线垂直D. 对角线互相平分
【答案】B
【解析】
9. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，平分交边于点E，点F是的中点，连接，则的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质得到，， ，且，，，证明是等边三角形，则，得到，则，平分交边于点E，则，得到，则，得到，由中位线定理即可得到答案．
【详解】∵四边形是矩形，对角线相交于点O，，
∴，， ，且，，，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵平分交边于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，点O是的中点，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理、等边三角形的判定和性质是解题的关键．
10. 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝6，则CD的长为（ ）
A. 3B. 4C. 2D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连结CE，DE，则△DCE为等边三角形，△ADE为直角三角形，进而求出DE的长即可．
【详解】如图所示，将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连结CE，DE，
由旋转的性质知DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝60°，BD＝AE＝6，
则△DCE为等边三角形，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝90°，
∴AD2+DE2＝AE2，
∴42+DE2＝62，
∴DE＝CD＝2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理，根据已知得出∠ADE=90°是解题关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. ______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了算术平方根的概念，难度较小．
12 计算：_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
13. 中，，，高，则底边的长是______．
【答案】11或5
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当三角形为锐角三角形时，在和中，由勾股定理分别求出BD和CD的长，再由求出BC的长即可；当三角形为钝角三角形时，同理计算BD和CD的长，再由求出BC的长即可；
【详解】解：分两种情况讨论：
（1）如图1所示，此时三角形为锐角三角形，
在中，由勾股定理可知，
在中，由勾股定理可知，
此时；
（2）如图2所示，此时三角形为钝角三角形，
在中，由勾股定理可知，
在中，由勾股定理可知，
此时；
综上所述，底边的长是11或5．
故答案：11或5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理并运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
14. 如图一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为2cm的长方体纸箱A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短路线的长是_________cm
【答案】
【解析】
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：当如图1所示时，
（cm），当如图2所示时，
（cm），
当如图3所示时，
（cm），∵，
∴它所行走的最短路径的长是cm．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题是解题的关键．
15. 如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，点Q是线段上的动点（点Q不与点O，A重合），连结，并延长交边于点E，过点Q作交于点F，分别连结与，交对角线于点G，过点C作交于点H，连结．以下四个结论：①；②周长为8；③，④线段的最小值为．其中正确的结论是 _____．（填序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】通过证明点B，点C，点F，点Q四点共圆，可得，，可证，故①正确；由“”可证，，可得，由线段的和差关系可得的周长为8，故②正确；由题意可得点H在以为边的圆上运动，则当点H在上时，有最小值为，故④正确；通过证明点E，点F，点G，点Q四点共圆，可判断③．
【详解】解：∵，
∴，
∴点B，点C，点F，点Q四点共圆，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
如图，延长至N使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的周长，故②正确；
∵，
∴，
∴点H在以为边的圆上运动，
如图，以为直径作圆，取BC的中点P，连接，
∴，
∴，
在中，，
∴当点H在上时，AH有最小值为，故④正确；
如图，连接，
∵，
∴点A，点B，点F，点E四点共圆，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴点E，点F，点G，点Q四点共圆，
∴，故③不正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16. 如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，据此求解即可．
【详解】解：在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，连接，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点．
，，
四边形是平行四边形，
∴，

∵E为边的中点，
∴，
F点与点G关于对称，
垂直平分，
，
∴，，，
∴，
线段的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟记相关运算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再去括号，合并同类项即可；
（2）先化简二次根式，计算乘法，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 已知，求下面各代数式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分式的求值，完全平方公式的变形，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）首先根据题意得到，然后将利用完全平方公式变形代入求解即可；
（2）将通分，然后利用完全平方公式变形，最后代入求解即可．
【小问1详解】
解：，
．
；
【小问2详解】
解：
．
19. 如图，在中，是它的一条对角线，过两点分别作，为垂足．
求证：
（1）．
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析
【解析】
【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（1）根据平行四边形的性质证明，即可得出结论；
（2）由，得到，由，推出，即可证明结论．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
20. 已知：如图，在△ABC中，AB=13，AC=20，BC=21，AD⊥BC，垂足为点D．
（1）求BD、CD的长；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）BD=5，CD=16；（2）126
【解析】
【分析】（1）设BD=x，则CD=21﹣x．在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=132﹣x2．在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=202﹣（21﹣x）2．依此列出方程求出x，进一步得到CD的长；
（2）在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD的长，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：（1）设BD=x，则CD=21﹣x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2﹣BD2，
∴AD2=132﹣x2，
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2﹣CD2，
∴AD2=202﹣（21﹣x）2，
∴132﹣x2=202﹣（21﹣x）2，
解得x=5，即BD=5，
∴CD=21﹣x=21﹣5=16；
（2）在Rt△ABD中，
由勾股定理，得AD==12，
∴S△ABC=BC•AD=×21×12=126．
【点睛】本题主要考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理公式a2+b2=c2及其变形．
21. 如图，中，于点E，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若，，，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
【详解】（1）证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
∵▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．
∴AE=．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，解决此题的关键是合理运用等面积法解决问题．
22. 如图是由小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点．点E的坐标为．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程线用虚线，结果线用实线表示．
（1）在图1中，以为边画；
（2）在图1中，在上画点M，使得；
（3）在图2中，在上画点G，使得
（4）直接写出与x轴交点的横坐标_________；
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）由格点的性质，取格点F，使得，即为所求；
（2）连接，由格点的性质，取格点H，使得，即点H为对角线的交点，连接并延长交于点M，连接，证明，得到，证明，得到，即点M为所求；
（3）由格点的性质，取格点Q，使得，即是等腰直角三角形，连接，利用格点的性质，取格点，连接，交于点O，由矩形的性质得到点为的中点，连接并延长交于点G，得到，即点G为所求；
（4）在（3）的基础上，连接，直线的解析式为，再求出点G的坐标，再求出直线的解析式为，令，求出x的值即可．
【小问1详解】
解：如图，为所求；
【小问2详解】
解： 连接，取格点H，使得，连接并延长交于点M，连接，
四边形是平行四边形，
，,
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，点M为所求；
【小问3详解】
解：如图，点G为所求；
【小问4详解】
解：如图，在（3）的基础上，连接，则，，
设直线的解析式为，
点为的中点，
，
，
将点O，点A的坐标代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
解得：，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了格点作图，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式．熟练掌握平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
23. 在菱形和菱形中，．
（1）如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________；
（2）如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明；
（3）如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，交于点，交于点，根据菱形的性质，证明三点共线，求出的长，用即可求出的长度；
（2）过点作，过点作，过点作，得到四边形为平行四边形，证明，得到，进而求出，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；
（3）①延长至点，使，连接，延长，交于点，先证明，推出四边形为平行四边形，再证明，推出为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出的范围，进而求出的范围即可．
【小问1详解】
解：连接，交于点，交于点，
∵菱形，菱形，
∴，，
∵点分别在边上，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，，
∴，
同理：，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
，证明如下：
过点作，过点作，过点作，
则：四边形为平行四边形，
∴，，
∵菱形，菱形，，
∴，，
∴，，，
∴，
∵
∴，
∴，即：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
【小问3详解】
①延长至点，使，连接，延长，交于点，
∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，，为等边三角形，
∴四边形为平行四边形，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
②∵，
∴，即：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，连接．
（1）如图1，平分交y轴与点B，交于点D，直接写出点的坐标：
B（____，____）C（____，____）D（____，____）；
（2）如图1，在（1）的条件下，F为的中点，求的值，并直接写出的值；
（3）如图2，点M从O点出发沿射线运动，点N从A点出发沿运动，分别为的中点，若两点以相同的速度同时出发运动，当时，直接写出当有最小值时的长度．
【答案】（1），，
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）本题考查了点的坐标表示，只需要找到点对应的横纵坐标的长度即可．由于四边形为矩形，平分，可得，为等腰直角三角形，于是，对应的横纵坐标的长度都可求，由此得解．
（2）本题考查了相似三角形的判定和性质，要求的值，两个角不在同一个三角形内，因此考虑将其中一个角进行转化，将两个角转化成在同一个三角形内，可证，于是，的值等于外角，同时得到相似三角形三边对应成比例，即得解．
（3）本题考查了求最值，要求的最小值，两条线段的和最小值考虑利用“两点之间线段最短”来求解．以为边长作正方形，，得到，即可将转化为，由此确定此时的位置，利用两点的中点坐标表示出坐标，然后利用两点间的距离公式即可求．
【小问1详解】
解：如图所示，
四边形为矩形，，
，，．
坐标为．
平分，

，．
，为等腰直角三角形，
，，
点坐标，
过作于，
，，
点坐标为．
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
为等腰直角三角形，为中点，
，为等腰直角三角形，
，
为为等腰直角三角形，
，
即，
，
，，
，
，．
【小问3详解】
解：如图所示，以为边长，在轴下方作正方形，
两点以相同的速度同时出发运动，
，
，
，
，
，
三点共线时，有最小值，即的长，
连接交于点，即为此时的位置，
在中，，，
，
，
此时，，
坐标为，坐标为，
又 ，，分别为中点，
坐标为，坐标为，
．
【点睛】本题综合考查了点的坐标表示，两点的中点坐标公式，两点间距离公式的坐标表示，等腰三角形性质，三角形相似的判定和性质，对于求线段之和最小值问题，将其转化成利用“两点之间线段最短”来解决，作出合适的辅助线是解决问题的关键．