资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩5页未读，
继续阅读
山东省青岛市青岛实验初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
展开
这是一份山东省青岛市青岛实验初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含山东省青岛市青岛实验初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、山东省青岛市青岛实验初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
八年级数学试卷
（满分：120分 时间：120分钟）
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假设这个四边形中（ ）
A. 没有一个角是锐角
B. 每一个角都是钝角或直角
C. 至少有一个角是钝角或直角
D. 所有角都是锐角
【答案】D
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有角都是锐角．故选：D．
【点睛】本题考查反证法和四边形内角和，解题的关键是掌握反证法和四边形内角和.
3. 若，则下列不等式中不能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，依据性质即可进行判断．
【详解】A、-5＜-4，不等式两边同时加上k，即可得到k-5＜k-4，故选项正确；
B、由6＞5，根据不等式的性质，两边同时乘以k，k＜0，不等号的方向要改变得到6k＜5k，故选项错误；
C、3＞1，根据不等式的性质，两边同时加上-k，即可得到3-k＞1-k，故选项正确；
D、∵-＜-，根据不等式的性质，两边同时乘以k，而k＜0，不等号的方向改变，即可得到：，故选项正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意在不等式的左右两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向要改变．
4. 给出下列命题： 其中真命题的个数为（ ）
①在直角三角形中，已知两边长为5和12，则第三边长为13；
②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
③中，若，则是直角三角形；
④到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
①根据勾股定理求解，需要分类讨论；②根据即可证明；③由三角形内角和计算即可；
④角平分线性质定理逆定理：在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
【详解】解：①是假命题，因为两边长为5和12，第三边可能为或；
②真命题，因为锐角对应相等，直角对应相等，斜边对应相等，由即可证明；
③是真命题，因为，所以 ，∴是直角三角形；
④是假命题，因为缺少前提条件“在一个角内部（包括顶点）” ．
所以，真命题有2个，
故选：B．
5. 如果不等式组 的解集是，那么n的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组：一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
先解两个不等式得到和，然后根据同小取小可确定n的范围．
【详解】解：由，得，
根据已知条件，不等式组的解集为，
∴，
故选：A．
6. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点P顺时针方向旋转，得到，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为旋转中心点．
【详解】解：连接，，线段，的垂直平分线的交点即为旋转中心点．
由图知，旋转中心的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
7. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（ ）
A. 10B. 20C. 25D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．
【详解】解：由旋转的性质可得出，，，
过点作于点D，如图，
∴，
∴，
∴．
故选C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…，若点，,点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标规律变换，首先根据勾股定理求出长度，然后通过旋转发现，每偶数之间的B相差12个单位长度，纵坐标为4，根据这个规律可以求得的坐标．
【详解】解：∵
∴
∴，
∴的横坐标为：12，且，
∴的横坐标为：，
∵，
∴点的横坐标为：
又，
∴点的纵坐标为0，
∴．
故选：B．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
9. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否<18"为一次程序操作．
若输入x后，程序操作仅进行了一次就停止．则x的取值范围是____．
【答案】x<8
【解析】
【详解】解：依题意得：3x﹣6＜18，
解得x＜8．
故答案为：x<8．
10. 如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查图形的平移和旋转，等边三角形的判定和性质，线段的和差运算，掌握图形的平移，旋转的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
根据图形的平移可得，根据图形的旋转可得是等边三角形，，由此即可求解．
详解】解：∵将沿射线的方向平移，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：2．
11. 如图，中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】由角平分线的定义可得，由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：平分，
，
垂直平分，
，
，
，
，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
12. 出租车的收费标准是：起步价9元（即行驶距离不超过3千米都需付9元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收元（不足1千米按1千米计）．某同学从家乘出租车到学校，付了车费元．设该同学的家到学校的距离为x千米，则x的范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式求解是解题的关键．
已知该同学的家到学校共需支付车费元，从同学的家到学校的距离为x千米，首先去掉前3千米的费用，从而根据题意列出不等式，从而得出答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
13. 若不等式组有解，则k的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查已知不等式的解集求参数，根据求不等式组解集的方法“大中取大，小中取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的原则求解即可．
【详解】解：根据不等式组有解，可直接得出．
故答案为：．
14. 如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为__________根．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质．根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，进而即可求解．
【详解】解：∵添加的钢管长度都与相等，，
∴，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，第四个是，第五个是，第六个是，第七个是就不存在了．
所以一共有6根钢管．
故答案为：6．
15. 如图，的外角和的平分线、相交于点，于且，若的周长为，，则的面积为_________ ．
【答案】7.5
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
过点作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据三角形的面积求出，然后求出，再根据计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，
和的平分线、交于，，
，
，
，
解得，
的周长为，
，
，
．
故答案为：7.5．
16. 如图，等边三角形的边长为6，点O是的三边中垂线的交点也是三内角角平分线的交点，，绕点O旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为9．上述结论中正确的序号是 ____________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；由全等三角形可得，则可对②进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；由，可知：当最小时，周长最小，此时，由勾股定理得：，求出即可求得四边形周长的最小值为9，可对④进行判断．
【详解】解：连接、，过点作，如图，
为等边三角形，
，
点是的中心，
，、分别平分和，
，即，
而，即，
，且，，
，
，，所以①正确；
，
四边形的面积，所以③正确；
在绕点旋转的过程中，也在变化，
不成立，所以②错误；
在绕点旋转的过程中，始终有 ，
，，
，
∴当最小时，最小，周长最小，此时，
，
，即，
由勾股定理得：，
，∴
周长的最小值，
故④正确，∴正确有①③④
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理等，解题关键是熟练掌握全等三角形判定和性质及旋转性质等相关知识．
三、解答题：（共72分）
17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：如图，点A是平面直角坐标系x轴上的一点．
求作：点P，使点P在第一象限内，点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离最近．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，掌握角平分线的性质以及点到直线的距离的定义是解答本题的关键．
根据角平分线的性质以及点到直线的距离的定义解答即可．
【详解】解：如图所示，作第一象限的角平分线，再过点作于点，
点就是所要求作的点．
18. 如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为．
（1）平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；
（2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出；
（3）与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）（－3，1）
【解析】
【分析】（1）利用点和点的坐标特征得到平移的方向和距离，然后利用此规律得到、的坐标，然后顺次连接即可；
（2）根据关于原点对称点的性质分别得到、、的坐标，然后顺次连接即可；
（3）如图，连接、、，则、、都经过点，故可知点为对称中心，再根据坐标系写出坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：如图，可知与关于点成中心对称，
故答案为：（－3，1）．
【点睛】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，中心对称，利用条件准确得到对应点的位置是解题的关键．
19. （1）、 解不等式，并在数轴上表示其解集．
（2）、 解不等式，并写出它的最小整数解．
（3）、解不等式组 ，并写出它的整数解．
【答案】（1），数轴表示解集见详解；（2），最小整数解为0；（3），整数解为．
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，掌握“解不等式与不等式组的步骤与方法”是解本题的关键．
（1）直接去括号，移项，合并同类项，系数化1，注意变号，再在数轴上表示出；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，注意变号，最后写出它的最小整数解；
（3）分别计算两个不等式，两个不等式的解集公共部分就是不等式组的解集，再写出整数解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
解得：，
∴原不等式的解集为：．
数轴表示为：
（2）解：
，
，
，
解得：，
∴原不等式的解集为：，
∴最小整数解为0．
（3）解：
解①得：，
解②得：，
∴ 原不等式组的解集为：，
∴整数解为．
20. 已知：如图为的高，为上一点交于且有，．
（1）问与的数量和位置关系分别是什么？并说明理由．
（2）直接写出 的度数．
【答案】（1），，理由见详解
（2）的度数是
【解析】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键．
（1）由已知得，由，，，根据“”证明 ，得，所以，则；
（2）由全等三角形的性质得，而，所以．
【小问1详解】
证明：，，
理由：由已知得，
为的高，
于点，
，
在和中，
，
∴，
，
，
．
小问2详解】
的度数是，
理由：由（1）得，
，
，
．
21. 甲、乙两家商场以相同的价格出售同样的商品，为了促进消费，商场推出不同的优惠，甲商场的优惠方案：购物花费累计超过200元后，超出200元部分按付费；乙商场的优惠方案：购物花费按付费．若某顾客准备购买标价为元的商品．
（1）顾客到哪家商场购物花费少？写出说理过程；
（2）乙商场为了吸引顾客，采取了进一步的优惠方案：不超过1000元，仍按80%付费；超过1000元后，超出1000元部分按付费．甲商场没有调整优惠方案，请直接写出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围 ．
【答案】（1）当时，顾客在甲、乙商场购物花费相等；当时，顾客在甲商场购物花费少；当时，顾客在乙商场购物花费少；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及分类讨论等知识
（1）根据甲乙的促销方案表示出在甲乙两商场的花费列出不等式，分情况讨论，即可求解；
（2）时，由题意列出一元一次不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：在甲商场购买的优惠价元，
在乙商场购买的优惠价元，
，
解得：；
，
解得：；
∴当时，顾客在甲、乙商场购物花费相等；
当时，顾客在甲商场购物花费少；
当时，顾客在乙商场购物花费少；
【小问2详解】
（2）当时，由题意得，
解得，
由（1）得，当时，顾客在甲商场购物花费少；
∴当时，顾客在甲商场购物花费少．
故答案为：
22. 如图直线:经过点，．
（1）求直线的表达式；
（2）若直线与直线相交于点M，求点M的坐标；
（3）根据图像，直接写出关于x的不等式的解集；
（4）在直线上存在异于点M的另一点，使得的面积是的面积2倍，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）直线的表达式为；
（2）点的坐标为
（3）
（4）的坐标为或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）两解析式联立成方程组，解方程组即可求解；
（3）根据图象即可求解；
（4）与底边都是，根据的面积是面积的2倍，可得点的坐标．
【小问1详解】
解：由题意得，
解得，
直线的表达式为；
【小问2详解】
解：，得，
点的坐标为；
【小问3详解】
把代入得，，解得，
观察图象，关于的不等式的解集为；
【小问4详解】
与底边都是，的面积是面积的2倍，
高就是点到直线的距离的2倍，即纵坐标的绝对值，
点纵坐标是，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
的坐标为或．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式、数形结合是解题关键．
23. 某电器超市销售每台进价分别为140元、100元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价．
（2）若超市准备用不多于6500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过2850元的目标？若能，请给出相应的采购方案：若不能，请说明理由．
【答案】（1）A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为200元和150元
（2）A种型号的电风扇最多能采购37台
（3）能实现利润超过2850元的目标，相应方案有两种：方案一：购买A种型号的电风扇36台，购买B种型号的电风扇14台；方案二：购买A种型号的电风扇37台，购买B种型号的电风扇13台
【解析】
【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，列二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(50-a)台，利用超市准备用不多于6500元，列不等式，解不等式可得答案；
（3）由超市销售完这50台电风扇实现利润超过2850元，列不等式，结合（2）问，得到a的范围，由a为非负整数，从而可得答案．
【小问1详解】
设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元、y元．
根据题意有：，
解得：，
答：A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为200元和150元；
【小问2详解】
设购买A种型号的电风扇a台，则购买B种型号的电风扇(50-a)台，
根据题意有：，
解得：，
∵a为整数，
∴A种型号的电风扇最多能采购37台；
【小问3详解】
根据题意有，
解得：．
∵，且为整数，
∴a可取36和37，
∴能实现利润超过2850元的目标，且方案如下：
方案一：购买A种型号的电风扇36台，购买B种型号的电风扇14台；
方案二：购买A种型号的电风扇37台，购买B种型号的电风扇13台．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一元一次不等式组的应用的方案问题．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
24. 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90，BC=6cm,，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度运动，连结AD、AE，设运动时间为t秒．
（1）求AB的长；
（2）当t为多少时，△ABD的面积为6？
（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由（可在备用图中画出具体图形）．
【答案】（1）3cm（2）t=1或5（3）2或6
【解析】
【详解】试题分析：（1）运用勾股定理直接求出；
（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值；
（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．
试题解析：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴，∴AB=cm；
（2）过A作AF⊥BC交BC于点F，则AF=BC=3cm，∵S△ABD=6cm2，∴AF×BD=12，∴BD=4cm．
若D在B点右侧，则CD=2cm，t=1s；若D在B点左侧，则CD=10cm，t=5s；
（3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动6秒时，△ABD≌△ACE．理由如下：
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=6﹣2t∴t=6﹣2t∴t=2，∵AB=AC，∠B=∠ACE=45°，BD=CE，∴△ABD≌△ACE；
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=2t﹣6∴t=2t﹣6∴t=6，∵AB=AC，∠ABD=∠ACE=135°，BD=CE，∴△ABD≌△ACE．
考点：1．全等三角形的判定；2．等腰三角形的判定．
25. 【模型定义】
它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
【模型探究】
（1）如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，易证，则的度数为 ；
【模型应用】
（2）如图2，P为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接的度数是 ；如果，则 ；
（3）如图3，点P是等腰直角中内一点， ，且，，以为直角边构造等腰直角，点C为直角顶点，则的度数是是 ；的长为是 ；
【深化模型】
（4）如图4，C为线段上一动点（不与A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤⑥平分，恒成立的结论有 ．
【拓展提高】
（5）如图5，在中，，，若点是内一点，则的最小值为 ．
（6）如图6，，，则BD的长为 ．
【答案】（1）；（2）；（3），；（4）①②③⑤⑥；（5）；（6）
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识：
（1）根据等边三角形的性质得到，利用定理证明；根据全等三角形的性质得到∠，结合图形计算即可；
（2）由与都是等边三角形，得出，，，易证，由证得，得出，，则，推出，得出是直角三角形，得出，则，分别求出的面积即可得出结果．
（3）连接证明，得到，由勾股定理的逆定理可证，进而证明，
（4）①根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出．③先证明，即可判断出，③正确；②根据，可得为等边三角形，证出，得出，②正确．④没有条件证出，得出④错误；⑤，⑤正确；⑥根据全等三角形的性质、三角形面积公式求出，根据角平分线的判定定理可判断⑥其正误；
（5）根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到，再根据两点之间线段最短，可以得到的最小值就是的值，然后根据勾股定理可以求得的值，从而可以解答本题．
（6）根据已知可得是等腰直角三角形，所以将绕点A顺时针旋转，得到，则，证明是直角三角形，再利用勾股定理可求值．
【详解】解：（1）∵和均为等边三角形，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．，
∵为等边三角形，
∴．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
（2）∵与都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴
∴
作交于点
∵是等边三角形，
∴
∴
∴
∴；
故答案为：；
（3）如图，连接，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点P，点B，点D共线，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（4）解：∵和是等边三角形，
∴，
∴，
即．
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故②正确；
没有条件证出，④错误；
∵，
∴，
∴，
∴结论⑤正确．
过点C作于H，于G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故⑥正确，符合题意；
综上所述，正确的结论有①②③⑤⑥，
故答案为：①②③⑤⑥．
（5）解：以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、PP′，如图所示，
则，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值就是的值，
即的最小值就是的值，
∵，
∴，
又
∴，
∴，
故答案：．
（6）过点A作，且，连接，如图所示：
则是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，即，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：
销售时段
销售数量
销售收入/元
A种型号/台
B种型号/台
第1周
4
3
1250
第2周
5
5
1750
八年级数学试卷
（满分：120分 时间：120分钟）
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假设这个四边形中（ ）
A. 没有一个角是锐角
B. 每一个角都是钝角或直角
C. 至少有一个角是钝角或直角
D. 所有角都是锐角
【答案】D
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有角都是锐角．故选：D．
【点睛】本题考查反证法和四边形内角和，解题的关键是掌握反证法和四边形内角和.
3. 若，则下列不等式中不能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，依据性质即可进行判断．
【详解】A、-5＜-4，不等式两边同时加上k，即可得到k-5＜k-4，故选项正确；
B、由6＞5，根据不等式的性质，两边同时乘以k，k＜0，不等号的方向要改变得到6k＜5k，故选项错误；
C、3＞1，根据不等式的性质，两边同时加上-k，即可得到3-k＞1-k，故选项正确；
D、∵-＜-，根据不等式的性质，两边同时乘以k，而k＜0，不等号的方向改变，即可得到：，故选项正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意在不等式的左右两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向要改变．
4. 给出下列命题： 其中真命题的个数为（ ）
①在直角三角形中，已知两边长为5和12，则第三边长为13；
②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
③中，若，则是直角三角形；
④到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
①根据勾股定理求解，需要分类讨论；②根据即可证明；③由三角形内角和计算即可；
④角平分线性质定理逆定理：在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
【详解】解：①是假命题，因为两边长为5和12，第三边可能为或；
②真命题，因为锐角对应相等，直角对应相等，斜边对应相等，由即可证明；
③是真命题，因为，所以 ，∴是直角三角形；
④是假命题，因为缺少前提条件“在一个角内部（包括顶点）” ．
所以，真命题有2个，
故选：B．
5. 如果不等式组 的解集是，那么n的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组：一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
先解两个不等式得到和，然后根据同小取小可确定n的范围．
【详解】解：由，得，
根据已知条件，不等式组的解集为，
∴，
故选：A．
6. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点P顺时针方向旋转，得到，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为旋转中心点．
【详解】解：连接，，线段，的垂直平分线的交点即为旋转中心点．
由图知，旋转中心的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
7. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（ ）
A. 10B. 20C. 25D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．
【详解】解：由旋转的性质可得出，，，
过点作于点D，如图，
∴，
∴，
∴．
故选C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…，若点，,点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标规律变换，首先根据勾股定理求出长度，然后通过旋转发现，每偶数之间的B相差12个单位长度，纵坐标为4，根据这个规律可以求得的坐标．
【详解】解：∵
∴
∴，
∴的横坐标为：12，且，
∴的横坐标为：，
∵，
∴点的横坐标为：
又，
∴点的纵坐标为0，
∴．
故选：B．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
9. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否<18"为一次程序操作．
若输入x后，程序操作仅进行了一次就停止．则x的取值范围是____．
【答案】x<8
【解析】
【详解】解：依题意得：3x﹣6＜18，
解得x＜8．
故答案为：x<8．
10. 如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查图形的平移和旋转，等边三角形的判定和性质，线段的和差运算，掌握图形的平移，旋转的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
根据图形的平移可得，根据图形的旋转可得是等边三角形，，由此即可求解．
详解】解：∵将沿射线的方向平移，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：2．
11. 如图，中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】由角平分线的定义可得，由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：平分，
，
垂直平分，
，
，
，
，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
12. 出租车的收费标准是：起步价9元（即行驶距离不超过3千米都需付9元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收元（不足1千米按1千米计）．某同学从家乘出租车到学校，付了车费元．设该同学的家到学校的距离为x千米，则x的范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式求解是解题的关键．
已知该同学的家到学校共需支付车费元，从同学的家到学校的距离为x千米，首先去掉前3千米的费用，从而根据题意列出不等式，从而得出答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
13. 若不等式组有解，则k的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查已知不等式的解集求参数，根据求不等式组解集的方法“大中取大，小中取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的原则求解即可．
【详解】解：根据不等式组有解，可直接得出．
故答案为：．
14. 如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为__________根．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质．根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，进而即可求解．
【详解】解：∵添加的钢管长度都与相等，，
∴，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，第四个是，第五个是，第六个是，第七个是就不存在了．
所以一共有6根钢管．
故答案为：6．
15. 如图，的外角和的平分线、相交于点，于且，若的周长为，，则的面积为_________ ．
【答案】7.5
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
过点作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据三角形的面积求出，然后求出，再根据计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，
和的平分线、交于，，
，
，
，
解得，
的周长为，
，
，
．
故答案为：7.5．
16. 如图，等边三角形的边长为6，点O是的三边中垂线的交点也是三内角角平分线的交点，，绕点O旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为9．上述结论中正确的序号是 ____________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；由全等三角形可得，则可对②进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；由，可知：当最小时，周长最小，此时，由勾股定理得：，求出即可求得四边形周长的最小值为9，可对④进行判断．
【详解】解：连接、，过点作，如图，
为等边三角形，
，
点是的中心，
，、分别平分和，
，即，
而，即，
，且，，
，
，，所以①正确；
，
四边形的面积，所以③正确；
在绕点旋转的过程中，也在变化，
不成立，所以②错误；
在绕点旋转的过程中，始终有 ，
，，
，
∴当最小时，最小，周长最小，此时，
，
，即，
由勾股定理得：，
，∴
周长的最小值，
故④正确，∴正确有①③④
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理等，解题关键是熟练掌握全等三角形判定和性质及旋转性质等相关知识．
三、解答题：（共72分）
17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：如图，点A是平面直角坐标系x轴上的一点．
求作：点P，使点P在第一象限内，点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离最近．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，掌握角平分线的性质以及点到直线的距离的定义是解答本题的关键．
根据角平分线的性质以及点到直线的距离的定义解答即可．
【详解】解：如图所示，作第一象限的角平分线，再过点作于点，
点就是所要求作的点．
18. 如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为．
（1）平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；
（2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出；
（3）与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）（－3，1）
【解析】
【分析】（1）利用点和点的坐标特征得到平移的方向和距离，然后利用此规律得到、的坐标，然后顺次连接即可；
（2）根据关于原点对称点的性质分别得到、、的坐标，然后顺次连接即可；
（3）如图，连接、、，则、、都经过点，故可知点为对称中心，再根据坐标系写出坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：如图，可知与关于点成中心对称，
故答案为：（－3，1）．
【点睛】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，中心对称，利用条件准确得到对应点的位置是解题的关键．
19. （1）、 解不等式，并在数轴上表示其解集．
（2）、 解不等式，并写出它的最小整数解．
（3）、解不等式组 ，并写出它的整数解．
【答案】（1），数轴表示解集见详解；（2），最小整数解为0；（3），整数解为．
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，掌握“解不等式与不等式组的步骤与方法”是解本题的关键．
（1）直接去括号，移项，合并同类项，系数化1，注意变号，再在数轴上表示出；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，注意变号，最后写出它的最小整数解；
（3）分别计算两个不等式，两个不等式的解集公共部分就是不等式组的解集，再写出整数解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
解得：，
∴原不等式的解集为：．
数轴表示为：
（2）解：
，
，
，
解得：，
∴原不等式的解集为：，
∴最小整数解为0．
（3）解：
解①得：，
解②得：，
∴ 原不等式组的解集为：，
∴整数解为．
20. 已知：如图为的高，为上一点交于且有，．
（1）问与的数量和位置关系分别是什么？并说明理由．
（2）直接写出 的度数．
【答案】（1），，理由见详解
（2）的度数是
【解析】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键．
（1）由已知得，由，，，根据“”证明 ，得，所以，则；
（2）由全等三角形的性质得，而，所以．
【小问1详解】
证明：，，
理由：由已知得，
为的高，
于点，
，
在和中，
，
∴，
，
，
．
小问2详解】
的度数是，
理由：由（1）得，
，
，
．
21. 甲、乙两家商场以相同的价格出售同样的商品，为了促进消费，商场推出不同的优惠，甲商场的优惠方案：购物花费累计超过200元后，超出200元部分按付费；乙商场的优惠方案：购物花费按付费．若某顾客准备购买标价为元的商品．
（1）顾客到哪家商场购物花费少？写出说理过程；
（2）乙商场为了吸引顾客，采取了进一步的优惠方案：不超过1000元，仍按80%付费；超过1000元后，超出1000元部分按付费．甲商场没有调整优惠方案，请直接写出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围 ．
【答案】（1）当时，顾客在甲、乙商场购物花费相等；当时，顾客在甲商场购物花费少；当时，顾客在乙商场购物花费少；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及分类讨论等知识
（1）根据甲乙的促销方案表示出在甲乙两商场的花费列出不等式，分情况讨论，即可求解；
（2）时，由题意列出一元一次不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：在甲商场购买的优惠价元，
在乙商场购买的优惠价元，
，
解得：；
，
解得：；
∴当时，顾客在甲、乙商场购物花费相等；
当时，顾客在甲商场购物花费少；
当时，顾客在乙商场购物花费少；
【小问2详解】
（2）当时，由题意得，
解得，
由（1）得，当时，顾客在甲商场购物花费少；
∴当时，顾客在甲商场购物花费少．
故答案为：
22. 如图直线:经过点，．
（1）求直线的表达式；
（2）若直线与直线相交于点M，求点M的坐标；
（3）根据图像，直接写出关于x的不等式的解集；
（4）在直线上存在异于点M的另一点，使得的面积是的面积2倍，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）直线的表达式为；
（2）点的坐标为
（3）
（4）的坐标为或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）两解析式联立成方程组，解方程组即可求解；
（3）根据图象即可求解；
（4）与底边都是，根据的面积是面积的2倍，可得点的坐标．
【小问1详解】
解：由题意得，
解得，
直线的表达式为；
【小问2详解】
解：，得，
点的坐标为；
【小问3详解】
把代入得，，解得，
观察图象，关于的不等式的解集为；
【小问4详解】
与底边都是，的面积是面积的2倍，
高就是点到直线的距离的2倍，即纵坐标的绝对值，
点纵坐标是，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
的坐标为或．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式、数形结合是解题关键．
23. 某电器超市销售每台进价分别为140元、100元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价．
（2）若超市准备用不多于6500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过2850元的目标？若能，请给出相应的采购方案：若不能，请说明理由．
【答案】（1）A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为200元和150元
（2）A种型号的电风扇最多能采购37台
（3）能实现利润超过2850元的目标，相应方案有两种：方案一：购买A种型号的电风扇36台，购买B种型号的电风扇14台；方案二：购买A种型号的电风扇37台，购买B种型号的电风扇13台
【解析】
【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，列二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(50-a)台，利用超市准备用不多于6500元，列不等式，解不等式可得答案；
（3）由超市销售完这50台电风扇实现利润超过2850元，列不等式，结合（2）问，得到a的范围，由a为非负整数，从而可得答案．
【小问1详解】
设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元、y元．
根据题意有：，
解得：，
答：A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为200元和150元；
【小问2详解】
设购买A种型号的电风扇a台，则购买B种型号的电风扇(50-a)台，
根据题意有：，
解得：，
∵a为整数，
∴A种型号的电风扇最多能采购37台；
【小问3详解】
根据题意有，
解得：．
∵，且为整数，
∴a可取36和37，
∴能实现利润超过2850元的目标，且方案如下：
方案一：购买A种型号的电风扇36台，购买B种型号的电风扇14台；
方案二：购买A种型号的电风扇37台，购买B种型号的电风扇13台．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一元一次不等式组的应用的方案问题．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
24. 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90，BC=6cm,，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度运动，连结AD、AE，设运动时间为t秒．
（1）求AB的长；
（2）当t为多少时，△ABD的面积为6？
（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由（可在备用图中画出具体图形）．
【答案】（1）3cm（2）t=1或5（3）2或6
【解析】
【详解】试题分析：（1）运用勾股定理直接求出；
（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值；
（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．
试题解析：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴，∴AB=cm；
（2）过A作AF⊥BC交BC于点F，则AF=BC=3cm，∵S△ABD=6cm2，∴AF×BD=12，∴BD=4cm．
若D在B点右侧，则CD=2cm，t=1s；若D在B点左侧，则CD=10cm，t=5s；
（3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动6秒时，△ABD≌△ACE．理由如下：
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=6﹣2t∴t=6﹣2t∴t=2，∵AB=AC，∠B=∠ACE=45°，BD=CE，∴△ABD≌△ACE；
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=2t﹣6∴t=2t﹣6∴t=6，∵AB=AC，∠ABD=∠ACE=135°，BD=CE，∴△ABD≌△ACE．
考点：1．全等三角形的判定；2．等腰三角形的判定．
25. 【模型定义】
它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
【模型探究】
（1）如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，易证，则的度数为 ；
【模型应用】
（2）如图2，P为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接的度数是 ；如果，则 ；
（3）如图3，点P是等腰直角中内一点， ，且，，以为直角边构造等腰直角，点C为直角顶点，则的度数是是 ；的长为是 ；
【深化模型】
（4）如图4，C为线段上一动点（不与A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤⑥平分，恒成立的结论有 ．
【拓展提高】
（5）如图5，在中，，，若点是内一点，则的最小值为 ．
（6）如图6，，，则BD的长为 ．
【答案】（1）；（2）；（3），；（4）①②③⑤⑥；（5）；（6）
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识：
（1）根据等边三角形的性质得到，利用定理证明；根据全等三角形的性质得到∠，结合图形计算即可；
（2）由与都是等边三角形，得出，，，易证，由证得，得出，，则，推出，得出是直角三角形，得出，则，分别求出的面积即可得出结果．
（3）连接证明，得到，由勾股定理的逆定理可证，进而证明，
（4）①根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出．③先证明，即可判断出，③正确；②根据，可得为等边三角形，证出，得出，②正确．④没有条件证出，得出④错误；⑤，⑤正确；⑥根据全等三角形的性质、三角形面积公式求出，根据角平分线的判定定理可判断⑥其正误；
（5）根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到，再根据两点之间线段最短，可以得到的最小值就是的值，然后根据勾股定理可以求得的值，从而可以解答本题．
（6）根据已知可得是等腰直角三角形，所以将绕点A顺时针旋转，得到，则，证明是直角三角形，再利用勾股定理可求值．
【详解】解：（1）∵和均为等边三角形，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．，
∵为等边三角形，
∴．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
（2）∵与都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴
∴
作交于点
∵是等边三角形，
∴
∴
∴
∴；
故答案为：；
（3）如图，连接，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点P，点B，点D共线，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（4）解：∵和是等边三角形，
∴，
∴，
即．
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故②正确；
没有条件证出，④错误；
∵，
∴，
∴，
∴结论⑤正确．
过点C作于H，于G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故⑥正确，符合题意；
综上所述，正确的结论有①②③⑤⑥，
故答案为：①②③⑤⑥．
（5）解：以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、PP′，如图所示，
则，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值就是的值，
即的最小值就是的值，
∵，
∴，
又
∴，
∴，
故答案：．
（6）过点A作，且，连接，如图所示：
则是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，即，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：
销售时段
销售数量
销售收入/元
A种型号/台
B种型号/台
第1周
4
3
1250
第2周
5
5
1750
相关试卷
山东省青岛市崂山区崂山区实验学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）： 这是一份山东省青岛市崂山区崂山区实验学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含山东省青岛市崂山区崂山区实验学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题原卷版docx、山东省青岛市崂山区崂山区实验学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
山东省青岛市胶州市瑞华实验初级中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）： 这是一份山东省青岛市胶州市瑞华实验初级中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含山东省青岛市胶州市瑞华实验初级中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题原卷版docx、山东省青岛市胶州市瑞华实验初级中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
山东省青岛市胶州十中2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）： 这是一份山东省青岛市胶州十中2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含精品解析山东省青岛市胶州十中2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题原卷版docx、精品解析山东省青岛市胶州十中2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
