福建省厦门华师希平双语学校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每题4分，共40分）
1. 下列式子中，是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的定义分别进行判定即可．
【详解】解：A、根指数为3，属于三次根式，故本选项错误；
B、π不是根式，故本选项错误；
C、无意义，故本选项错误；
D、符合二次根式的定义，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义：形如（a≥0）叫二次根式．
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，BC=12，则AB的长为（ ）
A. 5B. 12C. 13D. 15
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB为斜边，
由勾股定理得：
AB＝＝＝13．
故选C．
3. 下列式子化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式的相关运算法则进行计算即可．
【详解】解：A、，原式化简错误，不符合题意；
B、，原式化简错误，不符合题意；
C、和不是同类二次根式，原式化简错误，不符合题意；
D、，原式化简正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质以及相关运算，熟练掌握二次根式的性质以及相关运算法则是解本题的关键．
4. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，对角线与相交于点，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，∠DAC=∠ACB，然后根据平行四边形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵纸条对边平行，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠DAC=∠ACB，
∴AD=BC，AB=CD，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行线的性质，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键．
5. 下列二次根式：是最简二次根式的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】利用最简二次根式的定义:(1)被开方数不含开方开的尽的数或因式，(2)被开方数中不含分母，分别判断即可．
【详解】是最简二次根式的有，．
故选：A
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及将二次根式化为最简二次根式的方法是解决本题的关键．
6. 下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是
A. 三个角的比是1：2：3B. 三条边满足关系
C. 三条边的比是2：3：4D. 三个角满足关系
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则，，，故正确；
B、三条边满足关系，故正确；
C、三条边的比为2：3：4，，故错误；
D、三个角满足关系，则为，故正确．
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为即可．
7. 如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点的符号后，点所表示的数是距离原点的距离．先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出点的坐标．
【详解】解：图中直角三角形的两直角边为，，
斜边长为，
那么和之间的距离为，
那么的值是：，
故选：D．
8. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A. 14B. 16C. 8+5D. 14+
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：当n=时，n（n+1）=（+1）=2+＜15；
当n=2+时，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15，
则输出结果为8+5．
故选C．
考点：实数的运算．
9. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，围成的也是等边三角形．已知点D、E、F分别是的中点，若的面积为14，则的面积是（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，利用三角形中线求面积，正确作出辅助线，得出是解题的关键．连接，由题意知，再由点、、分别是、、的中点，可得，，即可得出即可求解．
【详解】解：如图，连接，
点、、分别是、、的中点，
∴，，
由题意可知，，
，
，
，
，
故选：B．
10. 如图，在平行四边形中，，．平分，交边于点，连接，若，则的长为（ ）
A. 10B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、含直角三角形的性质、勾股定理等知识．由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，从而得到，推出，，过点作于点，由直角三角形的性质和勾股定理可得，，，即可得到答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，
则，
，
，
，，
，
故选：C．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为____________.
【答案】x≥8
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】∵二次根式有意义，
∴x﹣8≥0，
解得：x≥8
故答案为x≥8
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的被开方数为非负数的性质是解题关键.
12. 比较大小：_________．（填“”、“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】解： ， ，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
13. 如图是与在的网格上的位置，则______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，连接，根据题意可得：，从而可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再根据，从而可得，进而可得，最后利用等量代换即可解答．
【详解】解：如图：连接，
由题意得：，
∴，
由题意得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处断裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前的高度是______m．

【答案】18
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，，
所以旗杆折断之前高度为，
故答案为：．
15. 在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝，则▱ABCD的周长等于_____．
【答案】20或12##12或20
【解析】
【分析】过点A作AE⊥BC于E，连接AC，如图1，勾股定理求出EC，BE的长，得到BC即可求出的周长；如图2，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，连接AC，勾股定理求出EC，BE的长，得到BC即可求出的周长．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于E，连接AC，如图1，

∵在▱ABCD中，AE=4，AB＝5，AC＝，
∴，，
∴BC=2+3=5，
∴的周长=2（AB+BC）=20；
如图2，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，连接AC，

∵在▱ABCD中，AE=4，AB＝5，AC＝，
∴，，
∴BC=BE-EC=3-2=1，
∴的周长=2（AB+BC）=12；
故答案为：20或12．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握勾股定理的计算方法是解题的关键，注意应根据平行四边形的形状分类讨论．
16. 在中，，．若点 P在边AC上移动，则线段BP的最小值是 ________ ．
【答案】
【解析】
【分析】作AD⊥BC于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出AD，根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，再利用三角形的面积求解即可．
【详解】解：作AD⊥BC于点D，如图，
∵，，
∴BD=CD=3，AD=，
根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，
则由S△ABC=，可得，解得；
即线段BP的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得；
（2）先计算二次根式的乘除法，再计算加减法即可得．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，正方形的顶点称为格点．

（1）以格点为顶点画，使得，，；
（2）求的面积和点到的距离；
【答案】（1）见解析；
（2）面积是，距离是．
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理作图；
（2）根据割补法求出面积，再利用面积求出边上的高，即为点到的距离．
【小问1详解】
如图所示，所求图形；
【小问2详解】
的面积为：，
设边上的高为，则：，
解得：，
所以的面积是，点到的距离是．
【点睛】本题考查了作图的应用与设计，勾股定理，三角形的面积，点到直线的距离，掌握勾股定理及割补法求面积是解题的关键．
19. 如图，在中，点E，F分别是边上的点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．根据平行四边形的对边平行得出，又，可得利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
又∵，
∴
∴四边形为平行四边形，
∴．
20. 若x，y为实数，且，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【详解】解：由题意知，
解得：，
则，
∴原式．
21. 如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向．
【答案】（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上．
【解析】
【分析】（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1.
（2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，所而确定C港在A港的什么方向.
【详解】（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，∴AC==≈141．
答：A、C两地之间的距离为14.1km．
（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
【点睛】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键.
22. 再读教材：我们八下数学课本第16页了“海伦一秦九韶公式”如果一个三角形的三边长分别为记，那么三角形的面积为．
解决问题：
（1）在△ABC中，已知请你用“海伦﹣秦九韶公式”求面积．
（2）勤于思考的小聪同学认为（1）中的运算太繁，并想到了不同于（1）的解法，请你用小聪的解法求（1）中的面积．
【答案】（1）21 （2）21
【解析】
【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可；
（2）计算得到，即为直角三角形，直接两直角边的积除以2求面积，
【小问1详解】
解：
∴
∴
【小问2详解】
解：
∴，，
∴
【点睛】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键．
23. 如表：
阅读下列材料，回答问题．
（1）直接写出小明求得旗杆高度h（m）的值；
（2）小明求得h所用到的几何知识是________；
（3）小明仅用皮尺，通过2次测量，求得h（m），请你利用皮尺另外设计一个测量方案，并利用直角三角形的知识求旗杆的高度h（m），写出你的测量及求解过程．（测量得到的长度用字母m，n表示）
【答案】（1）
（2）勾股定理 （3）见详解
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，
（1）根据求解，即可求解；
（2）根据求解过程可得是勾股定理，即可求解；
（3）找到绳子到旗杆底端绳的位置，将其拉直，放在头顶，使得米，用皮尺量出小明的身高米，量出小明到旗杆距离米，在旗杆位置量出小明的身高找到，用勾股定理即可求解；
理解勾股定理，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
【小问1详解】
解：
解得：；
故小明求得旗杆高度h（m）的值为；
【小问2详解】
解：勾股定理；
故答案：勾股定理；
【小问3详解】
解：如图，找到绳子到旗杆底端绳的位置，将其拉直，放在头顶，使得米，用皮尺量出小明的身高米，量出小明到旗杆距离米，在旗杆位置量出小明的身高找到，

则有，，
，
，
，
解得：．
24. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，．
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）观察上面解答过程，请写出______；
（2）化简；
（3）若，请按照小明的方法求出的值．
【答案】（1）
（2）5 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了分母有理化：
（1）根据分母有理化的方法化简即可；
（2）根据分母有理化的方法化简后再计算即可；
（3）将a分母有理化，化简为，代入计算即可
【小问1详解】
解：
；
故答案为：
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：∵
∴，即，
∴，，
∴
25. （1）如图①，在四边形中，，E、F分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点M、N．求证：．（提示：取的中点H，连接）
（2）如图②，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是、的中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状，请直接写出结论．
（3）如图③，四边形中，E、F分别是的中点，，，试求的度数．
【答案】（1）见解析（2）为等腰三角形（3）
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，平行线的判定和性质，勾股定理以及等腰三角形的判定：
（1）连接，取的中点H，连接，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质证明；
（2）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．
（3）连接，取 的中点H，连接，根据三角形的中位线的性质得到，证明是直角三角形，得到即．
【详解】解：（1）证明：连接，取的中点H，连接，
∵E，H分别是的中点，
∴，
∴，
∵F，H分别是的中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∴；
（2）取中点P，连接，
可知，，
∴，
同理，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（3）连接，取 的中点H，连接，
∵是的中点，
∴
∴，
∵，
∴，，
又，
∴
∴是直角三角形，
∴
∴任务：某校八年级同学想测量旗杆的高度h（m），发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子长度未知，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于绳子长）．
小明利用皮尺测量，求出了旗杆BC的高度h（m），其测量及求解过程如下：
测量过程：
测量出绳子垂直落地后还剩余a（m），把绳子拉直，绳子末端A点在地面上离旗杆底部C点b（m），即（m），如图2．
求解过程：
由测量得：，，，
在中，，
∴，即．
∴________（m）．