上海市闵行区2020届高三二模考试数学试题+Word版含解析

这是一份上海市闵行区2020届高三二模考试数学试题+Word版含解析，共21页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

上海市闵行区2020届高三二模数学试卷
一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.设集合，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集的定义，即可求解.
【详解】
.
故答案为:.
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.
2.已知复数满足（为虚数单位），则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】解：由，得，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.
3.若直线的方向向量为，则此直线的倾斜角为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用直线的方向向量算出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角.
【详解】解：∵直线的方向向量为，
∴直线的斜率为1，
∴直线的倾斜角为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的倾斜角，是基础题.
4.记为等差数列的前n项和，若，，则__________．
【答案】6
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式求和公式即可得出.
【详解】解：设等差数列的公差为，
，
，解得.
则.
故答案为：6.
【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
5.已知圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为，则该圆锥的侧面积为_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算即可得出结论.
【详解】解：设底面的半径为，则
∴该圆锥的侧面积
故答案为
【点睛】本题考查了圆锥的性质和侧面积公式，解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径.
6.二项展开式的常数项为________.
【答案】28
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的指数为0，求出的值，将的值代入通项公式，求出展开式的常数项．
【详解】解：展开式的通项为，令，解得，所以常数项为
故答案为：
【点睛】本题解决二项展开式的特定项问题，常利用的工具是二项展开式的通项公式，属于中档题．
7.若x、y满足，且，则的最大值为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
画出约束条件不是的可行域，判断目标函数经过的点，求出最大值.
【详解】解：由x、y满足，且，画出可行域如图所示，
可得A（2，1），
则目标函数在点A（2，1）取得最大值，
代入得，故的最大值为5.
故答案为：5.

【点睛】本题考查线性规划的应用，画出约束条件的可行域以及找出目标函数经过的点是解题关键.
8.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为__________．（结果用最简分数表示）
【答案】
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数，再用列举法求出此数列为等比数列包含的基本事件有4个，由此能求出此数列为等比数列的概率.
【详解】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，
基本事件总数，
此数列为等比数列包含的基本事件有：（1，2，4），（1，3，9），（2，4，8），共3个，
∴此数列为等比数列的概率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
9.已知直线，斜率为的直线与x轴交于点A，与y轴交于点，过作x 轴的平行线，交于点，过作y轴的平行线，交于点，再过作x轴的平行线交于点，…，这样依次得线段、、、、…、、，记为点的横坐标，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】
先由题设条件得出点的坐标，根据它们之间的关系求出点的坐标，然后利用数列极限的运算性质求出.
【详解】解：∵斜率为的直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线，
∴A1（a，a）.
∵A1B0∥x轴，∴B1（a，aq+a），A2（aq+a，aq+a）.
∵B1A2∥x轴，∴B2（aq+a，aq2+aq+a）.
同理可得：A3（aq2+aq+a，aq2+aq+a），
B3（aq2+aq+a，aq3+aq2+aq+a），…，
Bn（aqn﹣1+aqn﹣2+aqn﹣3+…aq2+aq+a，aqn+aqn﹣1+aqn﹣2+aqn﹣3+…aq2+aq+a），
∵xn为点Bn的横坐标，
∴xn＝aqn﹣1+aqn﹣2+aqn﹣3+…aq2+aq+a.
故xn是首项为a，公比为q（0＜q＜1）的等比数列的前n项的和，
由数列极限的运算性质得：.
故答案为：.

【点睛】本题主要考查数列在实际问题中的应用及数列极限的求法，属于中档题.
10.已知是定义在R上的偶函数，当，且，总有，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得出在上单调递减，且，从而根据原不等式即可得出，解出x的范围即可.
【详解】解：∵，且时，，
∴在上单调递减，
∴在上单调递减，
∴由得，
∴，解得，
∴原不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了偶函数的定义，偶函数在对称区间上的函数的单调性的特点，减函数和增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题.
11.已知A、B、C是边长为1的正方形边上的任意三点，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
建系，设A（a，0），B（p，q），C（r，s），利用不等式，考虑极限情况求范围.
【详解】解：建系如图，
M（1，0），N（1，1），P（0，1），
设A（a，0），B（p，q），C（r，s），其中a，p，q，r，s∈[0，1]，
，
当且仅当或时,等号成立；
，
当且仅当，即或时，等号成立.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、考查向量坐标表示，数形结合思想，极限思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
12.已知函数，若函数在区间内恰好有奇数个零点，则实数k的所有取值之和为__________．
【答案】
【解析】
分析】
讨论0＜x≤时与＜x＜π时函数解析式，令k＝sinx+cosx﹣4sinxcosx，换元，根据二次函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：（1）当0＜x≤时，设k＝sinx+cosx﹣4sinxcosx，
令t＝sinx+cosx＝sin（x+），则t∈[1，]，
k＝t﹣2（t2﹣1）＝﹣2t2+ t+2，t∈[1，]为单调函数，
则可知当t＝1时，即k＝1时，一解；
当t＝时，即k＝时，一解；
当1＜t＜时，即﹣2＜k＜1时两解；
（2）当＜x＜π时，设k＝sinx﹣cosx﹣4sinxcosx，
令t＝sinx﹣cosx＝sin（x﹣），则t∈（1，]，
k＝t+2（t2﹣1），t∈（1，]也为单调函数，
则可知当1＜t＜时，即1＜k＜2+时两解，
当t＝时，即k＝时一解，
综上：k＝1或k＝﹣2或k＝，
故所有k的和为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数零点与方程根的转化，换元思想，分类讨论思想，属于中档偏难题.
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交，即可判断出结论.
【详解】解：在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交.
∴“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查了空间中两条直线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
14.某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（ ）
A. 45 B. 46 C. 47 D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】
根据系统抽样的定义和性质即可得到结论.
【详解】解：根据题意，样本间隔数，
在1到20中抽到的是7，
则41到60为第3组，此时对应的数为7+2×20＝47.
故选：C.
【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，样本间距是解决本题的关键，比较基础.
15.已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M．N两点，交y轴于点E，若，，则（ ）
A B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联立，由，，分别表示出λ1，λ2，利用根与系数关系即可算得答案.
【详解】解：根据条件可得F（1，0），
则设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），
所以E（0，﹣k），联立，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
则x1+x2＝，x1x2＝1，
因为，，
所以λ1（1﹣x1）＝x1，λ2（1﹣x2）＝x2，
即有λ1＝，λ2＝，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，将条件转化为坐标形式，结合根与系数关系解题是关键，属于中档题.
16.关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.
【详解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解为，设对应的两点分别为A，B，
得A（2，1），B（2，﹣1），
设x2+2mx+m＝0的解所对应的两点分别为C，D，记为C（x1，y1），D（x2，y2），
（1）当△＜0，即0＜m＜1时，的根为共轭复数，必有C、D关于x轴对称，又因为A、B关于x轴对称，且显然四点共圆；
（2）当△＞0，即m＞1或m＜0时，此时C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，
故此圆的圆心为（﹣m，0），
半径，
又圆心O1到A的距离O1A＝，
解得m＝﹣1，
综上：m∈（0，1）∪{﹣1}.
故选：D.
【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17.在直三棱柱中，，，，M是侧棱上一点，设．

（1）若，求多面体的体积；
（2）若异面直线BM与所成的角为，求h的值．
【答案】（1）；（2）2
【解析】
【分析】
（1）多面体的体积为，由此能求出结果；
（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出h的值.
【详解】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，
，M是侧棱C1C上一点，设MC＝，
∴多面体ABM﹣A1B1C1的体积为：

＝﹣
＝
＝.
（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），M（2，0，h），A1（0，2，2），C1（2，0，2），
＝（2，0，h），＝（2，﹣2，0），
∵异面直线BM与A1C1所成的角为60°，
∴cos60°＝＝，
由h＞0，解得h＝2.

【点睛】本题考查多面体的体积、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
18.已知函．
（1）当的最小正周期为时，求的值;
（2）当时，设的内角A．B．C对应的边分别为a、b、c，已知，且，，求的面积．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）利用倍角公式、和差公式可得f（x）＝sin（2ωx+）+，根据f（x）的最小正周期为2π，可得ω.
（2）当ω＝1时，，代入可得sin（2×）+＝3，解得A，利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，解得c，即可得出△ABC的面积S.
【详解】解：（1）函数.
∴f（x）＝3×＝sin（2ωx+）+，
当f（x）的最小正周期为2π时，
＝2π，解得ω＝；
（2）当ω＝1时，，
∴sin（2×）+＝3，又A为三角形的内角，
解得A＝.
且，
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴c2﹣6c+8＝0，
解得c＝2或4.
∴△ABC的面积S＝bcsinA＝3或6.
【点睛】本题考查了三角函数的性质与三角形的面积、和差公式与倍角公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
19.如图，A、B两地相距100公里，两地政府为提升城市抗疫能力，决定在A、B之间选址P点建造储备仓库，共享民生物资，当点P在线段AB的中点C时，建造费用为2000万元，若点P在线段AC上（不含点A），则建造费用与P、A之间的距离成反比，若点P在线段CB上（不含点B），则建造费用与P、B之间的距离成反比，现假设P、A之间的距离为x千米，A地所需该物资每年的运输费用为万元，B地所需该物资每年的运输费用为万元，表示建造仓库费用，表示两地物资每年的运输总费用（单位:万元）．

（1）求函数的解析式;
（2）若规划仓库使用的年限为，，求的最小值，并解释其实际意义．
【答案】（1）当，；当，；（2），见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意，设f（x）＝，由f（50）＝2000，求得k1与k2值，则函数解析式可求；
（2）求出g（x）＝2.5x+0.5（100﹣x）＝2x+50，然后分段写出H（x），求导后再对n分类求解H（x）的最小值，并解释其实际意义.
【详解】解：（1）由题意，设f（x）＝，
由f（50）＝2000，求得k1＝k2＝100000.
∴f（x）＝；
（2）g（x）＝2.5x+0.5（100﹣x）＝2x+50，
若0＜x≤50，则H（x）＝f（x）+ng（x）＝，
H′（x）＝，由H′（x）＝0，得x＝100，
若n∈N*且n≤20，则H（x）在（0，50]上单调递减，H（x）min＝H（50）＝2000+150n；
若n∈N*且n＞20，则H（x）在（0，100）上单调递减，在（100，50）单调递增，
∴；
若50＜x＜100，则H（x）＝f（x）+ng（x）＝，
H′（x）＝＞0，H（x）在（50，100）上单调递增，
若n∈N*且n≤20，则H（x）＞2000+150n；
若n∈N*且n＞20，则H（x）＞50n+.
综上，若n∈N*且n≤20，则H（x）min＝2000+150n；
若n∈N*且n＞20，则.
实际意义：建造储备仓库并使用n年，花费在建造仓库和两地物资运输总费用的最小值.
【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用导数求最值，是中档题.
20.在平面直角坐标系中，A、B分别为椭圆的上、下顶点，若动直线l过点，且与椭圆相交于C、D两个不同点（直线l与y轴不重合，且C、D两点在y轴右侧，C在D的上方），直线AD与BC相交于点Q．

（1）设的两焦点为、，求的值;
（2）若，且，求点Q的横坐标；
（3）是否存在这样的点P，使得点Q的纵坐标恒为？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由椭圆方程易知∠OAF2＝45°，结合对称性可得∠F1AF2＝90°；
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），根据已知条件可求得直线BC的方程为y＝2x﹣1，直线AD的方程为y＝﹣x+1，联立两直线方程即可得到点Q的横坐标；
（3）设直线l的方程为y＝kx+b（k＜0，b＞1），与椭圆方程联立，可得，直线BC的方程为，直线AD的方程为，进而得到点Q的纵坐标，由此建立方程化简即可得出结论.
【详解】解：（1）由椭圆Γ的方程知，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（0，1），
则∠OAF2＝45°，
∴∠F1AF2＝90°；
（2）若b＝3，设C、D的两点坐标为C（x1，y1），D（x2，y2），
∵，
∴，即，
而C（x1，y1），D（x2，y2）均在上，
代入得，解得，
∴，分别代入Γ解得，，
∴直线BC的方程为y＝2x﹣1，直线AD的方程为y＝﹣x+1，
联立，解得，
∴Q点的横坐标为；
（3）假设存在这样的点P，设直线l的方程为y＝kx+b（k＜0，b＞1），
点C，D的坐标为C（x1，y1），D（x2，y2），
联立，得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣2＝0，
由△＝16k2b2﹣8（2k2+1）（b2﹣1）＞0，得，
由，可得，
直线BC的方程为，直线AD的方程为，
而x1y2＝kx1x2+bx1，x2y1＝kx1x2+bx2，联立，
得
＝，
则b＝3＞1，因此，存在点P（0，3），使得点Q的纵坐标恒为.
【点睛】本题考查椭圆方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定点定值问题，考查化简运算能力，属于较难题目.
21.已知数列，若对任意，都有成立，则称数列为“差增数列”．
（1）试判断数列是否为“差增数列”，并说明理由；
（2）若数列为“差增数列”，且，，对于给定的正整数m，当，项数k的最大值为20时，求m的所有可能取值的集合；
（3）若数列为“差增数列”，，且，证明:．
【答案】（1）；见解析（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）数列是“差增数列”.由新定义可知，只要证明＞an+1即可；
（2）由新定义可得对任意的n∈N*，an+2﹣an+1＞an+1﹣an恒成立，可令bn＝an+1﹣an（n≥1），运用累加法，结合等差数列的求和公式可得an，由于1≤n≤19，结合条件可得m的取值集合；
（3）运用反证法证明，假设x1010x1011≥1，由题意可得x1x2…x2020＝1，＜，运用不等式的性质推得x1009x1012＞1，即可得到矛盾，进而得证.
【详解】解：（1）数列是“差增数列”.
因为任意的n∈N*，都有an+an+2＝n2+（n+2）2＝2n2+4n+4＝2（n+1）2+2＞2（n+1）2＝2an+1，
即＞an+1成立，
所以数列是“差增数列”；
（2）由已知，对任意的n∈N*，an+2﹣an+1＞an+1﹣an恒成立.
可令bn＝an+1﹣an（n≥1），则bn∈N，且bn＜bn+1，
又an＝m，要使项数k达到最大，且最大值为20时，必须bn（1≤n≤18）最小.
而b1＝0，故b2＝1，b3＝2，…，bn＝n﹣1.
所以an﹣a1＝b1+b2+…+bn﹣1＝0+1+2+…+（n﹣2）＝（n﹣1）（n﹣2），
即当1≤n≤19时，an＝1+，a19＝154，因为k的最大值为20，
所以18≤a20﹣a19＜18+19，即18≤m﹣154＜18+19，
所以m的所有可能取值的集合为{m|172≤m＜191，m∈N*}.
（3）证明：（反证法）假设x1010x1011≥1.由已知可得xn（n＝1，2，…，2020）均为正数，且x1x2…x2020＝1，＜.
而由＜可得＜＜，
即x1010x1011＜x1009x1012，所以x1009x1012＞1.
又＝•＜•＝，即x1008x1013＞1，
同理可证x1007x1014＞1，…，x1x2020＞1，
因此x1x2…x2020＞1，这与已知矛盾，
所以x1010x1011＜1.
【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，主要考查化简整理的运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.