山东省青岛市西海岸新区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟；满分120分）
说明：
1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共14小题，90分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第I卷（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各数中，最小的数是( )
A. −2B. C. 0D. −
【答案】A
【解析】
【分析】根据实数的比较大小，即可找出最小的数．
【详解】解：∵−2＜−＜0＜
∴最小的数是−2
故选A．
【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握实数比较大小的方法是解决此题的关键．
2. 下列各点，在第二象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征；
根据四个象限的符号特点：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）逐项判断即可．
【详解】解：A.在第四象限，不符合题意；
B.在第一象限，不符合题意；
C.在第三象限，不符合题意；
D.在第二象限，符合题意；
故选：D．
3. 如图，，平分．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，由得到，由平分得到，由三角形内角和定理即可求出的度数，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：．
4. 2023年是全球第28个世界读书日．某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校八年级40名同学近3个月每人阅读的课外书数量，数据如下表所示：
则阅读的课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A. 5，5B. 13，5C. 4，15D. 4.5，15
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念．利用中位数，众数的定义即可解决问题．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：中位数为第20个和第21个的平均数为：，众数为5．
故选：A．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂、二次根式的运算法则和性质、立方根分别计算即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
6. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理，满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．
【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论，
∴能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是，
故选：．
7. 世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（ ）
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理应用，设湖水的深度尺，根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可，运用勾股定理列出方程是解题的关键．
【详解】解：设湖水的深度尺，则荷花的长为尺，
在直角三角形中，根据勾股定理得，，
解得，
故选：．
8. 如图，在中，，．按以下步骤尺规作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和的延长线于点，．②分别以，为圆心，同样的长为半径画弧，两弧交于点．③做射线．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了作角平分线以及三角形的外角性质，掌握基本作图是解题的关键．根据三角形的外角性质可得，由作图方法可得是的角平分线，从而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
故选：A．
9. 一次函数（，为常数）的部分对应值如下表：
则该一次函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．根据题意和一次函数的性质，可以解答本题．
【详解】解：∵一次函数（，为常数，且）的图象经过点，，
∴
解得
∴，
故选：C．
10. 一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点，与两坐标轴分别交于四个点．则下列结论：
①一元一次方程的解为；②；③方程组的解为；④四边形的面积为，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程 (组)关系，一次函数图象的性质，根据一次函数与方程(组)的关系逐一分析判断即可，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数与一次函数 在同一坐标系中，两条直线交于点，
∴一元一次方程的解为，，故正确；
由，解得，故错误；
∴一次函数为， ，
把代入得，，
∴，
∴，
∴方程组的解为，故正确；
∵一次函数为， ，
∴，，
∴四边形的面积，故正确；
∴正确的是，
故选：．
第II卷（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 81的平方根是_____．
【答案】±9
【解析】
【分析】直接根据平方根的定义填空即可．
【详解】解：∵（±9）2＝81，
∴81的平方根是±9．
故答案为：±9．
【点睛】本题考查了平方根，理解平方根的定义是解题的关键．
12. 为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占，“语言表达”占，“形象风度”占，“整体效果”占进行计算，小颖这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分．
【答案】87.4
【解析】
【分析】本题考查的是加权平均数的求法．根据加权平均数的定义列式计算可得．
【详解】解：她的最后得分是（分，
故答案为：87.4．
13. 如图，点为延长线上一点，要使，则可以添加的一个条件是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可求解．
【详解】解：依题意，添加
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
14. “翰墨凝书香执笔颂中华”．某校为了奖励在规范汉字书写大赛中表现突出的同学，购买了甲，乙两种奖品共100件，费用为1352元，其中，甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元．若设购买了x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据题意可列方程组________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题抽象出二元一次方程组．根据甲乙两种奖品共100件，可找到等量关系列出一个方程，再根据甲乙两种奖品的总价格找到一个等量关系列出一个方程，将两个方程组成一个二元一次方程组．
【详解】解：若设购买甲种奖品件，乙种奖品件，
甲．乙两种奖品共100件，所以，
因为甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，所以，
由上可得方程组：．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为________．
【答案】9.6
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用面积法进行计算，即可解答．
【详解】解：，，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
的面积，
，
，
解得：，
故答案为：9.6．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴正半轴上一点，点为第一象限内一点，若，则与之间的关系式为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形性质．作轴于点，可得，所以，即，即可得出答案．
【详解】解：如图，作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与之间的关系式为．
故答案为：．
三、作图题（本题满分4分）
17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：，点为的边上一点．
求作：直线，使．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，尺规作图—作与已知角相等的角，以O为圆心，任意长为半径画弧分别交于F、E，再以P为圆心，以的长为半径画弧交于D，接着以D为圆心，以的长为半径画弧交圆P于C，作直线，则直线即为所求．
【详解】解：如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧分别交于F、E，再以P为圆心，以的长为半径画弧交于D，接着以D为圆心，以的长为半径画弧交圆P于C，作直线，则直线即为所求．
四、解答题（本大题共7小题，共68分）
18. （）计算：；
（）计算：；
（）解方程组：；
（）解方程组：．
【答案】（）；（）；（）；（）．
【解析】
【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再合并即可；
（）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可得到结果；
（）利用加减消元法解答即可求解；
（）利用加减消元法解答即可求解；
本题考查了二次根式的运算，解二元一次方程组，掌握二次根式的性质及运算法则，解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】解：（）原式，
；
（）原式，
；
（）
得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴方程组解为；
（）
得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴方程组的解为．
19. 在平面直角坐标系中，已知点．
（1）若点在轴上，请直接写出点关于轴的对称点的坐标；
（2）若点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（）由题意可得，求出的值，进而可得出结论；
（）由题意可得，求出的值即可求点坐标；
本题考查了平面内点的坐标，掌握平面内点的坐标特点是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵点在轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点关于轴对称点的坐标为；
【小问2详解】
解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴或，
∴或，
∴或．
20. 已知：如图，D是的边上一点，，F是延长线上一点，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）10
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质以及勾股定理，
根据平行线的性质得到，结合题意有，即可判定平行；
根据平行线的性质和垂直的性质得到，利用勾股定理即可求得．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，，
∴．
21. 青岛是一座因海而生、向海而兴的城市，海洋是青岛高质量发展的战略要地，也是青岛最鲜明的特色．为普及海洋科学知识，探索海洋奥秘，启迪创新思维，激发科学兴趣，某校组织了海洋知识竞赛．下面是甲、乙两组学生（参赛人数相等）竞赛成绩的统计图表：
甲组竞赛成绩统计表
备注：
1．本次竞赛满分为10分；
2．得分情况只有7分、8分、9分、10分．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲组竞赛成绩统计表中a的值为______；
（2）补全条形统计图；
（3）经计算，乙组的平均分是8.3分，方差是1.51，请求出甲组的平均分、方差；并从平均分和方差两个角度综合分析哪个小组的竞赛成绩更好一些．
【答案】（1）2； （2）见解析；
（3）乙组的竞赛成绩更好．
【解析】
【分析】（1）根据乙组中得4分的人数及所占百分比求得甲组人数，从而即可求解；
（2）由乙组参加的人数，即可得8分的人数，完成条形统计图即可；
（3）求出甲组的平均分以及方差，通过与乙组进行比较，即可得到答案．
【小问1详解】
解：甲、乙两组的参赛人数都为：（人），
∴（人），
故答案：2；
【小问2详解】
解：（人），
乙组得8分的人数为3，
补充统计图如图2所示；
【小问3详解】
解：甲组的平均分为（分），
∴甲组的方差为
∵乙组的平均分是8.3分，方差是1.51，
∴乙组的方差小于甲组的方差，
∴可知乙组的竞赛成绩更好．
【点睛】本题主要考查了方差、平均数、条形统计图及扇形统计图等知识，解题关键在于看懂图中数据．
22. ，两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中，分别表示两人距地的距离与时间的关系，请结合图象解答下列问题：
（1）甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h；
（2）求点P的坐标，并写出点P的实际意义．
【答案】22. 30，20
23. 点的坐标为，其实际意义是甲、乙两人在出发后时相遇，这时距离地．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，写出变量之间的函数表达式是解题的关键．
（1）根据速度路程时间计算即可；
（2）分别求出图象，的关于的函数关系式，求出交点的坐标；点的横坐标表示二人相遇的时间，纵坐标表示相遇时距地的距离．
【小问1详解】
解：甲的速度为，乙的速度为，
故答案为：30，20；
【小问2详解】
解：当时，设图象的函数关系式为 、为常数，且，
当时，；当时，，
，解得，
图象的函数关系式为(时）；
当时，设图象的函数关系式为、为常数，且，
当时，；当时，，
，解得，
图象的函数关系式为；
当时，解得，
当时，，
点的坐标为，其实际意义是甲、乙两人在出发后时相遇，这时距离地．
23. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进个甲种型号头盔和个乙种型号头盔需要元；购进个甲种型号头盔和个乙种型号头盔需要元．
（1）甲，乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？
（2）若该商场分别以元/个、元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔共个，请写出销售收入（元）与销售的甲种型号头盔的数量（个）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，商场销售该批头盔的利润能否为元？若能，请写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）甲，乙两种型号头盔的进货单价分别元和元
（2）与之间的函数关系式为
（3）能，采购甲，乙两种型号头盔分别为个和个
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程组和函数关系式是解题的关键．
（1）设甲，乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）根据销售收入售价数量，分别计算甲、乙两种型号的头盔销售收入并求和即为；
（3）根据销售利润(售价进价)数量，分别计算甲、乙两种型号的头盔销售利润并求和就是总的销售利润，令其值为，若解得的值符合题意，说明商场销售该批头盔的利润可以达到元，并求出此时的值，否则，则不能．
【小问1详解】
解：设甲，乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元．
根据题意，得，
解得，
甲，乙两种型号头盔的进货单价分别元和元；
【小问2详解】
销售的乙种型号头盔的数量为个，
根据题意，得，
与之间的函数关系式为；
【小问3详解】
能．采购方案如下：
设商场销售该批头盔的利润为元，则，
当时，，
解得：，
(个)，
当采购甲，乙两种型号头盔分别为个和个．
24. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：①；②；任务2：③；④；⑤；任务3：⑥70
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式，列二元一次方程，求代数式的值，正确利用题干中的数量关系列出代数式是解题的关键．利用题意分别求得所需的正方形与长方形的个数，再列出方程，整理即可得出m，n的关系式，再将代入运算即可得出结论．
【详解】解：①∵横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，
∴m个横式无盖纸盒需要个正方形和个长方形，
故答案为：；
②∵竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形，
∴n个竖式无盖纸盒需要n个正方形和个长方形，
故答案为：；
③∵1张纸板可以裁成4个正方形，
∴个正方形需要张纸板．
故答案为：；
④∵1张纸板可以裁成3个长方形，
∴个长方形需要张纸板．
故答案为：；
⑤∵现将300张纸板裁剪成材料，
∴．
整理得：．
∴m，n之间满足的关系式为：．
故答案为：；
⑥若计划制作86个横式无盖纸盒，
∴时，，
∴（张）．
∴需要将70张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形，刚好满足要求．
故答案为：70．人数/人
5
13
15
7
课外书数量/本
3
4
5
8
x
…
0
1
2
…
y
…
1
2a
…
分数
7分
8分
9分
10分
人数
10
a
0
8
如何设计纸盒方案？
素材1
如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形．
素材2
（1）所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪--种材料．
（2）制作纸盒后没有剩余材料．
为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个．
问题解决
任务1
初探材料用量
1．完善下表：
纸盒类型
正方形（个数）
长方形（个数）
m个横式无盖纸盒
①
n个竖式无盖纸盒
n
②
任务2
再探关系
2．完善下表：
需裁成正方形
的纸板数（张）
需裁成长方形
的纸板数（张）
合计
③
④
300
3．写出m，n之间满足的关系式： ⑤
任务3
拟定方案
若计划制作86个横式无盖纸盒，则得要将 ⑥ 张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形，刚好满足要求．