福建省莆田第十五中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共10小题，每小题4分）
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】考查了二次根式的定义，解此类题目的关键是理解被开方数是非负数．
根据被开方数为非负数，再列不等式，逐一分析即可．
【详解】解：A、是二次根式，故本选项不符合题意．
B、因，则是二次根式，故本选项不符合题意．
C、由于被开方数是负数，所以在实数范围内没有意义，不属于二次根式，故本选项符合题意．
D、由于被开方数是正数，是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类二次根式法则、二次根式化简判断即可．
【详解】A．和不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
B．2和不能合并，故此选项错误；
C．，故此选项正确；
D．，故此选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的加减法、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的加减法法则是解答的关键．
3. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和及即可判断A，根据勾股定理逆定理即可判断B，根据平方差公式及勾股定理逆定理即可判断C，根据三角形内角和及即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴为直角三角形，故A不符合题意；
∵，
∴不能判定三角形为直角三角形，故B符合题意；
∵，
∴为直角三角形，故C符合题意；
∵，，
∴，
∴为直角三角形，故D符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角关系．
4. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴上的点，掌握求法是解题的关键．由勾股定理可求，，即可求解．
【详解】解：由题意得
，，
由作法得：，
；
表示的数为；
故选：A．
5. 如图，在中，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的邻角互补的性质求出，再根据对角相等求出的度数即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题关键是明确平行四边形对角相等，邻角互补．
6. 如图，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，较大两个正方形的面积分别为169和144，则最小正方形A的边长是（ ）
A. 25B. 13C. 12D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理，根据勾股定理和正方形的面积求解即可．
【详解】解：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积，
∴直角三角形的斜边平方为169，一条直角边的平方为144，
∴另一条直角边的平方为
∴最小正方形A的面积是25，边长为5；
故选：D．
7. 下列命题中，逆命题是假命题是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等B. 如果|a|＝1，那么a＝1
C. 平行四边形的对角线互相平分D. 如果 x＞y，那么 mx＞my
【答案】D
【解析】
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定和性质、绝对值的概念、圆心角与弧之间的关系、不等式的性质判断即可．
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，是真命题，它的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
B、如果|a|＝1，那么a＝1，是假命题，它的逆命题是如果a＝1，那么|a|＝1，是真命题；
C、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，它的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
D、如果x＞y，那么mx＞my，是假命题，它的逆命题是如果mx＞my，那么x＞y，是假命题；
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8. 如图，在中，对角线交于点，点是的中点．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出的长．
【详解】在中，对角线相交于点
点是的中点
又点是的中点
是的中位线
故选：A．
9. 已知，化简二次根式的正确结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．由，可知和异号，由，可得，，然后根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：，
和异号，
∵，
∴，，
∴，
故选：C．
10. 如图，在矩形纸片中，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点A落在上的点G处，则的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，根据折叠的性质可得 ，再由矩形的性质可得 ，从而得到 ，然后设 ，则 ，在 中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
在矩形纸片中， ，
∴在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
即 ．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题4分）
11. 化简：__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分母有理化法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，解题的关键是掌握运算法则．
12. 在△ABC中，∠C=90°，，则=___________．
【答案】8
【解析】
【分析】在直角三角形中,根据勾股定义可得: ,根据c=2,可求出，将其代入即可求解．
【详解】在直角三角形中,
因为∠C=90°，，
所以,
所以,
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理．
13. 如图，E，F是对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：________，使四边形AECF是平行四边形．

【答案】或或．
【解析】
【分析】用反推法，假如四边形是平行四边形，会推出什么结果，这结果就是要添加的条件．
【详解】解：使四边形是平行四边形．就要使，，就要使，而在平行四边形中已有，，再加一个或可用证，或用证．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，本题是开放题，答案不唯一，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，本题主要是通过给出证明的条件来得到，，根据四边形中一组对边平行且相等就可证明为是平行四边形．
14. 小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为______米．
【答案】12
【解析】
【分析】根据题意画出示意图，利用勾股定理可求出旗杆的高即可．
【详解】解：如图所示：

设旗杆米，则米，
在中，，
即，
解得：．
旗杆的高为12米
故答案为：12．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是画出示意图，熟练运用勾股定理．
15. 在中，对角线，交于点，两条对角线的和为，的长为，则的周长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分求出．即可求出的周长．
【详解】根据题意画出图形．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵对角线，交于点，两条对角线的和为，
∴，
∴的周长是
故答案为：．
16. 如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为____米．
【答案】600
【解析】
【分析】过点C作CO⊥AB，垂足为O，根据30度所对直角边等于斜边的一半，可设OA=x，则AC=2x，然后利用勾股定理求解即可.
【详解】
过点C作CO⊥AB，垂足为O，
∵BD=900，
∴OC=900，
∵∠EAC=30°，
∴∠ACO=30°．
在Rt△AOC中，
∵AC=2OA，
设OA=x，则AC=2x，
（2x）2-x2=OC2=9002，
∴x2=270000，
∴x=300，
∴AC=600.
故答案为600.
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
三、解答题（共9小题，满分86分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）根据二次根式的运算法则进行计算即可求解；
（2）根据二次根式性质，平方差公式进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
18. 已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由题意可证△ABE≌△CDF，可得结论．
【详解】证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
19. 先化简，再求代数式的值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
20. 已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？

【答案】7200元
【解析】
【分析】连接，在中，根据勾股定理得到长为5，根据勾股定理的逆定理得到为一直角三角形，，根据四边形由和构成，即可求解．
【详解】连接，
在中，，
在中，，
而，
即，
∴是直角三角形，，
∴
．
∴需费用（元）．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形．
21. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠DCA=∠CAB．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知易证∠DAC=∠ACB，根据平行线的判定可得，，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD是平行四边形．
【详解】证明：∵∠CAB+∠B+∠ACB=180°，∠DCA+∠D+∠CAD=180°，
又∵∠B=∠D，，
∴∠CAD=∠ACB，
∴，
∵∠DCA=∠CAB，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题主要平行线的判定，平行四边形的判定，三角形内角和定理，熟知平行线的判定是解题的关键．
22. 如图，在中，，，．
（1）求的长；
（2）若点为线段上一点，连接，且，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）设，则，在中，根据，即可求解．
【小问1详解】
解： 在中，，，
，
；
【小问2详解】
设，则．
在中，
，
，
解得，
．
23. 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：
解：由，解得：
∴，
∴原式=
（1）按照上面的解法，试化简．
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）己知a，b，c为的三边长，化简：．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式性质与化简、绝对值的性质、数轴、三角形的三边关系，
（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
（2）由a、b在数轴上位置判断出、，再利用二次根式的性质化简即可得；
（3）由三角形三边间的关系得出、，再利用二次根式的性质化简可得．
【小问1详解】
解：隐含条件，
解得：，
，即，
∴原式
；
【小问2详解】
解：观察数轴得隐含条件：，，，
∴，，
∴原式
；
【小问3详解】
解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
∴，，
∴原式
．
24. 如图，在ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF长度；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
【答案】（1）7；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据三线合一定理得到BD=5，利用勾股定理求出AD=12，然后根据∠CBE＝45°，得到△BDF是等腰直角三角形，即可得到DF=BD=5，由此求解即可；
（2）连接CF，在BF上截取BH=EF，先证明△AEF≌△CHB（SAS），得到CH=AE，∠AEF=∠CHB，在证明△CEH是等腰三角形，然后证明∠CFB=90°，得到EF=FH=BH，再根据即可求证．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴，∠FDB=90°，
∴
又∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF=BD=5，
∴；
（2）如图所示，连接CF，在BF上截取BH=EF，
由（1）得∠DFB=∠DBF=45°，
∴∠EFA=∠HBC=45°，
又∵AF=BC，EF=BH，
∴△AEF≌△CHB（SAS），
∴CH=AE，∠AEF=∠CHB，
∵∠FEC+∠AEF=∠CHF+∠CHB=180°，
∴∠CEF=∠CHE，
∴△CEH是等腰三角形，
∵△CFB中，FD⊥CB，BD=CD，
∴CF=BF，
∴∠FBC=∠FCB=45°，
∴∠CFD=∠BFD=45°，
∴∠CFB=90°，
∴EF=FH=BH，
在Rt△CFH中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进求解．
25. 如图，中，，为中点，点在直线上（点不与点，重合），连接，过点作交直线于点，连接F．
（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系 ；
（2）如图2，当点不与点重合时，求证：；
（3）若，，，求线段的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或1
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理．
（1）利用线段垂直平分线的性质证明即可．
（2）过点作交的延长线于点，连接．证明，结合勾股定理证明即可．
（3）分点在线段上，点在线段的延长线上
【小问1详解】
∵，D为中点，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
证明：如图所示，过点作交的延长线于点，连接．
∵，
∴，
∴，

∵为中点，
∴，
和中，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问3详解】
如图所示，当点在线段上时，设，

则．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图所示，当点在线段的延长线上时，
设，则．
∵，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，
当点在延长线上时，
∵，
∴不成立；
综上所述，的长为或1．