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山东省青岛市李沧区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
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1. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措．2023年，中国新能源汽车产销量占全球比重超过，交出亮眼成绩单；下列新能源汽车标志是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则下列式子不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，点的坐标为，则a的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 0
4. 如图，直线经过点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为（ ）
A B. C. D.
6. 房梁的一部分如图所示，其中，，，点D是AB的中点，且，垂足为E，则AE的长是（ ）
A B. C. D.
7. 关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，将绕点A按顺时针方向旋转后得到，点P是y轴上任意一点，当的值最小时，则点P的坐标为（ ）
A B. C. D.
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________．
10. 一个关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集为______．
11. 如图，线段与相交于点O，且，分别将和平移到，的位置，若，则的长为______．
12. 风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______．
13. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为_______．
14. 已知关于x的方程的根是负数，则实数a的取值范围是______．
15. 国际航班免费托运行李箱的尺寸通常限制为长、宽、高三边之和不超过厘米．某厂家生产符合免费托运的行李箱，已知行李箱的高为厘米，长与宽的比为，则行李箱的宽的最大值为______厘米．
16. 如图，直线，的平分线与的平分线交于点P，与交于点M，若，，则的面积为______．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17. 已知：如图，∠MON及边ON上一点A．
求作：在内部的点P，使得，且点P到两边的距离相等．
四、解答题（本大题共8小题，共68分）
18. （1）解不等式：
（2）解不等式：；
（3）解不等式组：，并写出它的最小负整数解．
19. 是否存在实数x，使得，且？请说明理由．
20. 为深入践行绿色发展理念，引导师生尊重自然、爱护自然，在第46个植树节来临之际，某校组织师生积极开展了“植此青绿，共树未来”主题植树活动，学校决定用不超过1800元的费用购买甲、乙两种树苗共60棵，已知甲种树苗每棵36元，乙种树苗每棵25元，则学校最多可以购买多少棵甲种树苗？
21. 如图，在中，，，为上一点，交于点，且，连接，．请判断的形状，并说明理由．
22. 如图，在中，，，，动点D从点A出发以1的速度向点C运动；动点E同时从点C出发以2的速度向点B运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接DE，设运动时间为t秒．
（1）当时，求的面积；
（2）当t为何值时，为直角三角形？
23. 如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，．
（1）求证：是等边三角形；
（2）与有怎样的数量关系？请说明理由．
24. 2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售．B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元．
（1）A，B两种吉祥物每件售价各是多少？
（2）某爱心团队计划购买A种吉祥物送给特教学校的学生们作为新年礼物，且购买数量超过50个，购物中心给出两种优惠方案：
方案一：每个均按原售价的8折优惠；
方案二：前30个按原售价付款，超过30个的部分每个按原售价的5折优惠．
爱心团队选择哪种方案购买更合算？
（3）若购买A，B两种龙年吉祥物共60个，且购买A种的数量不多于B种的3倍，购买多少个A种龙年吉祥物花费最少？最少花费是多少？
25. 【定义新知】
给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．
例如：不等式P：是Q：的子集．
同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”．
例如：不等式组M：是不等式组N：子集．
【新知应用】
（1）请写出不等式的一个子集 ；
（2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）；
（3）若关于x不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ；
（4）若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为 ；
（5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 ．
1. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措．2023年，中国新能源汽车产销量占全球比重超过，交出亮眼成绩单；下列新能源汽车标志是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则下列式子不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，点的坐标为，则a的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 0
4. 如图，直线经过点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为（ ）
A B. C. D.
6. 房梁的一部分如图所示，其中，，，点D是AB的中点，且，垂足为E，则AE的长是（ ）
A B. C. D.
7. 关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，将绕点A按顺时针方向旋转后得到，点P是y轴上任意一点，当的值最小时，则点P的坐标为（ ）
A B. C. D.
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________．
10. 一个关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集为______．
11. 如图，线段与相交于点O，且，分别将和平移到，的位置，若，则的长为______．
12. 风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______．
13. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为_______．
14. 已知关于x的方程的根是负数，则实数a的取值范围是______．
15. 国际航班免费托运行李箱的尺寸通常限制为长、宽、高三边之和不超过厘米．某厂家生产符合免费托运的行李箱，已知行李箱的高为厘米，长与宽的比为，则行李箱的宽的最大值为______厘米．
16. 如图，直线，的平分线与的平分线交于点P，与交于点M，若，，则的面积为______．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17. 已知：如图，∠MON及边ON上一点A．
求作：在内部的点P，使得，且点P到两边的距离相等．
四、解答题（本大题共8小题，共68分）
18. （1）解不等式：
（2）解不等式：；
（3）解不等式组：，并写出它的最小负整数解．
19. 是否存在实数x，使得，且？请说明理由．
20. 为深入践行绿色发展理念，引导师生尊重自然、爱护自然，在第46个植树节来临之际，某校组织师生积极开展了“植此青绿，共树未来”主题植树活动，学校决定用不超过1800元的费用购买甲、乙两种树苗共60棵，已知甲种树苗每棵36元，乙种树苗每棵25元，则学校最多可以购买多少棵甲种树苗？
21. 如图，在中，，，为上一点，交于点，且，连接，．请判断的形状，并说明理由．
22. 如图，在中，，，，动点D从点A出发以1的速度向点C运动；动点E同时从点C出发以2的速度向点B运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接DE，设运动时间为t秒．
（1）当时，求的面积；
（2）当t为何值时，为直角三角形？
23. 如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，．
（1）求证：是等边三角形；
（2）与有怎样的数量关系？请说明理由．
24. 2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售．B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元．
（1）A，B两种吉祥物每件售价各是多少？
（2）某爱心团队计划购买A种吉祥物送给特教学校的学生们作为新年礼物，且购买数量超过50个，购物中心给出两种优惠方案：
方案一：每个均按原售价的8折优惠；
方案二：前30个按原售价付款，超过30个的部分每个按原售价的5折优惠．
爱心团队选择哪种方案购买更合算？
（3）若购买A，B两种龙年吉祥物共60个，且购买A种的数量不多于B种的3倍，购买多少个A种龙年吉祥物花费最少？最少花费是多少？
25. 【定义新知】
给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．
例如：不等式P：是Q：的子集．
同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”．
例如：不等式组M：是不等式组N：子集．
【新知应用】
（1）请写出不等式的一个子集 ；
（2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）；
（3）若关于x不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ；
（4）若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为 ；
（5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 ．
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