山东省青岛市崂山区崂山区实验学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式的解法，根据解不等式的性质求解即可求得答案．
【详解】解：，
．
故选：C．
2. 等腰三角形一个外角为，则它的顶角为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．分别从：①若是等腰三角形顶角的外角，②若是等腰三角形底角的外角，去分析，即可求得答案．
【详解】解：①若是等腰三角形顶角的外角，则它的顶角的度数为：；
②若是等腰三角形底角的外角，则它的底角的度数为：；
它的顶角为：，
故它的顶角的度数为：或．
故选：D．
3. 若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据不等式的基本性质逐一进行判断即可．
【详解】解：、，，本选项不符合题意；
、，，本选项不符合题意；
、，，本选项不符合题意；
、，，本选项符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，是解答本题的关键．
4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A. 的三条中线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点D. 三边的中垂线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴三条角平分线的交点到三边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点，
故选B．
5. 如图，已知．能直接判断的方法是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形全等的判定定理解答.
【详解】在△ABC和△DCB中，
,
∴(SAS),
故选：A.
【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键.
6. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（ ）
A. 15B. 30C. 45D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质、基本作图，过点作于，根据题意可知平分，由角平分线的性质得出，再由三角形的面积公式可得出结论．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于．
由题意可知：平分，
∵，，即，
∴，
∵，
∴的面积，
故选：B．
7. 如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠CBD=60°．
∵将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，
∴∠A=∠DBE=∠EBC=30°．
∵∠EBC=∠DBE，∠BCE=∠BDE=90°，BE=BE，
∴△BCE≌△BDE．
∴CE=DE．
∵AC=6，∠A=30°，
∴BC=AC×tan30°=2．
∵∠CBE=30°．
∴CE= BC×tan30°=2．即DE=2．
故选D．
考点：1．勾股定理2．解直角三角形
8. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）．
A. x>3B. x<1C. x>1D. x<3
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴点，
观察图象可得当时，，
即不等式的解集为．
故选
9. 等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论．
分为两种情况：①高在内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高在外时，求出，根据平角的定义求出即可．
【详解】解：①如图，
是的高，，，
，
②如图，
是边 上的高，，
，
，
综上所述，这个等腰三角形的顶角等于或．
故选：C．
10. 已知中，，，直角顶点P是中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下结论：①；②和可以分别看作由和绕点P顺时针方向旋转得到的；③是等腰直角三角形；④． 其中始终成立的有（ ）

A. ②③④B. ①②C. ②③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明，，然后逐项进行判断即可．
【详解】解：①∵中，，，点P是中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∵、不是定值，
∴不是定值，
∵为定值，
∴不一定与相等，故①错误；
②∵，，，
∴和可以分别看作由和绕点P顺时针方向旋转得到，故②正确；
③∵，，
∴等腰直角三角形，故③正确；
④∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，故④正确；
综上分析可知，②③④正确，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形面积的计算，解题的关键是证明，．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11. 不等式9﹣3x＞0的非负整数解是_____．
【答案】0、1、2
【解析】
【分析】首先移项，然后化系数为1即可求出不等式的解集，最后取非负整数即可求解．
【详解】解：9﹣3x＞0，
∴﹣3x＞﹣9，
∴x＜3，
∴x的非负整数解是0、1、2．
故答案为0、1、2．
12. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______．
【答案】若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等
【解析】
【分析】根据逆命题的定义，若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等即可．
【详解】解：命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等，
故答案为：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等．
【点睛】本题考查命题概念，弄清楚命题的条件和结论是写出逆命题的关键．
13. 小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买________支钢笔．
【答案】13
【解析】
【详解】解：设小明一共买了x本笔记本，y支钢笔，
根据题意，可得，可求得y≤
因为y为正整数，所以最多可以买钢笔13支．
故答案为：13．
14. 在ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝6cm，则BC＝______cm
【答案】3
【解析】
【分析】先根据已知和三角形内角和定理求出、，根据含30度角直角三角形性质求出即可．
【详解】解：，，
，，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出、的度数和得出．
15. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到，连接，则的周长为________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据平移的性质得，，，则可计算，则，可判断为等边三角形，继而可求得的周长．
【详解】平移两个单位得到的，
，，
，，
，，
，
又，
，
是等边三角形，
的周长为．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
16. 如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD=∠CBD，根据角平分线的性质得出AD=DP=3，即可得出选项．
【详解】
解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠C+∠CBD=90°，
∵∠A=90°
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∵∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP=AD，
∵AD=3，
∴DP的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP⊥BC时，DP的长度最小，是解题的关键．
17. 如图，直角三角形中，，，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到直角三角形，与交于点，且，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．同时考查了梯形的面积公式．解题的关键是熟知平移的基本性质．
根据平移的性质可得，则阴影部分的面积梯形的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案．
【详解】解：∵沿的方向平移距离得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
即图中阴影部分的面积为8．
故答案为：8．
三、作图题（5分）
18. 如图，有分别过A、B两个加油站的公路相交于点O，现准备在内部建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且点P到两条公路的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析
【解析】
【分析】足到A、B两个加油站的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，到两条公路的距离也相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可．
【详解】解：如图实数，作线段的垂直平分线交的角平分线于点P，则点P即为所求．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
四、解答题
19. 解下列不等式，并把第一题的解集在数轴上表示出来
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1），数轴表示见解析
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集．
（1）根据解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．进行求解即可，然后在数轴上表示该解集；
（2）根据解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1．进行求解即可；
（3）根据解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．进行求解即可；
（4）根据解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1．进行求解即可．
【小问1详解】
解：
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
该解集在数轴上表示为：
【小问2详解】
解：
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
【小问3详解】
解：
去分母，得，
去括号，得
移项，得，
合并同类项，得；
【小问4详解】
解：
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
20. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可打几折？
【答案】至多可打八八折
【解析】
【分析】根据公式：利润率=利润÷进价×100%，设至多可打x折，即可列出不等式，求出不等式的解集即可完成．
详解】解：设至多可打x折，
由题意得：
解得：
答：至多可打八八折．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，熟练掌握利润率公式：利润率=利润÷进价×100%，是解题关键．
21. 小明在做作业时，不小心将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“如图，点、在的边上，，求证：”
请你为本题设置一个条件，将它补充成一道完整的证明题，并证明它．

【答案】添加的条件为，证明见解析
【解析】
【分析】若添加的条件为，原题补充为完整的证明题，证明如下，由，利用等边对等角得到，再由得到，利用等角的补角相等得到，最后利用可得出，利用全等三角形的对应边相等可得出．
【详解】解：若添加的条件为，
题为：如图，点、在的边上，，，
求证：，
证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△DAE≌△CFE；
（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE；
（2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代换得到AB=BC+CF，即AB=BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论．
【详解】证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由（1）知△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF，
∵AB＝BC+AD，
∴AB＝BC+CF，
即AB＝BF，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SSS），
∴∠AEB＝∠FEB＝90°，
∴BE⊥AF.
【点睛】主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质．
23. 如表是朝阳店3月份某天销售A，B两种小商品的帐目记录．某店某天销售A，B两种小商品的帐目记录表
（1）求A，B两种商品的售价；
（2）若A的进价为14元/件，B的进价为12元/件，某天共卖出两种商品40件，且两者总利润不低于210元，则至少销售A商品多少件？
【答案】（1）A种商品的售价为20元，B种商品的售价为16元；
（2）至少销售A商品25件
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出方程组和不等式．
（1）设A种商品的售价为x元，B种商品的售价为y元，根据表格列方程组，可解得A种商品的售价为20元，B种商品的售价为16元；
（2）设销售A商品m件，根据两者总利润不低于210元得：，解得至少销售A商品25件；
【小问1详解】
解：设A种商品的售价为x元，B种商品的售价为y元，
根据表格可得： ，
解得 ，
答：A种商品的售价为20元，B种商品的售价为16元；
【小问2详解】
解：设销售A商品m件，则销售B商品件，
根据题意得：，
解得，
答：至少销售A商品25件．
24. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”．
（1）已知分式，则______的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，
∴．
请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”．
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______；
②用发现的规律解决问题：
若是的“关联分式”，求实数，的值．
【答案】（1）是 （2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）根据关联分式的定义进行判断；
（2）仿照题目中给到的方法进行求解；
（3）①根据（1）（2）找规律求解；
②由①推出的结论，类比形式求解即可.
【小问1详解】
解：∵-=，×=
∴是的“关联分式”
故答案为：是
【小问2详解】
解：设的“关联分式”为，则，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：①设的“关联分式”为，则，
∴，
∴．
故答案为：；
②由题意，可得，
整理得
解得．
【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键.
25. 如图①，分别以的边为边向外作等边、等边，连接，易证：（无需证明）；
探究：如图②，点A是线段上方的一个动点，分别以的边为直角边向外作等腰直角、等腰直角，且均以A点为直角顶点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，线段的最大值是______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，利用全等三角形的性质和两点之间线段最短求解是解答的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质证明，，，则，利用全等三角形的判定与性质证明即可得出结论；
（2）先利用等腰直角三角形的性质求得，再利用两点之间线段最短求得，当B、C、E共线时取等号，进而可求解．
【小问1详解】
证明：由等腰直角、等腰直角得，，，
则，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：在等腰直角中，，
∴,
∵，当B、C、E共线时取等号，
∴的最大值为，
∵，
∴线段的最大值是．
销售数量/件
总销售金额/元
A
B
第一天
20
10
560
第二天
15
15
540