湖北省武汉市江岸区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．
1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】、是有理数，不符合题意；
、是有限小数，属于有理数，不符合题意；
、是分数，属于有理数，不符合题意；
、是无理数，符合题意；
故选：．
2. 如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据点的坐标特征与象限的关系判断即可．
【详解】∵第二象限的坐标符号特征为，
∴符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了坐标特征与象限的关系，熟练掌握坐标的符号特征与象限的关系是解题的关键．
3. 在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后对应点B，则点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查点的平移，熟练掌握点的坐标平移规律是解题的关键．根据点的坐标平移方式“左减右加，上加下减”可直接进行求解．
【详解】解：点向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度后对应点B，
则点B的坐标是，即,
故选A．
4. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，下列不能判定的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：A、当∠C=∠3时，DE∥AC，故不符合题意；
B、当∠1+∠4=180°时，DE∥AC，故不符合题意；
C、当∠1=∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意；
D、当∠1+∠2=180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
5. 若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值（ ）
A. B. 1C. 或1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一个正数两个平方根互为相反数得到，即可求出m的值．
【详解】解：∵与是同一个数的两个不同的平方根，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义．
6. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 相等的角是对顶角B. 平方根等于本身的数有和0
C. 垂线段最短D. 两点之间直线最短
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了真、假命题的判断，对顶角、平方根、垂线段最短，根据定义和性质逐项判断即可．
【详解】因为相等的角不一定是对顶角，所以A不是真命题；
因为平方根等于本身的数只有0，所以B不是真命题；
因为垂线段最短，所以C是真命题；
因为两点之间线段最短，所以D不是真命题．
故选：C．
7. 黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（ ）
A. 在1.1和1.2之间B. 在1.2和1.3之间
C. 在1.3和1.4之间D. 在1.4和1.5之间
【答案】B
【解析】
【分析】根据4.84<5<5.29，可得答案．
【详解】∵4.84<5<5.29
∴2.2<<2.3
∴1.2<-1<1.3
故选B．
【点睛】本题考查的是黄金分割、无理数的估算，掌握估算无理数大小的非负数解题的关键．
8. 如图，小明从A出发沿北偏东方向行走至B处，又沿北偏西方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）
A. 右转B. 右转C. 右转D. 右转
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是方向角，解答时要注意以北方为参照方向，进行角度调整．若需要和出发时的方向一致，在点的方向应调整为向右80度．
【详解】解：．
由北偏西转向北偏东，需要向右转．
故选：C．
9. 如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查点的坐标规律探索、等腰直角三角形的性质，仔细观察图形，找到点的坐标变化规律是解答的关键．先确定出在x轴的负半轴上，再写成、、、…的坐标，从而得到点的坐标的变化规律，然后即可求解．
【详解】解：由题意，∵，
∴在x轴的负半轴上，
∵，，，，…，
∴的横坐标为，即，
故选：A．
10. 在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的2倍，则m的值为（ ）
A. B. 2C. 或2D. 14或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．根据三角形的面积关系列出方程解题即可．先根据点A、B的横坐标相等得出轴以及的长，再根据三角形面积之间的关系得出关于m的方程求解即可．
【详解】解：∵三角形的面积是三角形面积的2倍，
∴，
解得：或，
故选D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置．
11. 计算：______，______，______．
【答案】 ①. ②. 2 ③. 2
【解析】
【分析】本题主要考查了求立方根，算术平方根，根据立方根和算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：，2，2．
12. 如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为_____________．

【答案】##130度
【解析】
【分析】先求得的度数，再根据对顶角相等得出，根据垂直的定义即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了对顶角相等，垂线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13. 在平面直角坐标系中，点，，且直线轴，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线轴，得点、的纵坐标相等，可得方程，求解即可．
【详解】解：∵点，，且直线轴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形与坐标，理解平行于轴的直线上点的纵坐标相等是解题的关键．
14. 如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴负方向滚动一周，点到达点的位置，则点表示的数是______．

【答案】
【解析】
【分析】先求出圆的周长为，从滚动向左运动，运动的路程为圆的周长．
【详解】解：圆的直径为1个单位长度，
此圆的周长，
当圆向左滚动时点表示的数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是实数与数轴的特点，掌握数轴上点平移的关系是解答此题的关键．
15. 如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于E，交于F，点C、D的落点分别是、，交于G，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于H，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______（填写序号）．

【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质等知识和与折叠有关的角的计算等知识．根据平行线的性质得到，根据折叠性质得到，即可得到，故①正确；根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可求出，故②正确；先证明，根据折叠性质得，结合，得到当时，，故③错误；根据，即可得到，故④正确，符合题意；
【详解】解：，
．
根据折叠的性质得，，
．
故①正确，符合题意；
，
，
根据折叠的性质得，，
，
，
故②正确，符合题意；
，，
，
根据折叠的性质得，，
，
当时，，
故③错误，不符合题意；
，
．
故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
16. 在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“最距等点”．例如：点，互为“最距等点”；点，互为“最距等点”．已知点与点互为“最距等点”，则n的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，解一元一次方程，理解互为“最距等点”的定义是解题的关键．
根据互为“最距等点”的定义可得：或或或，然后分别进行计算即可解答．
【详解】与点互为“最距等点”，
或或或，
当时，
或，
，
，
∴点的坐标为，点的坐标为，，不符合题意，舍去；
，
∴此方程无解；
当时，
，
，
，
∴点的坐标为，点的坐标为(，不符合题意，舍去；
∵，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，不符合题意，舍去；
当时，
∴，
∵，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，不符合题意，舍去；
∵，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴点与点互“最距等点”；
当时，
，
，
，
∴点的坐标为，点的坐标为，不符合题意，舍去；
，
∴此方程无解；
综上所述：，
答案为：2．
三、解答题（共8小题，共72分）
下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，还涉及了求算术平方根，立方根，化简绝对值，解题的关键是能准确求出各部分的值．
（1）先算开方，开立方，再算加减法；
（2）先化简绝对值，实数的乘法，再合并计算．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
18. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了立方根、平方根．解题的关键是能根据平方根和立方根定义得出一元一次方程．
（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（2）两边开立方，即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可．
【小问1详解】
解：，
开平方得：，
解得：或．
【小问2详解】
，
开立方得：，
解得：．
19. 如图，于点，于点，，，请问与平行吗？请完成下面的推理过程，并在括号内写出推理依据．

解：．理由如下：
因为，，（已知）
所以（ ）
所以，（ ）
所以．（ ）
因为，（已知）
所以________，（ ）
所以，（ ）
又因为（已知）
所以．（ ）
所以．（ ）
【答案】垂直定义、同位角相等，两直线平行、两直线平行，同位角相等、、等量代换、内错角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行、平行于同一直线的两条直线平行
【解析】
【分析】根据平行线的判定与性质证明即可得到答案．
【详解】解：．理由如下：
∵，，（已知）
∴（垂直定义）
∴，（同位角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴，（等量代换）
∴，（内错角相等，两直线平行）
∵，（已知）
∴．（内错角相等，两直线平行）
∴（平行于同一直线的两条直线平行）
故答案为：垂直定义、同位角相等，两直线平行、两直线平行，同位角相等、、等量代换、内错角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行、平行于同一直线的两条直线平行．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握直线平行的判定与性质是解决问题的关键．
20. 如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若，且，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）50°
【解析】
【分析】（1）首先根据角直接的等量代换得到，然后根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）首先证明出，得到，然后根据得到，最后利用平行线的性质求解即可．
【小问1详解】
∵，，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定定理．
21. 如图，在平面直角坐标系中，，，．

（1）三角形ABC中任意一点经平移后对应点为，将三角形ABC作同样的平移得到三角形．画出平移后的三角形，写出、、的坐标：______，______，______；
（2）直接写线段BC与x轴交点D的坐标______；
（3）若将线段CB沿水平方向平移一次，再竖直方向平移一次，两次平移扫过的图形没有重叠部分．两次平移后点B的对应点的坐标为，已知线段CB扫过的面积为20，请直接写出a，b的数量关系：______．
【答案】（1），，，图见解析
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查平移变换和点的坐标，掌握平移变换的点的坐标特点是解题的关键．
（1）根据点的坐标确定平移方式为向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，然后画出图形并写出点的坐标即可解题；
（2）根据比例关系确定长，然后写出点的坐标；
（3）根据平移过程得到扫过的面积为,然后根据同号确定等量关系解题即可；
【小问1详解】
中任意一点经平移后对应点为将作同样的平移得到即向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，画出平移后的如下图所示：

的坐标分别为： ；
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：由题可知，
∴，
∴点D的坐标为，
故答案为：；
【小问3详解】
∵两次平移后点的对应点的坐标为，
∴将线段沿水平方向平移一次，平移的长度是个单位长度，扫过的面积为
；竖直方向平移一次, 平移的长度为个单位长度，扫过的面积为,
∵两次平移扫过的图形没有重叠部分，
∴同号,
∵线段扫过的面积为，
∴
若, 则; 若, 则,
即的数量关系为: 或，
故答案为：或.
22. （1）如图，计划在空地上设计3块并排的正方形基地做厂房存放生产物资，基地总面积为，则每块正方形基地的边长为______．
（2）计划在厂房的东边围一个面积为的长方形基地，做仓库存放设备，仓库一边靠在正方形的边上（计划与厂房共一面墙，且共用部分不超过正方形的边长，不考虑门窗），另外三边用材料围成，并且它的长与宽之比为．若可以围成，请通过计算设计出方案，并简要画出设计图；若不能围成，请通过计算说明理由．
【答案】（1）20；（2）可以围成，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的关键．
（1）根据正方形的面积公式进行解答即可；
（2）设长方形的长，宽，利用面积求出长，宽，再进行检验即可．
【详解】解：（1）每个正方形面积为，
所以正方形的边长为，
故答案为：20；
（2）若可以围成，设长方形的长为，宽为，
由题意得，，
解得或(舍去)，
则长方形的长为，宽为，
，
，
∴可以围成．
23. 问题探究：（1）如图1，，点P在直线上方（）．
①请在拐点P处作直线的平行线；
②探究、、之间的数量关系为______．
问题拓展：（2）如图2，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明．
问题迁移：（3）如图3，，点P在直线上方，、、、分别是、、、的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．设，请直接写出与的数量关系：______．
【答案】（1）①作图见解析②
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；
②先证明，得到，在进行角的代换即可求解；
（2）设，即可得到，由（1）得，，进而得到，，即可求出，进而得到；
（3）设，，由（1），， ，根据已知条件求出，，根据三角形外角定理得到，，根据即可求出，即可得到．
【详解】解：（1）①如图1，直线即为过点P且平行于直线的直线：
②∵，
∴，
∴，
∴，
即；
故答案为：；
（2）如图2，设，
∵平分，平分，
∴，
由（1）得，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）设，，
由（1）得，
∴，， ，
∵、、、分别是、、、的三等分线，且，
∴，，
，，
∴，，
∵是的外角，是的外角，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行公理推论，平行性的性质，三角形的内角和定理与外角定理，与角平分线有关的计算等知识，综合性强，难度较大，熟知相关定理，并根据题意正确画出图形是解题关键．
24. 在平面直角坐标系中，已知点，，，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合．
（1）请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______；
（2）如图1，若点P为直线AB上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时，则t的值为______，若三角形的面积是三角形的面积的2倍，请求出点P的坐标；
（3）如图2，若点为平面直角坐标系内一点，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，请探究m，n的数量关系，并写出你的探究过程．
【答案】（1），，
（2）；或，
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据平方的非负性与二次根式的非负性求出，的值，进而得到，的坐标，根据，的坐标平移变换规则，将进行相同的变换，即可得到的坐标，
（2）由、坐标求出直线的解析式：，当时，得：，，设点横坐标为，分别过点、作轴的垂线，得到，，由，当在线段上时，得到，代入求出，代入得到，根据平移得到点坐标，当在线段延长线上时，得到，同理即可求解，
（3）过点作轴的垂线，在轴上取点，设点，当时， ，过点作直线， 当点在直线上时， ，当时，解得：或，即：或，根据，于轴交于点，得到直线解析式，将点代入，即可求解，
本题考查了，坐标的平移，求一次函数解析式，一次函数与面积问题，解题的关键是：熟练掌握数形结合的思想．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，解得：，，
∴，，
∵将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合，，
∴点为点向右平移4个单位，向下平移4个单位，
将点向右平移4个单位，向下平移4个单位，得到，即：，
故答案为：，，，
【小问2详解】
解：设直线的解析式为：，则：，解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，解得：，
∴，
设点横坐标，
分别过点、作轴的垂线，分别交轴于点、，，，，
，，
∵，
当在线段上时，如图：
，即：，解得：，
当时，，得：，解得：，
∴，点横坐标为：，
∴，
当在线段延长线上时，如图：
，即：，解得：，
代入，得：，解得：，
∴，点横坐标为：，
∴，
故答案为：；或，
【小问3详解】
解：过点作轴的垂线，交轴于点，
，，
在轴上取点，设点，当时，
，，即：，
过点作直线， 当点在直线上时，，，即：，
当点在线段上时，，，
∵，即：，解得：，
当点在线段延长线上时，，，
∵，即：，解得：，
∴或，
∵，与轴交于点，
∴直线解析式为：或，
将点代入，得：或，整理得：或，
故答案为： 或．