上海市黄浦区2024届高三二模数学试题及参考答案

这是一份上海市黄浦区2024届高三二模数学试题及参考答案，共19页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、填空题
1．若集合，，则 .
2．抛物线的焦点到准线的距离是 .
3．若，，其中，则 .
4．若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为 .
5．若的展开式中的系数是，则实数 .
6．在中，，，，则 .
7．随机变量服从正态分布，若，则 .
8．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是 .
9．某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为 .
10．已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为 .
11．如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为 百米.
12．在四面体中，，，，设四面体与四面体的体积分别为、，则的值为 .
二、单选题
13．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（ ）
A．B．
C．D．
14．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
15．设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
16．设数列的前n项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“T数列”.对于命题：①存在“T数列”，使得数列为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”.下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题
三、解答题
17．设，函数.
(1)求的值，使得为奇函数；
(2)若，求满足的实数的取值范围.
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，平面.
(1)求证：点E是棱PD的中点；
(2)若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小.
19．某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格.
(1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放个随机红包，不合格的发放个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为.若从这200个成年市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布及数学期望；
(2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.
20．如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.
21．若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
组别
频数
9
26
65
53
47
参考答案：
1．
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】因为集合，，则.
故答案为：.
2．2
【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.
3．3
【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】，
故答案为：
4．
【分析】将圆柱的侧面展开，得到矩形的两边长，求出面积即可.
【详解】将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3，另一边为，
故侧面积为.
故答案为：
5．
【分析】根据通项公式得到，求出，从而得到方程，求出.
【详解】通项公式为，
令，解得，
故，解得.
故答案为：
6．
【分析】根据余弦定理建立方程，可得答案.
【详解】在中，根据余弦定理可得：，
设，则，整理可得，解得，
故.
故答案为：.
7．/
【分析】根据正态曲线的性质计算可得.
【详解】因为且，
所以，
则.
故答案为：
8．
【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为和，则，又，再由可求的取值范围.
【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和，
则.
所以.
由.
故答案为：
9．/0.6
【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率.
【详解】由题意，
若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有种，
若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有种，
若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有种，
若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有种，
若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有种，
共有种，
而所有的上场顺序有种，
∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：,
故答案为：.
10．21
【分析】不妨设数列的公差大于零，不妨取，则，设，再分和两种情况讨论，可得出的值，再讨论，即可求出，即可得解.
【详解】不妨设数列的公差大于零，
由于，得，
且时，，时，，
不妨取，则，
设，
若，则，此时式子取不了最大值；
若，则，
又时，，
因为，此时式子取不了最大值；
因此这就说明必成立.
若，则，
这也就说明不成立，因此，
所以.
故答案为：.
11．
【分析】设半圆步道直径为百米，连接，借助相似三角形性质用表示，结合对称性求出步道长度关于的函数关系，利用导数求出最大值即得.
【详解】设半圆步道直径为百米，连接，显然，
由点O为线段的中点，得两个半圆步道及直道都关于过点垂直于的直线对称，
则，又，则∽，有，
即有，因此步道长，，
求导得，由，得，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此当时，，
所以步道的最大长度为百米.
故答案为：
12．/
【分析】根据空间向量的加法与数乘运算，可得点的位置并作图，利用三角形的等积变换可得底面的面积比，可得答案.
【详解】由，，，则；
由，，，则；
由，，，则；
显然四面体与四面体共顶点且底面共面，则其高相同可设为，
结合题意可作图如下：
在底面连接，作图如下：
由，即，则，易知；
由，即，则，易知；
由，即，则；
由，，则，易知；
，；
.
故答案为：.
13．B
【分析】由分层抽样先求出初中部和高中部应抽取的学生，再由组合数公式和分步计数原理即可得出答案.
【详解】该校初中部和高中部分别有500和300名学生，
所以初中部应抽取名学生，
高中部应抽取名学生，
所以不同的抽样结果的种数为.
故选：B.
14．A
【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数，再利用三角函数的周期公式以及奇偶函数的定义即可求解.
【详解】，
因为，所以为奇函数，
周期，
所以此函数最小正周期为的奇函数，
故选：A.
15．D
【分析】分和两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.
【详解】当时，恒成立，即恒成立，
当时，上式成立；
当，，明显函数在上单调递增，
所以，所以；
当时，恒成立，即恒成立，
令，则在上恒成立，
又开口向下，对称轴为，
所以的最大值为，
所以，
综上：实数a的取值范围是.
故选：D.
16．A
【分析】根据题意，结合“T数列”的定义，举出实例说明①②，即可得出答案.
【详解】对于命题①，对于数列，
令，则，
数列为公比不为1的等比数列，
当时，是数列中的项，
当时，是数列中的项，
所以对任意的，都是数列中的项，
故命题①正确；
对于命题②，等差数列，令，则，
则，
因为且，
，且，
所以对任意的，都是数列中的项，
所以对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”，
故命题②正确；
故选：A.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案；
（2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.
【详解】（1）由为奇函数，可知，
即，解得，
当时，对一切非零实数恒成立，
故时，为奇函数.
（2）由，可得，解得，
所以
解得：，所以满足的实数的取值范围是.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合点是BD的中点，得到证明；
（2）方法一：作出辅助线，得到就是PC与平面ABCD所成角，从而根据正切值得到，证明出线面垂直，得到是二面角的平面角，求出各边长，从而得到；
方法二：作出辅助线，得到就是PC与平面ABCD所成角，建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用法向量夹角余弦值得到二面角的大小.
【详解】（1）连接BD，它与AC交于点，连接EF，
四边形ABCD为矩形，
为BD的中点，
平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于，
，
又点是BD的中点，
点是棱的中点.
（2）方法一：∵PA⊥平面，平面，
且就是PC与平面ABCD所成的角，
故，解得.
四边形ABCD为矩形，
，又，PA与AD是平面PAD内的两相交直线，
平面PAD.
在平面PAD内作，垂足为，连接GF，则，
是二面角的平面角.
在直角三角形PAD中，，点是PD的中点，
，且，
平面平面，
，故，所以，
故二面角的大小为.
方法二：∵PA⊥平面，平面，
且就是PC与平面ABCD所成的角，
又四边形ABCD为矩形，，
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设是平面AEC的一个法向量，二面角的大小为，
由，可得，
则，
故，
解得且，所以，
又是平面AED的一个法向量，且为锐角，
故，可得.
所以二面角的大小为.
19．(1)分布列见解析，39
(2)，98:27
【分析】（1）依题意，的所有可能取值为，利用独立事件的概率乘法公式求解相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解即可；
（2）利用全概率公式和条件概率公式求解.
【详解】（1）随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为，
，
，
，
，
，
所以的分布为
，
即的数学期望为39；
（2）设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件，“从该社区成年市民随机抽取1人，此人安全知识合格”为事件，
则，，
由，
可得，所以，
所求比值.
估计60岁及以上人员的合格率约为，成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比约为98:27.
20．(1)与
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设的方程分别为与，将点的坐标代入的方程可求出，利用椭圆的定义可求出的值，从而可得，进而可得的方程；
（2）分点在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点的坐标；
（3）利用两点的斜率公式及点在上即可证明，设的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示，化简为常数，即可得出答案.
【详解】（1）设的方程分别为与，
由，得，故的坐标分别为，
所以故，
故与的方程分别为与.
（2）当点在第四象限时，直线的倾斜角都为钝角，不适合题意；
当在第一象限时，由直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，
可知，故，
设点坐标为，可知且，
解得，故点的坐标为，
（3）设直线的斜率分别为，点P，A，B的坐标分别为，
则，
的方程为，
代入可得，
故，
所以，
同理可得，又，故，
故，
即，所以存在，使得.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21．(1)函数的图象存在“自公切线”； 函数的图象不存在“自公切线”，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由直线切的图象于点判断，由导数确定意见性判断.
（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明在上无解即得.
（3）求出在点与处的切线方程，利用（2）的结论，结合诱导公式，及充要条件的证明方法推理即得.
【详解】（1）显然直线切的图象于点，
直线是的图象的一条“自公切线”，因此函数的图象存在“自公切线”；
对于是严格减函数，则在不同点处的切线斜率不同，
所以函数的图象不存在“自公切线”.
（2）由恒成立，且仅当时，
则是上的严格增函数，可得它至多有一个零点，
令，
由的图象是连续曲线，且，
因此在上存在零点，即在上存在零点，所以有唯一零点；
假设的图象存在“自公切线”，则存在且，
使得的图象在与处的切线重合，即，有，不妨设，
切线，，
有相同截距，即，而，
则，即，
则有，即，令，，
即函数在上单调递增，，因此当时，，
即在上无解，
所以的图象不存在“自公切线”.
（3）对给定的，由（2）知有唯一零点，即唯一确定，
又在点处的切线方程为，即，
在点处的切线方程为，
若存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”，
则，又，则，
所以，且，从而存在，
使得，代入，可得，则，即是数列中的项；
反之，若是数列中的项，则存在，使得，即，
由（2）中的严格增，可知严格增，又且，可知，
令，则且，
即，可得，所以存在，
使得点与是函数的图象的一对“同切点”.
所以存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”的充要条件是“是数列中的项”.
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.