2024届上海市黄浦区高三上学期期中调研测试（一模）数学试题含答案

这是一份2024届上海市黄浦区高三上学期期中调研测试（一模）数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.
【详解】集合，所以.
故答案为：
2．若函数为偶函数，则
【答案】1
【分析】根据偶函数的定义，可得一次项系数为0，从而可得结论．
【详解】解：函数
函数为偶函数，
【点睛】本题考查偶函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．
3．已知复数（i为虚数单位），则满足的复数为 ．
【答案】
【分析】根据已知结合共轭复数得出，代入化简，即可得出答案.
【详解】，则，
则，为，
即，
故答案为：
4．若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为 ．
【答案】/1.25
【分析】先求出双曲线方程，再由双曲线的性质得到，最后用离心率公式算出结果.
【详解】因为点在双曲线上，代入可得，解得，
由曲线方程可知，故，
所以双曲线的离心率为，
故答案为：
5．已知向量，则向量与夹角的余弦值为 ．
【答案】/0.5
【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量，所以向量与夹角的余弦值.
故答案为：
6．若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为 ．
【答案】
【详解】棱长为的正方体的八个顶点在同一个球面上，
则球的直径等于正方体的对角线长，即，
则该球的体积
7．某城市30天的空气质量指数如下：29，26，28，29，38，29，26，26，40，31，35，44，33，28，80，86，65，53，70，34，36，，31，38，63，60，56，34，74，34．则这组数据的第75百分位数为 ．
【答案】56
【分析】把给定数据按由小到大的顺序排列，再根据第p百分位数的定义求解即得.
【详解】显然，30个数据由小到大排列为：
26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，
44，，53，56，60，63，65，70，74，80，86，
或者26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，
40，，44，53，56，60，63，65，70，74，80，86，
由，得这组数据的第75百分位数为上述排列后的从小到大的第23个数56.
故答案为：56
8．在中，三个内角的对边分别为，若，则的值为 ．
【答案】/0.96
【分析】根据余弦定理结合同角三角函数关系和二倍角的正弦公式即可得到答案.
【详解】，即，
则，因为，所以，
所以，所以，
故答案为：.
9．某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为 ．
【答案】
【分析】由频率分布直方图的面积和为求出，再计算出结果即可.
【详解】由频率分布直方图可知，解得，
这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为，
故答案为：
10．若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数解析式求出含参单调区间，根据，结合角的范围确定是那个单调区间的子区间，即可列不等式解除答案.
【详解】函数，
令，解得：，
令，解得：
则的单调递增区间为，单调递减区间为，
若函数在区间上是单调递增函数，
则，
是一个三角形的内角，
，，
，
要使，
只能令，得，且，
此时，
则，
则，解得，
是一个三角形的内角，
，
若函数在区间上是单调递减函数，
则，
，，
要使，
只能令，得，且，
此时，
则，
则，解得，与矛盾，
函数在区间上是不能是单调递减函数，
综上所述，，
故答案为：.
11．设是首项为3且公比为的等比数列，则满足不等式的最小正整数的值为 ．
【答案】25
【分析】根据等比数列的定义写出其通项公式，指对互化得出，即可根据并项求和法得出的式子，再代入不等式求解即可.
【详解】是首项为3且公比为的等比数列，
，则，
即有，
当为偶数时，
则，
当为奇数时，为偶数，
则，
则，
要满足不等式，则为奇数，
此时，解得：，
则满足不等式的最小正整数的值为，
故答案为：25.
12．若正三棱锥的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为 ．
【答案】8
【分析】利用向量中点的性质，进行合理转化，建立空间直角坐标系，找到对称点的坐标，转化为易求的线段长求解即可.
【详解】
设在底面的射影为，则为底面的中心，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
由题可知，则，，,,，
设， 故，，，，
，，
设中点为，且，，
设是平面的平面方程，且该平面的一个法向量为，作为与该平面的对称点，，设，中点为，
故在该平面上，面，故，，解得，，
故，.
故答案为：8
【点睛】利用空间向量的中点性质和坐标运算，巧作对称点，将问题简化，运用三角形边的性质求解，属于难题.
二、单选题
13．设，则“”是“” 的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.
详解：求解不等式可得，
求解绝对值不等式可得或，
据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率计算即得.
【详解】记3名男同学为，2名女同学为，从5名同学中任选2名的结果有：
，共10个，
选出的2名同学中至少有1名女同学的事件含有的结果有，共7个，
所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.
故选：B
15．若实数满足，则必有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】选项A利用基本不等式可判断正误；选项B用特殊值法代入，令可求；选项C用特殊值法代入，令可求；选项D用基本不等式分析即可.
【详解】对于A，，整理可得，当且仅当取等号，故A错误；
对于B，因为，设，
则方程变为，解得，
所以，故B错误；
对于C，当时，代入等式成立，但，
故C错误；
对于D,由可得，
整理可得，当且仅当时取等号；所以，
因为，所以，故D正确；
故选：D
16．在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点O最近的点为点，此最近距离为．当点P在曲线上运动时，关于下列结论：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是．正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【答案】C
【分析】由题意可知当点P的纵坐标大于等于1、小于1时，确定点的位置，结合图形，可得的轨迹方程；记，则，当且仅当共线时取等号.
【详解】由题意知，点集表示以为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的正方形及其内部，如图，
当点P的纵坐标大于或等于1时，在上述正方形的左下顶点，如图，
此时点的轨迹方程为；
当点P的纵坐标小于1时，在上述正方形的左侧边与x轴的交点，如图，
此时点的轨迹方程为，
所以点的轨迹方程为，故①错误；
记，如图，
结合图形，则，
又，所以，
左侧等号当且仅当依次共线时取到，
右侧等号当且仅当依次共线时取到，故②正确.
故选：C.
三、解答题
17．已知等比数列是严格增数列，其第3、4、5项的乘积为1000，并且这三项分别乘以4、3、2后，所得三个数依次成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意的正整数n，数列的前n项和，向量的模为，求数列的前n项和．
【答案】【小题1】 【小题2】
【分析】（1）根据等差中项的应用和等比数列的通项公式建立方程组，求出数列的首项和公比，即可求解；
（2）根据数列的前n项和，求出，再根据平面向量的模长公式求出，结合等比数列前n项求和公式计算即可求解.
【详解】（1）设数列的公比为，
由分别乘以4,3,2后依然成等差数列，得，
所以有，即，
由，可得，解得：或，
因为等比数列是严格增数列，所以．代入解得：，
所以；
（2）因为数列的前n项和，
当时，，
当时，，
当时也满足上式，所以．
则，
所以数列的前n项和为
.
18．如图，平面平面，四边形是正方形，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正切值．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.
（2）利用向量法求得二面角的余弦值，再转化为正切值.
【详解】（1）由于，所以四边形是等腰梯形，
，所以到的距离是，
所以.
依题意，平面平面，四边形是正方形，
由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
，
由于，所以，所以平面.
（2）平面的一个法向量为，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设二面角为，由图可知为锐角，
则，则，
所以.
19．某公园的一个角形区域如图所示，其中．现拟用长度为100米的隔离档板（折线）与部分围墙（折线）围成一个花卉育苗区，要求满足．
(1)设，试用表示；
(2)为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计？请说明理由．
【答案】(1)
(2)当,时，花卉育苗区的面积最大，最大为1250.
【分析】（1）由已知得出，，，设,，则,，根据正弦定理列等式消去，化简即可得出答案.
（2）根据三角形的面积公式结合（1）得出的角与长度列式，化简根据三角函数值域与不等式求其最值，最值时角的大小即可得出答案.
【详解】（1），，
，，，
设,，则,，
则，，
则，则，
即，
即
则，
则，
则
则
则，
则，
则，
则，
则，
则，
即，即，
即.
（2）设，
由（1）得，
则，
，
，
，
，，
，
要使花卉育苗区的面积最大，则，即，
故当,时，花卉育苗区的面积最大，最大为1250.
20．设a为实数，是以点为顶点，以点为焦点的抛物线，是以点为圆心、半径为1的圆位于y轴右侧且在直线下方的部分．

(1)求与的方程；
(2)若直线被所截得的线段的中点在上，求a的值；
(3)是否存在a，满足：在的上方，且有两条不同的切线被所截得的线段长相等？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，
【分析】（1）依题意列标准方程即可求解；
（2）依题意联立方程后利用韦达定理给出中点坐标，代入已求方程即可求解；
（3）先设出切线方程，和抛物线方程联立后表示出所截线段的长度，用导数即可求解.
【详解】（1）设，则，解得，故，
依题意有.
（2）设被所截得的线段为，中点为，
联立和有，故，
故，代入得：
，解得.
（3）如图，在的上方时，抛物线和圆无交点，联立和有
且，解得，
显然，切线斜率存在，设切线方程为，
由为四分之一圆知，
又圆心到切线的距离等于半径：，故，
切线方程为，与联立得，
设被所截得的线段为，则，
，
记，则，，
记，则，
依题意有：对给定的，使得和有两个交点，
由知
使即可，
否则在上单调，不存在使得，
而，故只需，
解得，
综上所述：.
【点睛】（3）先用切线满足的条件消去，再联立得所截线段长的表达式，依题意有两正根，结合导数即可求解.
四、证明题
21．设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”．
(1)判断函数与是否“局部趋同”，并说明理由；
(2)已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”；
(3)对于给定的实数，若存在实数，使得函数与“局部趋同”，求实数的取值范围．
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出两函数的导函数，根据题意列等式解出值，再代入原函数看是否相等即可得出答案；
（2）求出两函数的导函数，根据题意列等式，得出要证明对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”，证明有解即可，再根据二次函数证明即可；
（3）求出两函数的导函数，根据题意列等式，消去得出若有解，函数与就“局部趋同”，令，利用导数求出其值域，即可得出答案.
【详解】（1）由，，
得，，
令，解得：，
，且，
即不存在，满足且，
则函数与不是“局部趋同”；
（2）函数，
则，
若函数与“局部趋同”，
则存在，满足且，
即，且，
则若有解，存在正数，都存在，满足且，
即对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”，
即，其，
即有解，设方程的两根分别为，
不妨设，则，所以，，
而，取，
所以对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”.
（3）若函数与“局部趋同”，
则且，
由，得，
即，则，
代入，得，
即，
则若有解，函数与就“局部趋同”，
即有解，
令，则，
在上，，在上，，
则在上，，在上，，
即在上单调递增，在上单调递减，最大值为，
从趋向于0时，趋向于，趋向于0，
则在从趋向于0时，趋向于，
则，
则要使有解，即，即，
故实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于新概念题要将题中概念转换为我们熟悉的内容再进行求解；解决存在自变量使得两函数相等问题，注意利用等式转换相等的复杂内容，让等式变简单；等式中参数的范围利用参变分离，后构造新函数利用导数求解其值域，注意定义域.