福建省厦门市集美区上塘中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：150分 练习时间：150分）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，“最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．”同时满足这两个条件就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故不符合题意；
B．是最简二次根式，故符合题意；
C．，被开方数含分母，不是最简二次根式，故不符合题意；
D．被开方数含能开的尽方的因式，不是最简二次根式，故不符合题意；
故选：B．
2. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【详解】根据题意得，
解得．
故选D．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
3. 已知正比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象是一条射线B. 图象必经过点
C. 图象经过第一、三象限D. y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可．
【详解】解：A、正比例函数，图象是一条直线，不符合题意；
B、当时，，图象不经过点，不符合题意；
C、，图象经过第一、三象限，符合题意；
D、，y随x的增大而增大，不符合题意．
故选：C．
4. 如图，矩形中，对角线交于点．若，则的长为（ ）
A. 4B. C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据矩形的性质，可得，结合，可得是等边三角形，由此即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选：．
5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 菱形的每一条对角线都能平分所在一组对角
D. 正方形的四条边都相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了逆命题．交换命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后根据四边形的判定与性质对四个逆命题的真假进行判断．
【详解】解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形的逆命题为平行四边形的两组对边分别相等，此逆命题为真命题，所以A选项不符合题意；
B．矩形的对角线相等且互相平分的逆命题为对角线相等且互相平分的四边形为矩形，此逆命题为真命题，所以B选项不符合题意；
C．菱形的每一条对角线都能平分所在一组对角的逆命题为每一条对角线都能平分所在一组对角的四边形是菱形，此逆命题为真命题，所以C选项不符合题意；
D．正方形的四条边都相等的逆命题为四条边相等的四边形为正方形，此逆命题为假命题，所以D选项符合题意；
故选：D
6. 一个直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 5或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，利用分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：①当3和4都为直角边时和②当4为斜边时，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：分类讨论：①当3和4都为直角边时，则第三边长是；
②当4为斜边时，则第三边长是．
故选D．
7. 如图，在中，，为边上高，点为的中点，连接．若的周长为20，则的周长为（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一得到，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：，为边上的高，
，
的周长为20，
，
，
在中，点为的中点，
，
的周长，
故选：A
8. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为( )
A. 75°B. 65°C. 45°D. 30°
【答案】A
【解析】
【详解】对图中的角进行标注，如图：
∵∠ACB=∠DFE=90°，
∴∠ACB+∠DFE=180°,
∴AC//DF，
∴∠2=∠A=45°，
∴∠1=∠2+∠D=45°+30°=75°，
故选A．
9. 如图，已知C、B两点对应的数字分别为1和，且点C是的中点，则点A表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．设点表示的数为，根据题意可知，则可列，求解即可．
【详解】解：、两点对应的数字分别为1和，且点是的中点，
，
设点表示的数为，
则，
解得：，
故选：B
10. 如图，在等腰和等腰，，，为的中点，则线段的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取AB的中点G，接DG，CG，过C作于点H，根据三角形中位线的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：取AB得中点G，连接DG，CG，过点C作交AB延长线与H．
∵点D是AE的中点，点G是AB的中点，
∴AD = ED，AG=BG，
∴DG是的中位线，
∴DG=BE，
∵AB=BC=BE=2，
∴DG=1，BG=1，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴HG= BG +BH=2，
在中，
，
∵，
∴，
∴当且仅当D、G、C三点共线时，线段CD取最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查勾股定理，关解题的键是根据三角形的中位线定理和勾股定理解答．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：（1）______；（2）______．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】本题考查算术平方根和分母有理化．掌握算术平方根的定义是解题关键．
（1）直接根据算术平方根的定义计算即可；
（2）根据算术平方根的定义结合分母有理化法则计算即可．
【详解】解：（1）．
故答案为：3 ；
（2）．
故答案为：．
12. 在中，若，则______．
【答案】##120度
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形相邻的两个角互补是解题关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_____．
【答案】4
【解析】
【详解】根据三角形的中位线定理，得：DE=BC=4
故答案为4．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为_____．
【答案】225
【解析】
【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
【详解】正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，
则AC2+BC2＝225，
即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225．
故答案为225．
【点睛】本题考查了勾股定理．关键是根据由勾股定理得AB2＝AC2+BC2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
15. 如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为_______cm．
【答案】2
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求得筷子在圆柱里面的最大长度，即cm，由此可求出筷子露在杯子外面的长度至少为多少.
【详解】解：如图所示，筷子、圆柱的高、圆柱的直径正好构成直角三角形，
∵圆柱杯子的底面半径为3cm，高为8cm，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm，
故答案为2．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的最大长度是解决问题的关键．
16. 如图，已知中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．若当与全等时，则点Q运动速度可能为______．

【答案】1厘米秒或1.6厘米秒．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．根据等边对等角可得，然后表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可．
【详解】解：，，点为的中点，
，
设点、的运动时间为，则，
①当时，，
解得：，
则，
故点的运动速度为：（厘米秒）；
②当时，，
，
（秒）．
故点的运动速度为（厘米秒）．
故答案为：1厘米秒或1.6厘米秒．
三、解答题（本大题有9题，共86分）
17. （1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）2
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）根据二次根式的乘除法法则计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值．正确的将分式化简是解题关键．先通分，再计算分式的除法进行化简，最后代入求值即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
19. 已知y是x的正比例函数，且当时，．
（1）求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）若点，在该函数图象上，试比较，的大小．
【答案】（1），函数图象见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法及正比例函数的图象和性质，熟知待定系数法及正比例函数的图象和性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再按要求画出函数图象即可．
（2）将和分别代入函数关系式即可解决问题．
【小问1详解】
设正比例函数的解析式为，
则，
解得，
所以这个正比例函数的解析式为．
函数图象如图所示，
【小问2详解】
将带有得，
；
将代入得，
；
因为，
所以．
20. 如图，在平行四边形中，，相交于点O，点E，F在上，且，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出，，推出，由证明，即可得出．
【详解】解：证明：四边形是平行四边形，
，，
∴，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
21. 自行车骑行爱好者小轩为备战中国国际自行车公开赛，积极训练．以下图象是他最近一次在深圳湾体育公园骑车训练，离家的距离与所用时间之间的关系，请根据图象回答下列问题：
（1）途中小轩共休息了______小时；
（2）小轩第一次休息后，骑行速度恢复到第1小时的速度，请求出目的地离家的距离是多少?
（3）小轩第二次休息后返回家时，速度和到达目的地前的最快车速相同，则全程最快车速是_____；
（4）已知小轩是早上7点离开家，请通过计算，求出小轩到家的时间．
【答案】（1）1.5 （2）
（3）20 （4）13时
【解析】
【分析】（1）根据图象回答即可；
（2）根据图象求出休息后通过的路程，然后加上休息前通过的路程即可；
（3）求出图中的最快车速即可得出答案；
（4）算出小轩回家用的时间，然后求出离开家的总时间，即可得出答案．
【小问1详解】
解：途中小轩共休息了：（小时）；
故答案为：1.5；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
答：目的地离家的距离是；
【小问3详解】
解：，
全程最快车速是，
故答案为：20；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴（时）
答：小轩到家的时间是13时．
【点睛】本题主要考查了根据函数图象获得信息回答问题，解题的关键是数形结合，理解题意．
22. 如图，在中，分别以点B，C为圆心，为半径画弧，两弧交点所在直线分别与和交于点D和点E，以点E为圆心，在射线上截取，连接，，，．
（1）四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由作图可知，，，加上已知条件，即可得出四边形是菱形．
（2）由垂直平分线的性质可得，点E为线段的中点，再证明为的中位线，最后利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：四边形是菱形．
理由∶由作图可知，直线为线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵直线为线段的垂直平分线，
∴，点E为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定，垂直平分线的性质，中位线的性质以及勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键．
23. 先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：1，，2；第二组：，2，；
第三组：，，；第四组：2，，；……
（1）根据各组数反映的规律，用含n的代数式表示第n组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，，若为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长？
【答案】（1），，
（2）直角三角形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了图形变化类和勾股定理，准确分析计算解题关键．
（1）根据已知数据找出规律即可得到结果；
（2）根据勾股定理判断即可；
（3）根据题意可得出这组数为第9组：，，，再根据勾股定理计算即可；
【小问1详解】
第一组：1，，2，
第二组：，2，，
第三组：，，，
第四组：2，，，
，
第组：，，；
【小问2详解】
直角三角形，理由：
为正整数，
，
以，，为三边的三角形是直角三角形；
【小问3详解】
设，，
为上列按已知方式排列顺序的某一组数，
，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，
这组数为第9组：，，，
即，，，
，
，
，，
．
24. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
【答案】（1）AG2=GE2+GF2，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根据BG=BN÷cs30°即可解决问题.
【详解】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF=GE，
在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，
∴AG2=GF2+GE2．
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．
∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，
∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，
∴∠AMN=30°，
∴AM=BM=2x，MN=x，
在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，
∴1=x2+（2x+x）2，
解得x=，
∴BN=，
∴BG=BN÷cs30°=．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足．平移OA至CB（点O与点C对应，点A与点B对应），连接OC，AB．
（1）填空： ， ，点B的坐标为 ；
（2）点D，E分别是OA，AB边上的动点，连接DC，DE，M，N分别为DC，DE的中点，连接MN．当D，E分别在OA，AB边上运动时，MN是否存在最小值？若存在，求出MN的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，将线段CO绕点C逆时针旋转90°至CF，连接OF．P为线段OF上一点，以CP为直角边作等腰直角三角形CPQ，其中．试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）6，4，（9，4）
（2）存在，
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件和绝对值的意义求解即可；
（2）连接CE，根据中位线定理可知MN=CE，当时，CE有最小值，根据三角形面积可求CE的值，即可求解；
（3）连接QF，可证△OCP≌△FCQ，得OP=QF，直角三角形QFP中，，可求解．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∴6-a=0，b-4=0，
∴a=6，b=4．
∴点B的坐标为(9，4)．
故答案为：6，4，（9，4）．
【小问2详解】
解：MN存在最小值，理由是：
连接CE，如图1，
∵M、N分别是CD、DE的中点，
∴MN=CE．
当时，CE有最小值，
∵C(3，4)，A(6，0)，
∴OA=6，AB=OC=5，
∴，
∴MN=．
【小问3详解】
解：连接QF，如图2，
由旋转可知，OC=OF，∠OCF=90°，∠O=∠CFO=45°．
∵△CPQ为等腰直角三角形CPQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=90°，∠QCP=45°，
∴∠OCF=∠PCQ，
∴∠OCF-∠PCF=∠PCQ-∠PCF，
即∠OCP=∠FCQ，
在△OCP和△FCQ中，

∴△OCP≌△FCQ（SAS），
∴OP=QF，
∠QFP=∠QFC+∠CFO=45°+45°=90°，
∴，
∵OP=QF，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中位线、勾股定理等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．