上海市黄浦区2024届高三二模数学试卷(含答案)

这是一份上海市黄浦区2024届高三二模数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、填空题
1．若集合，，则___________.
2．抛物线的焦点到准线的距离是___________.
3．若，，其中，则___________.
4．若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为___________.
5．若的展开式中的系数是，则实数___________.
6．在中，，，，则___________.
7．随机变量X服从正态分布，若，则___________.
8．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则a的取值范围是___________.
9．某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为___________.
10．已知数列是给定的等差数列，其前n项和为，若，且当与时，（m，）取得最大值，则的值为___________.
11．如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段，与分别以，为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点C，D是线段上的动点，点O为线段，的中点，点E，F在以为直径的半圆弧上，且，均为直角.若百米，则此步道的最大长度为___________百米.
12．在四面体中，，，，设四面体与四面体的体积分别为、，则的值为___________.
二、选择题
13．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为( )
A.B.C.D.
14．函数是( )
A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数
15．设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
16．设数列的前n项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“T数列”.对于命题：①存在“T数列”，使得数列为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数，都存在实数d，使得以为首项、d为公差的等差数列为“T数列”.下列判断正确的是( )
A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题
C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题
三、解答题
17．设，函数.
（1）求a的值，使得为奇函数；
（2）若，求满足的实数x的取值范围.
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，平面.
（1）求证：点E是棱PD的中点；
（2）若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小.
19．某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格.
（1）该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额（单位：元）的分布为.若从这200个成年市民中随机选取1人，记X（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求X的分布及数学期望；
（2）已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.
20．如图，已知是中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，是以的焦点，为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点P在的右支上且异于顶点.
（1）求与的方程；
（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点P的坐标；
（3）设直线，的斜率分别为，，直线与相交于点A，B，直线与相交于点C，D，，，求证：且存在常数s使得.
21．若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
（1）分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
（2）若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
（3）设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“t是数列中的项”.
参考答案
1．答案：
解析：因为集合，，则.
故答案为：.
2．答案：2
解析：焦点，准线方程，焦点到准线的距离是2.
3．答案：3
解析：，
故答案为：3.
4．答案：
解析：将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3，另一边为，
故侧面积为.
故答案为：.
5．答案：
解析：通项公式为，
令，解得，
故，解得.
故答案为：.
6．答案：
解析：在中，根据余弦定理可得：，
设，则，整理可得，解得，
故.
故答案为：.
7．答案：/
解析：因为且，
所以，
则.
故答案为：.
8．答案：
解析：设实系数一元二次方程的两个虚数根为和，
则.
所以.
由.
故答案为：.
9．答案：/0.6
解析：由题意，
若甲第一个上场，乙则可以第3，4，5个上场，有种，
若甲第二个上场，乙则可以第4，5个上场，有种，
若甲第三个上场，乙则可以第1，5个上场，有种，
若甲第四个上场，乙则可以第1，2个上场，有种，
若甲第五个上场，乙则可以第1，2，3个上场，有种，
共有种，
而所有的上场顺序有种，
甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：，
故答案为：.
10．答案：21
解析：不妨设数列的公差大于零，
由于，得，，
且时，，时，，
不妨取，则，
设，
若，，则，此时式子取不了最大值；
若，，则，
又时，，
因为，此时式子取不了最大值；
因此这就说明必成立.
若，则，
这也就说明不成立，因此，
所以.
故答案为：21.
11．答案：
解析：设半圆步道直径为x百米，连接，，显然，
由点O为线段，的中点，得两个半圆步道及直道，都关于过点O垂直于的直线对称，
则，，又，则，有，
即有，因此步道长，，
求导得，由，得，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此当时，，
所以步道的最大长度为百米.
故答案为：.
12．答案：/
解析：由，，，则；
由，，，则；
由，，，则；
显然四面体与四面体共顶点且底面共面，则其高相同可设为h，
结合题意可作图如下：
在底面连接，作图如下：
由，即，则，易知；
由，即，则，易知；
由，即，则；
由，，则，易知；
，；
.
故答案为：.
13．答案：B
解析：该校初中部和高中部分别有500和300名学生，
所以初中部应抽取名学生，
高中部应抽取名学生，
所以不同的抽样结果的种数为.
故选：B.
14．答案：A
解析：，
因为，所以为奇函数，
周期，
所以此函数最小正周期为π的奇函数，
故选：A.
15．答案：D
解析：当时，恒成立，即恒成立，
当时，上式成立；
当，，明显函数在上单调递增，
所以，所以；
当时，恒成立，即恒成立，
令，则在上恒成立，
又开口向下，对称轴为，
所以的最大值为，
所以，
综上：实数a的取值范围是.
故选：D.
16．答案：A
解析：对于命题①，对于数列，
令，则，
数列为公比不为1的等比数列，
当时，是数列中的项，
当时，是数列中的项，
所以对任意的，都是数列中的项，
故命题①正确；
对于命题②，等差数列，令，则，
则，
因为且，
，且，，
所以对任意的，都是数列中的项，
所以对于任意的实数，都存在实数d，使得以为首项、d为公差的等差数列为“T数列”，
故命题②正确；
故选：A.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由为奇函数，可知，
即，解得，
当时，，对一切非零实数x恒成立，
故时，为奇函数.
（2）由，可得，解得，
所以
解得：，所以满足的实数x的取值范围是.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接BD，它与AC交于点F，连接EF，
四边形ABCD为矩形，
为BD的中点，
平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于，
，
又点F是BD的中点，
点E是棱的中点.
（2）方法一：平面，，，平面，
，，且就是PC与平面ABCD所成的角，
故，解得.
四边形ABCD为矩形，
，又，PA与AD是平面PAD内的两相交直线，
平面PAD.
在平面PAD内作，垂足为G，连接GF，则，
是二面角的平面角.
在直角三角形PAD中，，，点E是PD的中点，
，且，
平面，平面，
，故，所以，
故二面角的大小为.
方法二：平面，，，平面，
，，且就是PC与平面ABCD所成的角，
又四边形ABCD为矩形，，
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设，是平面AEC的一个法向量，二面角的大小为，
由，可得，
则，，
故，
解得且，所以，
又是平面AED的一个法向量，且为锐角，
故，可得.
所以二面角的大小为.
19．答案：（1）分布列见解析，39
（2），
解析：（1）随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为，
，
，
，
，
，
所以X的分布为
，
即X的数学期望为39.
（2）设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件A，“从该社区成年市民随机抽取1人，此人安全知识合格”为事件B，
则，，，，
由，
可得，所以，
所求比值.
估计60岁及以上人员的合格率约为，成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比约为.
20．答案：（1）与
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）设、的方程分别为与，
由，得，故，的坐标分别为，，
所以故，，
故与的方程分别为与.
（2）当点P在第四象限时，直线，的倾斜角都为钝角，不适合题意；
当P在第一象限时，由直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，
可知，故，
设P点坐标为，可知且，
解得，，故点P的坐标为，
（3）设直线，的斜率分别为，，点P，A，B的坐标分别为，，，
则，，
的方程为，
代入可得，
故，
所以，
同理可得，又，故，
故，
即，所以存在s，使得.
21．答案：（1）函数的图象存在“自公切线”；函数的图象不存在“自公切线”，理由见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）显然直线切的图象于点，，
直线是的图象的一条“自公切线”，因此函数的图象存在“自公切线”；
对于，是严格减函数，则在不同点处的切线斜率不同，
所以函数的图象不存在“自公切线”.
（2）由恒成立，且仅当时，
则是上的严格增函数，可得它至多有一个零点，
令，
由的图象是连续曲线，且，
因此在上存在零点，即在上存在零点，所以有唯一零点；
假设的图象存在“自公切线”，则存在，且，
使得的图象在与处的切线重合，即，有，不妨设，
切线，，
有相同截距，即，而，
则，即，
则有，即，令，，，
即函数在上单调递增，，因此当时，，
即在上无解，
所以的图象不存在“自公切线”.
（3）对给定的，由（2）知有唯一零点，即唯一确定，
又在点处的切线方程为，即，
在点处的切线方程为，
若存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”，
则，又，则，
所以，且，从而存在，
使得，代入，可得，则，即t是数列中的项；
反之，若t是数列中的项，则存在，使得，即，
由（2）中的严格增，可知严格增，又且，可知，
令，则且，，
即，可得，所以存在，
使得点与是函数的图象的一对“同切点”.
所以存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”的充要条件是“t是数列中的项”.
组别
频数
9
26
65
53
47
X
P