山东省青岛市青岛通济实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份山东省青岛市青岛通济实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式的性质逐一分析判定即可．
【详解】解：A． 若，则，故该选项不成立，不符合题意；
B． 若，则，故该选项成立，符合题意；
C． 若， 时，有，故该选项不一定成立，不符合题意；试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。D． 若，则，故该选项不成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，正确运用不等式的性质是解题的关键．
3. 一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的周长为（ ）
A. 13 cmB. 17 cm
C. 7 cm或13 cmD. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，验证各种情况是否能构成三角形是解题的关键．题中没有指出哪个底哪个是腰，应该分情况进行分析，应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
【详解】解：当3cm是腰时，，不符合三角形三边关系，故舍去；
当7cm是腰时，周长．
故它的周长为17 cm．
故选：B．
4. 如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段CD，则点A的对应点C的坐标是（ ）
A. （1，﹣6）B. （﹣1，6）C. （1，﹣2）D. （﹣1，﹣2）
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转及平移的性质画出图形，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可得如下图形：
∴由图象可知：点A的对应点C的坐标是（﹣1，﹣2）；
故选D．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、坐标与图形及平移的性质，熟练掌握旋转的性质、坐标与图形及平移的性质是解题的关键．
5. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）．
A. 6米;B. 9米;C. 12米;D. 15米.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【详解】解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴BC+AB=3+6=9（米）．
故选B
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
6. 将不等式组的解集在数轴上表示出来，应是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的解法，求出解集，在数轴上表示即可得到答案．
【详解】解：，
由①得；
由②得；
不等式组的解集为，在数轴上表示出来为： ，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟记一元一次不等式组解集的求法及数轴表示是解决问题的关键．
7. 如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．根据旋转角的概念，可知就是旋转角，据此只要求出即可，由平行线的性质可以得到，由旋转的性质可得，结合“等边对等角”可得；由三角形内角和定理即可求得的度数，熟记性质并准确识图是解题的关键．
【详解】解：由旋转的性质得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8. 如图，已知直线和直线交于点，则不等式解集是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把化为，结合函数图象可得：一次函数的图象要在正比例函数图象的上方，结合函数图象可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
结合函数图象可得：
，
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数与正比例函数的图象，熟练的利用图象法解不等式是解本题的关键．
9. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD，AB＝4，∠C＝30°，则△ACD的面积为（ ）
A. B. C. D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，交AC于点E，得DA＝DC，根据∠C＝30°，可以证明△ABD是等边三角形，进而可求△ACD的面积．
【详解】由作图过程可知：
MN是AC的垂直平分线，交AC于点E，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠ADB＝60°，
∵AB＝BD＝4，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD＝4，
在Rt△DCE中，DC＝4，∠C＝30°，
∴DE＝2，CE＝2，
∴AC＝2CE＝4，
∴S△ADC＝•AC•DE＝×4×2＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是综合运用线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、三角形的面积．
10. 如图，直角三角形三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图，是腰长为1的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，……，按此规律作等䁏直角三角形（，为正整数），则的长及的面积分别是（ ）

A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出、和的长度，从而找出规律，求出长度，即可求出的面积.
【详解】解：是腰长为1的等腰直角三角形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
.
同理，
，
.
同理，
，
.
依此类推：.
故选：B.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、图形的变化找规律.解题的关键在于明确题意，探索规律，求出长度.
二、填空题
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是：，
故答案为：．
12. 分解因式：＝____________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式mn，后用平方差公式分解即可
【详解】
=mn()
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了提取公因式法，平方差公式法分解因式，熟练掌握因式分解的基本顺序是解题的关键．
13. 某品牌电脑的成本为2400元，售价为2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于5%，则这种品牌的电脑最低可打___折销售．
【答案】9
【解析】
【分析】可设x为打折后售出的价钱，则，可得x的取值范围，因为按最低折扣出售，则用最低售价x÷2800可得最低折扣．
【详解】解：由题意可知：设x为打折后售出的价钱
则：，
解得
当按最低折扣出售时，，
所以最低可打折为.
则可得最低折扣为九折．
故答案为：9折.
【点睛】本题考查学生对利润、进价、售价、利润率之间的关系的理解和一般代数式的求值，理解题目意思，熟练掌握利润率公式，正确建立不等式求解即可．
14. 不等式组无解，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可．
【详解】不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到，
解得：，
则的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．
15. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为__．
【答案】18
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可知空白部分是长方形，再求出其长和宽，结合长方形的面积公式计算即可．
【详解】解：由平移的性质可知空白部分是长方形，且长为，宽为，
∴阴影部分的面积，
故答案为：18．
16. 如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′．则下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；
②连接OO′，则OO′=4；
③∠AOB=150°；
④S四边形AOBO′=6+4．
其中正确的结论是_____________________．
【答案】①②③④
【解析】
【详解】试题解析：如图，连接OO′；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=CB；
由题意得：∠OBO′=60°，OB=O′B，
∴△OBO′为等边三角形，∠ABO′=∠CBO，
∴OO′=OB=4；∠BOO′=60°，
∴选项②正确；
在△ABO′与△CBO中，
，
∴△ABO′≌△CBO（SAS），
∴AO′=OC=5，
△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到，
∴选项①正确；
在△AOO′中，∵32+42=52，
∴△AOO′为直角三角形，
∴∠AOO′=90°，∠AOB=90°+60°=150°，
∴选项③正确；
∵S四边形AOBO′=，
∴选项④正确．
综上所述，正确选项为①②③④．
考点：旋转的性质．
三、解答题
17. 已知，线段，求作：等腰，使得顶角，上的高为．(用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)
【答案】作图见解析．
【解析】
【分析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，先作，在作的平分线，在上截取，然后过点作的垂线分别交AM、AN于、，则为所作，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【详解】如图，作，
作的角平分线；
在上截取；
过点作的垂线分别交AM、AN于、，
连接，
如图，即为所求．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
（1）将平移，使得点A的对应点的坐标为，则点C的对应点的坐标为 ：
（2）若与关于原点O中心对称，画出．
【答案】（1）
（2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换与平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
（1）将三个顶点分别向左平移5个单位，再首尾顺次连接即可得；
（2）分别作出三个顶点关于原点O中心对称的对称点，再首尾顺次连接即可得．
【小问1详解】
将平移，使得点的对应点的坐标为，
即将向左平移5个单位，，
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，即为所求．
19. （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，
（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来
【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析；
【解析】
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，然后在数轴上表示不等式的解集；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，然后在数轴上表示不等式的解集．
【详解】（1）解：去分母，得2（x−2）≥3（3x−1）−12．
去括号，得2x−4≥9x−3−12，
移项、合并同类项，得−7x≥−11．
系数化为1，得x≤．
在数轴上表示这个解集如图所示:
（2）解不等式组：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示这个解集如图所示：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=4，OC=5，求AO的长．

【答案】（1）60°；（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；
（2）由旋转的性质得：AD=OB=4，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．
【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO．
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°，
∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°，
∴△OCD等边三角形，
∴∠ODC=60°．
（2）由旋转的性质得：AD=OB=4．
∵△OCD等边三角形，∴OD=OC=5．
∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理.
21. 为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【答案】（1）一共答对了22道题；（2）至少需答对23道题．
【解析】
【分析】（1）设该参赛同学一共答对了道题，从而可得该参赛同学一共答错了道题，再根据“每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分”、“他的总得分为86分”建立方程，解方程即可得；
（2）设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，从而可得参赛者答错了道题，再根据“总得分大于或等于90分”建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：（1）设该参赛同学一共答对了道题，则该参赛同学一共答错了道题，
由题意得：，
解得，
答：该参赛同学一共答对了22道题；
（2）设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，则参赛者答错了道题，
由题意得：，
解得，
答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确列出方程和不等式是解题关键．
22. 已知：如图中，，平分，平分，过D作直线平行于交，于E，F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
（1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得；
（2）同理（1）可得，根据周长，求解即可．
【小问1详解】
证明：，
，
平分，
，
，
，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
，
，
平分，
，
，
，
，，
∴的周长为：
．
23. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如：
．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式（利用公式法）：；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的意义，完全平方公式和平方差公式：
（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案；
（3）先因式分解已知等式，再根据平方的非负性，确定，，的值即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴的周长为．
24. 如图，在中，平分，于点E，点F在上，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明．
（2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵平分，于点E，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：设，则，
∵平分，于点E，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，即，
解得，即．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键．
25. 某公司准备把240吨白砂糖运往A、B两地，用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖，相关数据见表：
（1）求大、小两种货车各用多少辆？
（2）如果安排10辆货车前往A地，其中大车有m辆，其余货车前往B地，且运往A地的白砂糖不少于130吨．
①求m的取值范围；
②请设计出总运费最少的货车调配方案，并求最少总运费．
【答案】（1）大货车用8辆．小货车用12辆；（2）①6≤m≤8；②应安排6辆大车和4辆小车前往A地，安排2辆大车和8辆小车前往B地，最少运费为11360元
【解析】
【分析】（1）设大车货x辆，则小货车（20-x）辆，根据“大车装的货物数量+小车装的货物数量=240吨”作为相等关系列方程即可求解；
（2）①调往A地的大车m辆，小车（10-m）辆；调往B地的大车（8-m）辆，小车（m+2）辆，根据“运往A地的白砂糖不少于130吨”列关于m的不等式求出m的取值范围，
②设总运费为W元，根据运费的求算方法列出关于运费的函数关系式W=10m+11300，再结合一次函数的单调性得出w的最小值即可求解．
【详解】解：（1）设大货车x辆，则小货车有（20-x）辆，
15x+10（20-x）=240，
解得：x=8，
20-x=20-8=12（辆），
答：大货车用8辆．小货车用12辆；
（2）①调往A地的大车有m辆，则到A地的小车有（10-m）辆，由题意得：
15m+10（10-m）≥130，
解得：m≥6，
∵大车共有8辆，
∴6≤m≤8；
②设总运费为W元，
∵调往A地的大车有m辆，则到A地的小车有（10-m）辆，
∴到B的大车（8-m）辆，到B的小车有[12-（10-m）]=（2+m）辆，
W=630m+420（10-m）+750（8-m）+550（2+m），
=630m+4200-420m+6000-750m+1100+550m，
=10m+11300．
又∵W随m的增大而增大，
∴当m=6时，w最小．
当m=6时，W=10×6+11300=11360．
因此，应安排6辆大车和4辆小车前往A地，安排2辆大车和8辆小车前往B地，最少运费为11360元．
【点睛】本题考查了一元一次方程、一次函数和一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出相关的式子是解题的关键．注意本题中所给出的相等关系和不等关系关键语句“现用大，小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖”“运往A地的白砂糖不少于130吨”等．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，MNBC？并求出此时CN的长．
【答案】（1）AM=10﹣2t，AN=t
（2）t=
（3）当t=时，MNBC，此时CN=．
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到AM=AN，列方程即可得到结论；
（3）根据题意列方程即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵AB=10cm，
∴AM=AB-BM=10-2t，AN=t；
【小问2详解】
解：∵△AMN是以MN为底的等腰三角形，
∴AM=AN，即10-2t=t，
∴当t=时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形；
【小问3详解】
解：当MN⊥AC时，MNBC．
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°
∵MNBC，
∴∠NMA=30°，
∴AN=AM，
∴t=（10-2t），
解得t=，
∴当t=时，MNBC，
CN=5-×1=．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．载重量
运往A地的费用
运往B地的费用
大车
15吨/辆
630元/辆
750元/辆
小车
10吨/辆
420元/辆
550元/辆