山东省青岛市市北区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份山东省青岛市市北区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

说明：
本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；
第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分．
所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效
第I卷（共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1．已知a，b都是实数，且aA．a－2>b－2B．－a+2<－b+2C．6a<6bD．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是（ ）
A．－13D．x<－1或x≥3
4．在平面直角坐标系中，将点A（－1，2）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的点坐标为（ ）
A．（－4，0）B．（－4，5）C．（－3，－1）D．（－3，5）
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=52°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（ ）
A．142°B．132°C．119°D．109°
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60°B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60°D．每一个内角都大于60°
7．已知关于x的不等式组的解集是x>2，则a的取值范围是（ ）
A．a≤1B．a<1C．a≥1D．a<1
8．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上一点，BE=BA，过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论正确的为：（ ）
①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD=180°；③∠ABE=∠DAE；④BA+BC=2BF；
A．①②③B．①②③④C．①②④D．①③④
第Ⅱ卷（共96分）
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．a与2的差不大于5，用不等式表示为______．
10．请写出命题“如果ab=0，那么a=0，b=0”的逆命题：______；
并判断该逆命题的真假：______（填真或假）
11．如图，在△ABC中，BC=7cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，AC长13cm，则△BCE的周长等于______cm．
12．如图是测量一物体体积的过程：
步骤一：将180cm3的水装进一个容量为300cm3的杯子中；
步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出．
根据以上过程，请你推测一颗玻璃球的体积x（cm3）所在的范围是______．
13．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'BC，连接，若∠1=20°，则∠B的度数是_____°．
14．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则关于x的不等式2x>ax+4的解集为_____．
15．如图，点I为△ABC的∠A和∠B的角平分线的交点，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为_____．
16．风力发电是一种常见的环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个叶片，它们的底端重合、且每两个叶片夹角为120°，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知初始位置时其中一个叶片的外端点的坐标为A（5，5），在一段时间内，所有叶片同时每秒绕原点O顺时针转动45°，则第2023秒时，点A的对应点A2023的坐标为_____，点C的对应点C2023的坐标为_____．
三、作图题：（本题满分4分）
17．请利用直尺和圆规作图，不写作法，但保留作图痕迹．
如图，求作四边形ABCD内部的点P，使得PA=PB，并且点P到∠BCD两边的距离相等．
四、解答题（本题满分68分，共有7道小题）
18．（本题满分12分，第（1）题5分，第（2）题7分）
（1）解不等式，并把解集表示在所给的数轴上：3－x<2x+6．
（2）求不等式组的整数解．
19．（本题满分6分）
如图，小颖同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以△ABC为基本图形，绘制平面图形，请根据下列要求解答问题．
（1）△ABC绕点A逆时针旋转______度得到△AB1C1；
（2）在图中画出将△ABC关于点A中心对称后得到的△AB2C2．
（3）在以点A为原点，以AC所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中，若点B（2，2），请写出它的对称点B2的坐标为______．
20．（本题满分8分）
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AD=BC．求证：BD=AC．
以下是合作小组三名同学关于此题的讨论：
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC．”
小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC．”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明BD=AC．”
看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明．
21．（本题满分10分）
某健身俱乐部面向学生推出优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生健身x（次），按照方案一优惠后所需费用为y1（元），且y1=k1x+b；按照方案二优惠后所需费用为y2（元），且y2=k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明k1的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所付出的费用更少？请列式计算说明理由．
22．（本题满分10分）
如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=20cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向向点B运动，且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向向点A运动，且速度为每秒3cm．P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点则运动停止，设它们的运动时间为t秒．
（1）BP=______cm（用t的代数式表示）；
（2）当点Q在边BC上运动，且使△PQB是等腰三角形，求t的值；
（3）当点Q在边CA上运动时，是否存在某一时刻，点P恰好在线段AQ的垂直平分线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分10分）
某工厂计划六月生产甲，乙两种产品共900件，甲、乙两种产品的相关信息如下表：
（成品率=每月生产产品合格可销售的件数÷每月生产产品总的件数×100%）
若该工厂六月生产甲种产品x件，销售甲、乙两种产品的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式（不必写自变量的取值范围）；
（2）若该工厂六月计划生产的甲、乙两种产品的总成品率不低于92%，且销售利润最大，求此时的最大利润是多少元？
24．（本题满分12分）
提出问题：
如图1，点P为等边△ABC内部的一点，连接AP、BP、CP．当CP=6，BP=8，AP=10，△ABC的面积是多少？
探究问题：
探究（一）如图2，将AP绕点A顺时针旋转60°后得到，连接、．
则△APC与全等吗？请说明理由；
探究（二）如图2，将AP绕点A顺时针旋转60°后得到，连接、．
请判断是直角三角形吗？请说明理由．
提炼方法：
通过尝试你很容易发现：△ABP、△BCP可以作如△APC同样的旋转，这样的旋转可以帮助我们把已知数据6、8、10，转化为特殊三角形的边长，使我们有可能进行图形面积的计算了．
解决问题：
如图1，点P为等边△ABC内部的一点，连接AP、BP、CP．当CP=6，BP=8，AP=10，△ABC的面积是______．
2023－2024学年度第二学期期中质量调研
2023-2024学年度第二学期期中质量调研
八年级数学评分参考
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
三、作图题：
17．做法：
做AB中垂线
做∠BCD角平分线
取两线交点为点P
结论
∴点P即为所求
四、解答题：
18．（1）3－x<2x+6，
解：3－x－2x<6－3，－3x<3，x>－1．
（2）（2）
解：由①得3x－x+3≥1，2x≥1－3，2x≥－2，x≥－1
由②得2x+1>3x－3，2x－3x>－3－1，－x>－4，x<4
∴原不等式的解集为－1≤x<4．
满足条件的整数x的值是－1，0，1，2，3：
19．（1）90；
（2）
（3）（－2，－2）
20．
方法1：
∵AC⊥BC，BD⊥AD，∠D=∠C=90°．∴在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（AAS）∴AO=BO，DO=CO．∴AO+CO=BO+DO，即BD=AC．
方法2：
连接AB．∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D=∠C=90．
在Rt△ABD和Rt△BAC中，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）．∴BD=AC．
证明3：
连接AB．∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D=∠C=90．
∴在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（AAS），
∴S△AOD=S△BOC
∴S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB．即S△ABD=S△ABC．
又∵，，
∴∵AD=BC，∴BD=AC．
21．解：
（1）的图象过点和点，
的值为15，b的值为30．
的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元，
b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元．
（2）打折前的每次健身费用为（元）．
答：打折前的每次健身费用为25元，为20．
（3）方案一当时，；
选择方案一所需费用更少．
22．解：（1）；
（2）当点Q在边BC上运动，为等腰三角形时，则有．
，解得，此时点Q在AC上，
∴当点Q在边BC上运动时，△PQB是等腰三角形时无解．
（3）点在上运动，点恰好在垂直平分线上，
．
作于点，为的中垂线，
．
在Rt中，，则，
由勾股定理可知，
23．（1）根据题意得：y=90%x100+95%（900－x）80=14x+68400
∴y与x之间的函数关系式为y=14x+68400．
（2）∵该工厂下个月计划生产的甲、乙两种产品的总成品率不低于92%，
∴90%x+95%（900－x）≥900×92%解得x≤540，
在y=14x+68400中，k=14>0，y随x的增大而增大，
∴x=540时y最大为14×540+68400=75960
答：最大利润是75960元．
24．探究（一）
∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠BAC=60°
∵将AP绕点A顺时针旋转60°后得到，
∴，．∴
∴∠1+∠3=∠2+∠3=60°，∴∠1=∠2
又∵AC=AB，，∴．
探究（二）
是直角三角形
∵，∴为等边三角形∴
∵∴
∵BP=8∴在中，
∴∴是直角三角形
解决问题：
产品
每件利润（元／件）
成品率
甲
100
90%
乙
80
95%
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
A
C
D
C
A
B
9
10
11
12
a－2≤5
如果a－0，b=0，那么a+b=0
真
20
3013
14
15
16
65
x>1.5
4