![上海市黄浦区2024届高三二模数学试题01](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/15663522/0-1714223247535/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![上海市黄浦区2024届高三二模数学试题02](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/15663522/0-1714223247572/1.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![上海市黄浦区2024届高三二模数学试题03](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/15663522/0-1714223247632/2.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
上海市黄浦区2024届高三二模数学试题
展开2024年4月
一、填空题(本大题共有12题,满分54分.其中第1~6题每题满分4分,第7~12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1.若集合,,则_________.
2.抛物线的焦点到准线的距离为_________.
3.若,,其中,则_________.
4.若一个圆柱的底面半径为2,母线长为3,则此圆柱的侧面积为_________.
5.若的展开式中的系数是,则实数_________.
6.在中,,,,则_________.
7.随机变量X服从正态分布,若,则_________.
8.若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4,则的取值范围是_________.
9.某校高三年级举行演讲比赛,共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序,则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________.
10.已知数列是给定的等差数列,其前项和为,若,且当与时,取得最大值,则的值为_________.
11.如图是某公园局部的平面示意图,图中的实线部分(它由线段与分别以为直径的半圆弧组成)表示一条步道.其中的点是线段上的动点,点O为线段的中点,点在以为直径的半圆弧上,且均为直角.若百米,则此步道的最大长度为_________百米.
12.在四面体中,,,,设四面体与四面体的体积分别为、,则的值为_________.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分.其中第13、14题每题满分4分,第15、16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得满分,否则一律得零分.
13.某学校为了解学生参加体育运动的情况,用分层抽样的方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生,已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生,则不同的抽样结果的种数为( )
A.B.C.D.
14.函数是( )
A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数
15.设函数若恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
16.设数列的前n项和为,若对任意的,都是数列中的项,则称数列为“T数列”.对于命题:①存在“T数列”,使得数列为公比不为1的等比数列;②对于任意的实数,都存在实数,使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”.下列判断正确的是( )
A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题
C.①是真命题,②是假命题D.①是假命题,②是真命题
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
设,函数.
(1)求的值,使得为奇函数;
(2)若,求满足的实数的取值范围.
18.(本题满分14分)本题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,在四棱锥中,底面为矩形,点E是棱PD上的一点,PB∥平面AEC.
(1)求证:点E是棱PD的中点;
(2)若平面,,,与平面ABCD所成角的正切值为,求二面角的大小.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试,将这200人的得分数据进行汇总,得到如下表所示的统计结果,并规定得分60分及以上为合格.
(1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案:①合格的发放个随机红包,不合格的发放个随机红包;②每个随机红包金额(单位:元)的分布为.若从这200个成年市民中随机选取1人,记(单位:元)为此人获得的随机红包总金额,求的分布及数学期望;
(2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%,该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试,请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
如图,已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆,是以的焦点为顶点的等轴双曲线,点是与的一个交点,动点在的右支上且异于顶点.
(1)求与的方程;
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,求点的坐标;
(3)设直线的斜率分别为,直线与相交于点,直线与相交于点,,,求证:且存在常数使得.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题满分7分.
若函数的图像上的两个不同点处的切线互相重合,则称该切线为函数的图像的“自公切线”,称这两点为函数的图像的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图像是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图像不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图像的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
高三数学参考答案
一、填空题(本大题满分54分.其中第16题每题满分4分,第712题每题满分5分)
1.[1,5];2.2;3.3;4.;5.-2;;8.;
9.;10.21;11.;12..
二、选择题(本大题共4小题,满分18分.其中第13、14题每题满分4分,第15、16题每题满分5分)
13.B14.C15.D16.A
三、解答题(本大题共有5题,满分78分.)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
解:(1)由f(x)为奇函数,可知,即,解得,当时,对一切非零实数恒成立,故时,为奇函数.
(2)由,可得,解得,
所以,所以满足的实数的取值范围是.
18.(本题满分14分)本题共有2小题,第小题满分6分,第小题满分8分.
解:(1)连接BD,它与AC交于点,连接EF,
四边形ABCD为矩形,为BD的中点,
平面AEC,平面PBD经过PB且与平面AEC交于,
又点是BD的中点,点是棱PD的中点.
(2)∵PA⊥平面且就是PC与平面ABCD所成的角,故,解得.
四边形ABCD为矩形,,又,PA与AD是平面PAD内的两相交直线,平面PAD.在平面PAD内作,垂足为,连GF,则是二面角的平面角.在直角三角形PAD中,,点是PD的中点,
,且平面平面PAD,
,故,所以,
故二面角的大小为.
另法:平面且就是PC与平面ABCD所成的角,
又四边形ABCD为矩形,,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设是平面AEC的一个法向量,二面角的大小为,
由,可得,
则,故
解得且,所以,
又是平面AED的一个法向量,且为锐角,故,可得.
所以二面角的大小为.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分.
(1)随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为,
.
所以的分布为,.即的数学期望为39.
(2)设“从该社区成年市区随机抽取1人,此人年龄在60岁以下”为事件,“从该社区成年市民随机抽取1人,此人安全知识合格”为事件,则,,由,
可得,所以,
所求比值.
估计60岁及以上人员的合格率约为,成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比约为98:27.
20.(本题满分18分)第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
解:(1)设的方程分别为与,由,得,故的坐标分别为,所以故,故与的方程分别为与.
(2)当点在第四象限时,直线的倾斜角都为针角,不适合题意;当在第一象限时,由直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,可知,故,
设点坐标为,可知且,解得,故点的坐标为,
(3)设直线的斜率分别为,点P,A,B的坐标分别为,
则,的方程为,
代入可得,
故,
所以,
同理可得,又,故,故,即,所以存在,使得.
21.(本题满分18分)第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题满分7分.
解:(1)因为直线是的图像的一条“自公切线”,
故函数的图像存在“自公切线”;
对于是严格减函数,
故在不同点处的切线斜率不同,所以函数的图像不存在“自公切线”.
(2)由在上恒大于等于0,且仅当时,故是严格增函数,可得它至多有一个零点.令,由的图像是连续曲线,且,所以在上存在零点,故在上存在零点,所以有唯一零点.
假设的图像存在“自公切线”,则存在且,使得的图像在与处的切线重合,故且,由可得,不妨设,将代入,可得,在图的单位圆中,
于,可知,与矛盾.故的图像不存在“自公切线”.
(3)对给定的,由(2)知有唯一零点,所以唯一确定.
又在点处的切线方程为,即,在点处的切线方程为,
若存在,使得点与是函数图像的一对“同切点”,
则又,故,所以且,从而存在,使得,代入,可得,故,所以是数列中的项.
反之,若是数列中的项,则存在,使得,即,由(2)中的严格增,可知严格增,又且,可知,令,则且,即,可得,所以存在,使得点与是函数的图像的一对“同切点”.
综上可知,存在,使得点与是函数图像的一对“同切点,”的充要条件是“是数列中的项”.
组别
频数
9
26
65
53
47
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