湖北省武汉市硚口区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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A. 5B. C. D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】根据“算术平方根”的定义进行分析判断即可.
【详解】解：∵，
∴的算术平方根是5.
故选A.
【点睛】熟记“算术平方根”的定义：“对于一个非负数x，若x2=a，则x叫做a的算术平方根”是解答本题的关键.
2. 下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对顶角的定义：具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角判断即可．
【详解】解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，则不是对顶角，故不符合题意．
B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，则不是对顶角，故不符合题意．
C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，则不是对顶角，故不符合题意．
D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，则是对顶角，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了对顶角，解题的关键是掌握对顶角的定义．
3. 如图，点E在的延长线上，则下列条件中不能判定的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可解答
【详解】解：A、∵，∴，本选项不合题意；
B、∵，∴，本选项不合题意；
C、∵，∴，本选项不合题意；
D、∵，∴，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．
4. 点(2，－2)所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特点即可判断．
【详解】解：由点(2，－2)，可知所在的象限是第四象限；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特点，熟练掌握在平面直角坐标系中第一象限的点的坐标符号为“+、+”，第二象限的点的坐标符号为“-、+”，第三象限的点的坐标符号为“-、-”，第四象限的点的坐标符号为“+、-”是解题的关键．
5. 一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行线的性质可得，再由，可以求出的度数，从而得到的度数．
【详解】解：如图，
，
由题意得：，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行，

，.
，
，.
.
故选：C.
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.
7. 已知，则a、b、c的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
8. 已知，两点关于轴对称，，两点关于轴对称，则点的坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确把握各点之间横、纵坐标的关系是解题关键．先根据两点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数求解的坐标，再根据两点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数可得C的坐标。
【详解】解：因为，两点关于轴对称，且点坐标为，
所以点坐标为，
又因为，C两点关于轴对称，
所以点C坐标为．
故选：C．
9. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着的方向平移得到三角形，交于点，已知，，，则四边形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是平移的性质，先证明，再结合平移的性质以及面积公式计算即可．
【详解】解：由平移的性质得，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
，
，
∴
；
故选：D．
10. 如图，已知，点为与之间一点，过点作9条不同的直线均与直线相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为对顶角的对数是（ ）
A. 63B. 90C. 99D. 126
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是对顶角的定义，规律探究，平行线的性质，先求解过点作9条直线，确定对顶角的对数是，再求解条不同的直线与直线、、相交，确定对顶角的对数是，从而可得答案．
【详解】解：过点作9条直线，确定对顶角的对数是，
∵，9条不同的直线与直线相交，
条不同的直线与直线和相交，
条不同的直线与直线、、相交，确定对顶角的对数是，
图中相交线形成的所有角中，互为对顶角的对数是．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．
11. 写出一个小于3的正无理数___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据无理数估算的方法求解即可.
【详解】解：∵，
∴
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．
12. 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，农民李伯伯的做法是：过点P作垂直于河岸l，垂足为M，沿开挖水渠距离最短，其中的数学原理是_________．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段的性质得出即可得到答案．
【详解】解：∵PM⊥l，
∴沿PM开挖水渠距离最短，其中的数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查了垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这两个中去选择．
13. 画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可得在第三个圆上，与正半轴的角度，进而即可求解．
【详解】解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度，
∴点的坐标可以表示为
故答案为：．
【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键．
14. 我国著名数学家华罗庚在访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39，其思考过程是：（1）由于59319大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；（2）由于59319的个位上的数是9，从而它的立方根个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而3的立方是27，4的立方是64，由此立方根的十位上的数是3，所以．请同学们根据以上思考过程，写出110592的立方根是 __．
【答案】48
【解析】
【分析】本题考查的是立方根的含义与计算，理解题干信息并灵活应用是解本题的关键，根据提示逐步求解即可．
【详解】解：根据上述思考过程，可知：
（1）由于110592大于10的立方，小于100的立方，
它的立方根是一个两位数；
（2）由于110592的个位上的数是2，从而它的立方根个位上的数是8；
（3）如果划去110592后面的三位数592得到数110，而4的立方是64，5的立方是125，由此立方根的十位上的数是4，
的立方根是48，
故答案为：48．
15. 如图，，平分，平分，，且．下列四个结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的结论是 __（填写序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，余角的性质，角平分线的定义．根据同旁内角互补，两直线平行即可证得；根据等角的余角相等即可证得；先证，即可得出；没有条件可证得，从而作出判断．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，
∴，故①正确；
，
，
，
，
，
又，
，故②正确；
平分，
，，
，
，
∴，
，
即，故③正确；
无法证得，
故正确的有①②③，
故答案为：①②③．
16. 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式，从点移动到点称为一次乙方式．点从原点出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点，其中按甲方式移动了次．则与满足的数量关系是 __．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，平移的性质．由题意可得：点按照甲方式移动次后得到的点的坐标为，再得出点，按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果．
【详解】解：点按照甲方式移动了次，点从原点出发连续移动10次，
点按照乙方式移动了次，
点按照甲方式移动次后得到的点的坐标为，
点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为，
，，
即．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是求解算术平方根，实数的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）先计算被开方数，再求解算术平方根即可；
（2）先计算术平方根，立方根，再合并即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
．
18. 求下列各式中的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程：
（1）根据求平方根方法解方程即可；
（2）根据求立方根的方法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
解得或．
【小问2详解】
解：，
，
解得．
19. 如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．求∠AGD的度数．
【答案】∠AGD的度数为110°．
【解析】
【分析】此题要注意由EF∥AD，可得∠2=∠3，由等量代换可得∠1=∠3，可得DG∥BA，根据平行线的性质可得∠BAC+∠AGD=180°，即可求解．
【详解】∵EF∥AD(已知)
∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)；
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠3(等量代换)；
∴DG∥AB(内错角相等，两直线平行).
∴(两直线平行，同旁内角互补) ，
∵
∴
【点睛】考查平行线的判定与性质，常见的平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
20. 如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用时间（单位：与细线长度（单位：之间满足关系，当细线长度为1分米时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？取值为
【答案】小重物来回摆动一次所用的时间是秒
【解析】
【分析】本题考查的是算术平方根的实际应用，把代入公式计算即可．
【详解】解：分米，
（秒，
答：小重物来回摆动一次所用的时间是秒
21. 如图，直线与相交于点，，余角比小．

（1）求大小；
（2）在直线的右侧引出射线，当时，直接写出的大小．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】此题主要考查了邻补角的定义，互为余角的定义，对顶角的性质，角的计算．
（1）设，则，根据余角比小得，由此解出即可得的度数；
（2）由（1）可知，，，分两种情况讨论如下：①当在直线的上方时，设，则，根据得，由此解出，然后根据可得出的度数；②当在的下方时，设，则，同理得，则，据此可得的度数，综上所述即可答案．
【小问1详解】
解：设，则，
的余角为，
的余角比小，
，
解得：，
；
【小问2详解】
解：由（1）可知：，，
，
，
在直线的右侧引出射线，
有以下两种情况：
①当在直线的上方时，如图1所示：

设，则，
，
，
解得：，
即，
；
②当在的下方时，如图2所示：

设，则，
，
，
解得：，
即，则
，
综上所述：的度数为：或．
22. 如图所示的方格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，三角形的顶点都是格点，已知，依次解答下列问题．
（1）将三角形平移后得到三角形，且点的对应点为，画出三角形；
（2）画线段，使且；
（3）连接，，直接写出四边形的面积；
（4）在直线上，直接写出线段的最小值．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析 （3）9
（4）
【解析】
【分析】（1）将三角形向右平移3个单位，再向下平移2个单位，即可得到三角形；
（2）根据网格和平行线的特点，作出线段即可；
（3）利用平行四边形面积公式求解，即可解题；
（4）根据垂线段最短，当垂直于直线时，线段最小，连接，设点到直线的距离为，利用平移的性质得到，再利用三角形面积公式用不同方式表示出，并求解，即可解题．
【小问1详解】
解：如图，三角形即为所求．
【小问2详解】
解：如图，线段即为所求．
【小问3详解】
解：连接，，
四边形的面积为．
【小问4详解】
解：当垂直于直线时，线段最小．
连接，
由平移的性质得，．
设点到直线的距离为，
，
解得，
点到直线的距离为，
线段的最小值为．
【点睛】本题主要考查了平移作图，作平行线段，平移的性质，网格中求平行四边形和三角形面积，等面积法求高，以及垂线段最短，熟知网格的特点是解题的关键．
23. 已知．
（1）如图1，若，求证：；
（2）已知平分．
①如图2，若平分，过点作，判断与之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，若平分，的反向延长线和的反向延长线交于点，且，直接写出的大小．
【答案】（1）详见解析
（2）①，详见解析；②
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质可得，，再结合角的和差运算可得结论；
（2）①设，，证明，如图，过作，而，可得，即，从而可得结论；②设，，由（2）知：，可得，过作，而，可得，则，，，再进一步可得答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
，，
，
；
【小问2详解】
①，理由如下：
、分别平分、，
，，
设，，
∵，
，
，
如图，过作，而，
∴，
∴，，
∴，
即，
；
②、分别平分、，
，，
设，，
由（2）①知：，
即，
过作，而，
∴，
则，，
，
，
．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角的和差运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，点，，，均在坐标轴上，其坐标分别是，，，，若，，，且．
（1）求三角形的面积；
（2）求证：；
（3）如图2，若，延长到，使，线段交轴于点，求的值．
【答案】（1）6 （2）详见解析
（3）1
【解析】
【分析】（1）根据绝对值与算术平方根的非负性得到，，进而得到，，即可求解，
（2）连接，，由，得到，，，代入即可求解，
（3）由平移的性质得到，，，，，，，设点的坐标为，，，，
由，代入解得，进而得到，，，即可求解，
本题考查了，算术平方根的非负性，坐标与图形，平移的性质，解题的关键是：熟练掌握相关知识点．
【小问1详解】
解：，
，，
，，
，，
，
故答案为：6；
【小问2详解】
解：如图，连接，，
，
∴，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：，，
线段可看作是由线段平移得到，
，，，
，，，
设点的坐标为，
，，，
由，
，解得，
，，，
，
故答案为：1．