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    上海市黄浦区2024届高三二模数学试题

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    这是一份上海市黄浦区2024届高三二模数学试题,共10页。

    2024年4月
    一、填空题(本大题共有12题,满分54分.其中第1~6题每题满分4分,第7~12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
    1.若集合,,则_________.
    2.抛物线的焦点到准线的距离为_________.
    3.若,,其中,则_________.
    4.若一个圆柱的底面半径为2,母线长为3,则此圆柱的侧面积为_________.
    5.若的展开式中的系数是,则实数_________.
    6.在中,,,,则_________.
    7.随机变量X服从正态分布,若,则_________.
    8.若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4,则的取值范围是_________.
    9.某校高三年级举行演讲比赛,共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序,则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________.
    10.已知数列是给定的等差数列,其前项和为,若,且当与时,取得最大值,则的值为_________.
    11.如图是某公园局部的平面示意图,图中的实线部分(它由线段与分别以为直径的半圆弧组成)表示一条步道.其中的点是线段上的动点,点O为线段的中点,点在以为直径的半圆弧上,且均为直角.若百米,则此步道的最大长度为_________百米.
    12.在四面体中,,,,设四面体与四面体的体积分别为、,则的值为_________.
    二、选择题(本大题共有4题,满分18分.其中第13、14题每题满分4分,第15、16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得满分,否则一律得零分.
    13.某学校为了解学生参加体育运动的情况,用分层抽样的方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生,已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生,则不同的抽样结果的种数为( )
    A.B.C.D.
    14.函数是( )
    A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数
    C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数
    15.设函数若恒成立,则实数a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    16.设数列的前n项和为,若对任意的,都是数列中的项,则称数列为“T数列”.对于命题:①存在“T数列”,使得数列为公比不为1的等比数列;②对于任意的实数,都存在实数,使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”.下列判断正确的是( )
    A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题
    C.①是真命题,②是假命题D.①是假命题,②是真命题
    三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
    17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
    设,函数.
    (1)求的值,使得为奇函数;
    (2)若,求满足的实数的取值范围.
    18.(本题满分14分)本题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
    如图,在四棱锥中,底面为矩形,点E是棱PD上的一点,PB∥平面AEC.
    (1)求证:点E是棱PD的中点;
    (2)若平面,,,与平面ABCD所成角的正切值为,求二面角的大小.
    19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
    某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试,将这200人的得分数据进行汇总,得到如下表所示的统计结果,并规定得分60分及以上为合格.
    (1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案:①合格的发放个随机红包,不合格的发放个随机红包;②每个随机红包金额(单位:元)的分布为.若从这200个成年市民中随机选取1人,记(单位:元)为此人获得的随机红包总金额,求的分布及数学期望;
    (2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%,该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试,请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.
    20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
    如图,已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆,是以的焦点为顶点的等轴双曲线,点是与的一个交点,动点在的右支上且异于顶点.
    (1)求与的方程;
    (2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,求点的坐标;
    (3)设直线的斜率分别为,直线与相交于点,直线与相交于点,,,求证:且存在常数使得.
    21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题满分7分.
    若函数的图像上的两个不同点处的切线互相重合,则称该切线为函数的图像的“自公切线”,称这两点为函数的图像的一对“同切点”.
    (1)分别判断函数与的图像是否存在“自公切线”,并说明理由;
    (2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图像不存在“自公切线”;
    (3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图像的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
    高三数学参考答案
    一、填空题(本大题满分54分.其中第16题每题满分4分,第712题每题满分5分)
    1.[1,5];2.2;3.3;4.;5.-2;;8.;
    9.;10.21;11.;12..
    二、选择题(本大题共4小题,满分18分.其中第13、14题每题满分4分,第15、16题每题满分5分)
    13.B14.C15.D16.A
    三、解答题(本大题共有5题,满分78分.)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
    17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
    解:(1)由f(x)为奇函数,可知,即,解得,当时,对一切非零实数恒成立,故时,为奇函数.
    (2)由,可得,解得,
    所以,所以满足的实数的取值范围是.
    18.(本题满分14分)本题共有2小题,第小题满分6分,第小题满分8分.
    解:(1)连接BD,它与AC交于点,连接EF,
    四边形ABCD为矩形,为BD的中点,
    平面AEC,平面PBD经过PB且与平面AEC交于,
    又点是BD的中点,点是棱PD的中点.
    (2)∵PA⊥平面且就是PC与平面ABCD所成的角,故,解得.
    四边形ABCD为矩形,,又,PA与AD是平面PAD内的两相交直线,平面PAD.在平面PAD内作,垂足为,连GF,则是二面角的平面角.在直角三角形PAD中,,点是PD的中点,
    ,且平面平面PAD,
    ,故,所以,
    故二面角的大小为.
    另法:平面且就是PC与平面ABCD所成的角,
    又四边形ABCD为矩形,,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
    设是平面AEC的一个法向量,二面角的大小为,
    由,可得,
    则,故
    解得且,所以,
    又是平面AED的一个法向量,且为锐角,故,可得.
    所以二面角的大小为.
    19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分.
    (1)随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为,
    .
    所以的分布为,.即的数学期望为39.
    (2)设“从该社区成年市区随机抽取1人,此人年龄在60岁以下”为事件,“从该社区成年市民随机抽取1人,此人安全知识合格”为事件,则,,由,
    可得,所以,
    所求比值.
    估计60岁及以上人员的合格率约为,成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比约为98:27.
    20.(本题满分18分)第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
    解:(1)设的方程分别为与,由,得,故的坐标分别为,所以故,故与的方程分别为与.
    (2)当点在第四象限时,直线的倾斜角都为针角,不适合题意;当在第一象限时,由直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,可知,故,
    设点坐标为,可知且,解得,故点的坐标为,
    (3)设直线的斜率分别为,点P,A,B的坐标分别为,
    则,的方程为,
    代入可得,
    故,
    所以,
    同理可得,又,故,故,即,所以存在,使得.
    21.(本题满分18分)第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题满分7分.
    解:(1)因为直线是的图像的一条“自公切线”,
    故函数的图像存在“自公切线”;
    对于是严格减函数,
    故在不同点处的切线斜率不同,所以函数的图像不存在“自公切线”.
    (2)由在上恒大于等于0,且仅当时,故是严格增函数,可得它至多有一个零点.令,由的图像是连续曲线,且,所以在上存在零点,故在上存在零点,所以有唯一零点.
    假设的图像存在“自公切线”,则存在且,使得的图像在与处的切线重合,故且,由可得,不妨设,将代入,可得,在图的单位圆中,
    于,可知,与矛盾.故的图像不存在“自公切线”.
    (3)对给定的,由(2)知有唯一零点,所以唯一确定.
    又在点处的切线方程为,即,在点处的切线方程为,
    若存在,使得点与是函数图像的一对“同切点”,
    则又,故,所以且,从而存在,使得,代入,可得,故,所以是数列中的项.
    反之,若是数列中的项,则存在,使得,即,由(2)中的严格增,可知严格增,又且,可知,令,则且,即,可得,所以存在,使得点与是函数的图像的一对“同切点”.
    综上可知,存在,使得点与是函数图像的一对“同切点,”的充要条件是“是数列中的项”.
    组别
    频数
    9
    26
    65
    53
    47
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