湖北省武汉市汉阳区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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亲爱的同学，在你答题前，请认真阅读下面的注意事项：
1．全卷共6页，三大题，满分120分，考试用时120分钟．
2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号．
3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案写在“试卷”上无效，
4．答非选择题时，答案用0．5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上，答案写在“试卷”上无效．
5．认真阅读答题卡上的注意事项．
预祝你取得优异成绩！
一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）
下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了利用平移设计图案，确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离组成的图形就是经过平移得到的图形，据此判定即可，关键是正确理解平移的概念．
【详解】 A、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项错误，不符合题意；
B、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项错误，不符合题意；
C、是由“基本图案”经过平移得到，故此选项正确，符合题意；
D、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点所在的象限，根据象限内的点的坐标的特点即可求解，熟练掌握象限内的点的坐标的特点是解题的关键．
【详解】解：点所在的象限是第四象限，
故选：D．
3. 为任意整数，则下列四组数字都不可能是的末位数字的应是（ ）
A. 3，4，9，0B. 2，3，7，8C. 4，5，6，7D. 1，5，6，9
【答案】B
【解析】
【分析】分别计算0至9这10个数字的平方，观察其末位数字，从而得出结果．
此题考查了整数的乘方，由于a为任意实数，分析出计算0至9这10个数字的平方，是解题的关键．
【详解】，，，，，，，，，，
∴1个数的平方的末位数字可以是0， 1， 4， 5， 6， 9，
∴没有一个数的平方的末位数字能得到2，3，7，8，
∴a为任意整数，的末位数字不可能是2，3，7，8．
故选：B．
4. 如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，可推出，故本选项不符合题意；
B、，可推出，故本选项不符合题意；
C、，可推出，故本选项符合题意；
D、，可推出，故本选项不符合题意；
故选：C
5. 一个数的平方根和它的立方根相等，这个数是（ ）
A. 1B. -1C. 0D. 0和1
【答案】C
【解析】
【分析】根据常见数的平方根与立方根进行解答即可．
【详解】解：平方根和它的立方根相等的数是0．
故选．
【点睛】本题主要考查了特殊数的平方根与立方根，是基础知识，需要熟练掌握．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；
故选：D．
7. 中国是世界上最早记载潜望镜工作原理的国家．如图是潜望镜工作原理的示意图，两个平面镜，平行斜放在直角拐角处，一束平行于地平线的光线自外射向平面镜的点处，经反射后垂直射向下方平面镜点处，再与反射光线成直角的方向反射出去．即，，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质以及度分秒的换算，掌握平行线的性质以及是解答本题的关键．
首先利用，推导出，然后推导出，再利用度、分、秒的关系换算即可．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
故选：B．
8. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
B. 如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等；
C. 立方根等于它本身的实数只有0或1；
D. 二元一次方程的整数解只有3组．
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定、实数的乘方、立方根的概念、二元一次方程的解判断即可．
【详解】解：A．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，是真命题；
B．如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等或互为相反数，故本小题命题是假命题；
C．立方根等于它本身的实数只有0或1或，故本小题命题是假命题；
D．二元一次方程的整数解有无数组，故本小题命题是假命题；
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9. 如图，的中线交于点，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中线的性质．三角形的中线把三角形分成两个面积相等的小三角形，据此求解即可．
【详解】解：由中线可知，、、分别为边、、的中点，
在中，，
同理，，
所以．
故选：C．
10. 我国古代很早就对二元一次方程组进行研究，《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图①，图②所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．图①表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为．类似地，图②所示的算筹图我们可以表述为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
根据图①的方程组，可知图中第一组小棍数代表几个，第二组的小棍数代表几个，最后两组代表数字，然后即可写出图②表示的方程组．
【详解】解：由题意可得，
图2所示的算筹图我们可以表述为：，
故选：B．
11. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．
【详解】解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，
∴
=
=
=-2
故选A.
【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
12. 如图，将半径为1的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上点表示的数等知识，确定点的位置表示的实数是解题关键．首先确定点的位置表示的实数，然后计算线段的中点表示的数即可．
【详解】解：圆滚动一周，点到达了点的位置，则即为圆周长，
∴点的位置表示的实数为，
∴中点表示的实数为．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13. 写一个平方根是它本身的实数__________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．
根据平方根的性质进行解题即可．
【详解】解：平方根是它本身的实数是：0．
故答案为：0．
14. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为__________．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可．
【详解】把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：
如果两个角对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
15. 如图，直尺经过一副三角板的直角顶点，若，，的大小为__________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，准确识图，熟练掌握三角形的外角定理，平行线的性质是解决问题的关键．
先根据三角形外角定理得，再根据平行线性质可得的度数．
【详解】解：∵是的一个外角，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 已知二元一次方程的一组解为，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、代数式求值等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．根据二元一次方程的解的定义可得，然后代入求值即可．
【详解】解：由题意，可知，即，
∴．
故答案为：．
17. 已知：a+3与2a﹣15是m的平方根，则m＝_____．
【答案】49或441
【解析】
【分析】先根据当a+3与2a﹣15是同一个平方根或两个平方根求出a的值，再求出m的值即可．
【详解】①当a+3与2a﹣15是同一个平方根时，a+3=2a﹣15，解得：a=18，此时，m=441；
②当a+3与2a﹣15是两个平方根时，a+3+2a﹣15=0，解得：a=4，此时m=49．
故答案为49或441．
【点睛】本题考查了平方根性质．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．注意分类讨论．
18. 折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，先证明，由平行线的性质得到，，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
，
，，
由折叠性质得，，，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（共7小题，共66分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先算开方，再算加减；
（2）先根据实数的性质化简，再算加减．
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
20. （1）求下列式子中的的值：
（2）解方程组：
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组及平方根等知识点，
（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
熟练掌握解方程组的方法及相关定义是解题的关键．
【详解】（1），
解：，
∴或
（2），
解：，得：，
∴，
将代入①，得：，
∴ 方程组的解为：．
21. 由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．点，为格点，如图．

（1）先将线段向右平移4个单位长度得线段，点与点对应，点与点对应；再向下平移3个单位长度得线段，点与点对应，点与点对应．
（2）先画线段，，再画线段，及它们的交点．
（3）直接写出线段平移过程中扫过的面积和四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）扫过的面积为，面积为
【解析】
【分析】本题考查作图−平移变换、勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）由线段的定义画图即可；
（3）由题意知，线段平移过程中扫过的面积为，进而可得答案；由平移的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理可得四边形是正方形，根据正方形的面积公式计算即可；
熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
【小问1详解】
解：如图，线段，即为所求．
【小问2详解】
解：如图，线段，，，及点O即为所求．
【小问3详解】
线段平移过程中扫过的面积为．
由平移得，且，
∴四边形是平行四边形．
由勾股定理得，， ， ，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴四边形的面积为．
22. 如图，已知，求证：．
阅读下面的解答过程，填空并填写理由．
证明： （已知），
_______（_______________________）．
（______________________）．
（已知），
（______________）．
________（____________________）．
_________（ ______________________）．
又（已知），
．
（___________________）．
【答案】，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；；同位相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义．
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】证明：（已知），
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
（等量代换）．
（同位相等，两直线平行）．
（ 两直线平行，同旁内角互补）．
又（已知），
．
（垂直的定义）．
故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；；同位相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义．
23. 如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于．
（1）求证：；
（2）点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键．
（1）根据垂直的定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”得到；
（2）由垂直定义及直角三角形的性质求出，根据“等角的余角相等”求出，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解．
【小问1详解】
证明：，，
．
【小问2详解】
解：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
24. 问题呈现：在平面直角坐标系中，，，，点与原点重合．连，．点为线段上一动点（不与点，重合），点横坐标为．四边形沿方向平移，使点与点重合，得对应四边形，交轴于点，如图．
（1）求四边形的面积；
数学思考：（2）若，按要求完成以下问题：
①直接写出点，，的坐标；
②求阴影部分（六边形）的面积．
拓展延伸：四边形内有任一点，当四边形沿方向自点向点运动．直接写出四边形的面积（用的式子表示）．
【答案】问题呈现：（1）；
数学思考：（2）①，，；②；
拓展延伸：
【解析】
【分析】问题呈现：（1）根据题意确定，，的值，然后根据梯形面积公式求解即可；
数学思考：（2）①首先根据点的坐标确定平移方式，然后根据平移的性质确定点，，的坐标；②结合点，，的坐标，易得，，，进而求得四边形的面积，然后计算阴影部分面积即可；
拓展延伸：分别过作轴垂线，垂足为，首先证明，结合点横坐标为及平移的性质，可得，，，，然后根据梯形面积公式求解即可．
【详解】解：问题呈现：
（1）由题意可得，，，，
∴，，，且，
∴四边形的面积；
数学思考：
（2）①∵，，
∴根据平移的性质，可得，，；
②∵，，
∴，，，
∴，
∴；
拓展延伸：
如下图，分别过作轴的垂线，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
根据题意，点横坐标为，
根据平移的性质，，
则，，，
．
【点睛】本题主要考查了平移的性质、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、平行的性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
25. 问题提出：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
（1）若，则直接写出的大小．
（2）数学探究：如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．
完成如下问题：
①若，直接写出的度数．
②求证：．
拓展运用：有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与相交于点，如图3，图4．若，．直接写出，满足的数量关系．
【答案】（1）；
（2）①；②证明见解析；拓展运用：图3：；图4：．
【解析】
【分析】本题考查了角的等量代换，三角形的定义，平行线的判定等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键．
（1）利用，运算求解即可；
（2）①：利用角的等量代换运算求解即可；
②：利用角的等量代换运算出和的度数后判定即可；
扩展运用：分类讨论图3和图4两种情况，利用角的等量代换寻找关系即可；
【小问1详解】
解：由题意可得：，
∵，
∴；
【小问2详解】
①解：由题意可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②解：∵，，
∴，
∴；
扩展运用：
在图3中，解：由题意可得：，，，
∴，，
∵在中：，
∴，
∴，
又∵在中：，
∴，
∴，
∴；
在图4中，解：由题意可得：，，
在中，，即：，
在中，，即：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．