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山东省青岛市青岛第七中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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第Ⅰ卷（共24分）
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 下列命题的逆命题为假命题的是（ ）
A. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
B. 两直线平行，同位角相等
C. 若一个三角形的三边相等，则它的三个角也相等
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】写出原命题的逆命题后利用勾股定理逆定理、等边三角形的判定、平行线的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、逆命题为：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，正确，为真命题，不符合题意；
B、逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；
C、逆命题为：若一个三角形的三角相等，则它的三条边也相等，正确，为真命题，不符合题意；
D、逆命题为：若，则，当时，不一定成立，故错误，为假命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解勾股定理逆定理、等边三角形的判定、平行线的判定等知识，难度不大．
3. 如图A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，，的坐标分别为，，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得出线段向右平移了3个单位，向上平移了2个单位，即可得出、的值，从而得出答案．
【详解】解：由的对应点的坐标为知，线段向上平移了2个单位，
由的对应点的坐标为知，线段向右平移了3个单位，
则，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
4. 如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式组的解集为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求正比例函数值，一次函数与不等式之间的关系，先求出点A的坐标，再根据函数图象找到正比例函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，
∴，
观察函数图象可知，当时，正比例函数的图象在一次函数的图象上方，
∴关于x的不等式组的解集为，
故选：C．
5. 如图，将纸片绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等边对等角．设与交于点，根据旋转的性质可得，，根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得的度数．
【详解】解：设与交于点，如图，
∵将△ABC纸片绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
，
AC⊥，
，
，
故选：A．
6. 在平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．分为、，三种情况画图判断即可．
【详解】解：如图所示：
当时，符合条件的点有3个；
当时，符合条件的点有3个；
当点C在的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．
故符合条件的点C共有7个．
故选：B．
7. 某运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作，若输入后程序操作进行了两次就停止，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了程序图，解一元一次不等式组；由操作两次可得不等式组，即可求解；理解程序图是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限，与x轴重合，将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，以此类推……，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质，本题是操作性题目，利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键．利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解．
【详解】解：边长为2的等边三角形在第二象限，
∴．
将绕点顺时针旋转，得到，
与点关于轴对称，
．
再作关于原点的中心对称图形，得到，
与点关于原点对称，
．
再将绕点顺时针旋转，得到
此时点落在轴的负半轴上，
．
再作关于原点的中心对称图形，得到，
此时点落在轴的正半轴上，
．
以此类推，则，，
与点重合，
对应的点大于1的整数）的坐标以，，，，，为规律循环，
与的坐标相同，
∴则点的坐标是．
故选：B．
第Ⅱ卷（共96分）
9. 【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，方程的解是________，不等式的解是________．
【拓展延伸】
（3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是________．
【答案】（1）；（2），，；（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键．
（1）结合图象即可求解；
（2）通过观察图象求解即可；
（3）通过观察图象求解即可．
【详解】解：（1）∵的图象经过点，
∴观察图象，不等式的解集是，
故答案为：；
（2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为；
∵的解为两直线交点的横坐标，
∴方程的解为；
由图象可得，当时，，
∴不等式的解是，
故答案为：，，；
（3）联立方程组，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴；
由的图象可知，当时，，
当时，，
∴关于x的不等式组的解集为，
故答案为：．
10. 骑车佩戴安全头盔，可以保护头部，减少意外伤害，某商店销售进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价；
（2）甲乙两种头盔共售出100个，为实现利润达到1250元的目标，至少需要卖多少个甲头盔．
【答案】（1）甲头盔的销售单价为55元，乙头盔的销售单价为40元
（2）至少需要卖50个甲头盔
【解析】
【分析】（1）设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，利用销售金额=销售单价×销售数量，结合周一、周二的销售数据，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设卖出m个甲头盔，则卖出个乙头盔，利用总利润=每个头盔的销售利润×销售数量，结合总利润不少于1250元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲头盔的销售单价为55元，乙头盔的销售单价为40元；
【小问2详解】
解：设卖出m个甲头盔，则卖出个乙头盔，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最小值为50．
答：至少需要卖50个甲头盔．
【点睛】本题考查了二元一次方程组应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
11. 如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8．
（1）求证：；
（2）求DF的长．
【答案】（1）见解析 （2）DF的长为5．
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；
（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．
【小问1详解】
证明：∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=∠CED=90°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，
同理：CD2=20，
∴AD2+CD2=80+20=100，
∵AC=AE+CE=8+2=10，
∴AC2=100，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC=90°；
【小问2详解】
解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC=10，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF=AB=5．
∴DF的长为5．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键．
12. 定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：是的子集．
（1）若不等式组：，，则其中不等式组________是不等式组“子集”（填A或B）；
（2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是________；
（3）已知a，b，c，d为互不相等的整数．其中，，下列三个不等式组：，，满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为________．
（4）已知不等式组有解，且是不等式组M的“子集”，请分别写出m、n满足的条件：________．
【答案】（1）A （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组以及定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键．
（1）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可；
（2）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可；
（3）由题意根据“子集”的定义得到，再根据a、b、c、d都是整数确定出各自的值，代入原式计算即可求出值；
（4）由题意根据“子集”的定义确定出所求即可．
【小问1详解】
解：A：的解集为，B：的解集为，M：的解集为，
∴不等式组A是不等式组M的子集，不等式组B不是不等式组M的子集，
故答案为：A；
【小问2详解】
解：不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中，
∵A：，B：，C：满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问4详解】
解：解不等式组M：得：，
∵不等式组M有解，
∴，
∵N：是不等式组的“子集”，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，张老师将同学们分为三个小组，让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，，．
【解决问题】
（1）勤奋小组将和按图1所示的方式摆放（点A、C，B在同一条直线上）．连接，．发现和的关系是：a．数量上：________，b．位置上：与所成的夹角(锐角)为________；
（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在边上时，则的面积为________；
拓展延伸】
（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“在（2）题的位置处，将的边放在线段上滑动，并带动一起在线段上来回滑动，记作，点在线段右侧，连接，求线段的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据证明，从而得出，据此求解即可；
（2）作，交的延长线于G，可求得，，从而求得，，利用三角形面积公式即可得出结果；
（3）可推出点在的右侧且离距离得直线l上运动，当时，最小，当点在C处时，最大，进一步得出结果．
【详解】（1）解：∵和是等边三角形，
，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：如图1，
作，交的延长线于G，
∵，
∴，，
∴，，
∴；
（3）如图2，
同（2）理，到直线的距离是，
∴点在的右侧且离距离得直线l上运动，
当时，取得最小值，
∵，
∴，
∴，
，
当点在C时，（即图1中的位置）最大，
由上图1知：，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，解决问题的关键确定运动轨迹．
14. 如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当秒时，求的长．
（2）求出发时间为几秒时，是等腰三角形．
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的运动时间．
【答案】（1）
（2）出发时间为秒时，是等腰三角形
（3）当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
（1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；
（2）由题意得出，即，解方程即可；
（3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当时（图，则，易求得；
②当时（图，过点作于点，则求出，，即可得出．
【小问1详解】
，
，
，
；
【小问2详解】
根据题意得：，
即，
解得：；
即出发时间为秒时，是等腰三角形；
【小问3详解】
分两种情况：
当时，如图2所示：
则，
秒．
当时，如图3所示：
过点作于点，
则
，
，
，
秒．
由上可知，当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形．
时间
甲头盔销量（个）
乙头盔销量（个）
销售金额（元）
周一
10
10
950
周二
6
15
930
第Ⅰ卷（共24分）
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 下列命题的逆命题为假命题的是（ ）
A. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
B. 两直线平行，同位角相等
C. 若一个三角形的三边相等，则它的三个角也相等
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】写出原命题的逆命题后利用勾股定理逆定理、等边三角形的判定、平行线的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、逆命题为：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，正确，为真命题，不符合题意；
B、逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；
C、逆命题为：若一个三角形的三角相等，则它的三条边也相等，正确，为真命题，不符合题意；
D、逆命题为：若，则，当时，不一定成立，故错误，为假命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解勾股定理逆定理、等边三角形的判定、平行线的判定等知识，难度不大．
3. 如图A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，，的坐标分别为，，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得出线段向右平移了3个单位，向上平移了2个单位，即可得出、的值，从而得出答案．
【详解】解：由的对应点的坐标为知，线段向上平移了2个单位，
由的对应点的坐标为知，线段向右平移了3个单位，
则，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
4. 如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式组的解集为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求正比例函数值，一次函数与不等式之间的关系，先求出点A的坐标，再根据函数图象找到正比例函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，
∴，
观察函数图象可知，当时，正比例函数的图象在一次函数的图象上方，
∴关于x的不等式组的解集为，
故选：C．
5. 如图，将纸片绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等边对等角．设与交于点，根据旋转的性质可得，，根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得的度数．
【详解】解：设与交于点，如图，
∵将△ABC纸片绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
，
AC⊥，
，
，
故选：A．
6. 在平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．分为、，三种情况画图判断即可．
【详解】解：如图所示：
当时，符合条件的点有3个；
当时，符合条件的点有3个；
当点C在的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．
故符合条件的点C共有7个．
故选：B．
7. 某运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作，若输入后程序操作进行了两次就停止，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了程序图，解一元一次不等式组；由操作两次可得不等式组，即可求解；理解程序图是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限，与x轴重合，将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，以此类推……，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质，本题是操作性题目，利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键．利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解．
【详解】解：边长为2的等边三角形在第二象限，
∴．
将绕点顺时针旋转，得到，
与点关于轴对称，
．
再作关于原点的中心对称图形，得到，
与点关于原点对称，
．
再将绕点顺时针旋转，得到
此时点落在轴的负半轴上，
．
再作关于原点的中心对称图形，得到，
此时点落在轴的正半轴上，
．
以此类推，则，，
与点重合，
对应的点大于1的整数）的坐标以，，，，，为规律循环，
与的坐标相同，
∴则点的坐标是．
故选：B．
第Ⅱ卷（共96分）
9. 【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，方程的解是________，不等式的解是________．
【拓展延伸】
（3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是________．
【答案】（1）；（2），，；（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键．
（1）结合图象即可求解；
（2）通过观察图象求解即可；
（3）通过观察图象求解即可．
【详解】解：（1）∵的图象经过点，
∴观察图象，不等式的解集是，
故答案为：；
（2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为；
∵的解为两直线交点的横坐标，
∴方程的解为；
由图象可得，当时，，
∴不等式的解是，
故答案为：，，；
（3）联立方程组，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴；
由的图象可知，当时，，
当时，，
∴关于x的不等式组的解集为，
故答案为：．
10. 骑车佩戴安全头盔，可以保护头部，减少意外伤害，某商店销售进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价；
（2）甲乙两种头盔共售出100个，为实现利润达到1250元的目标，至少需要卖多少个甲头盔．
【答案】（1）甲头盔的销售单价为55元，乙头盔的销售单价为40元
（2）至少需要卖50个甲头盔
【解析】
【分析】（1）设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，利用销售金额=销售单价×销售数量，结合周一、周二的销售数据，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设卖出m个甲头盔，则卖出个乙头盔，利用总利润=每个头盔的销售利润×销售数量，结合总利润不少于1250元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲头盔的销售单价为55元，乙头盔的销售单价为40元；
【小问2详解】
解：设卖出m个甲头盔，则卖出个乙头盔，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最小值为50．
答：至少需要卖50个甲头盔．
【点睛】本题考查了二元一次方程组应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
11. 如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8．
（1）求证：；
（2）求DF的长．
【答案】（1）见解析 （2）DF的长为5．
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；
（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．
【小问1详解】
证明：∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=∠CED=90°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，
同理：CD2=20，
∴AD2+CD2=80+20=100，
∵AC=AE+CE=8+2=10，
∴AC2=100，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC=90°；
【小问2详解】
解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC=10，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF=AB=5．
∴DF的长为5．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键．
12. 定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：是的子集．
（1）若不等式组：，，则其中不等式组________是不等式组“子集”（填A或B）；
（2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是________；
（3）已知a，b，c，d为互不相等的整数．其中，，下列三个不等式组：，，满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为________．
（4）已知不等式组有解，且是不等式组M的“子集”，请分别写出m、n满足的条件：________．
【答案】（1）A （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组以及定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键．
（1）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可；
（2）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可；
（3）由题意根据“子集”的定义得到，再根据a、b、c、d都是整数确定出各自的值，代入原式计算即可求出值；
（4）由题意根据“子集”的定义确定出所求即可．
【小问1详解】
解：A：的解集为，B：的解集为，M：的解集为，
∴不等式组A是不等式组M的子集，不等式组B不是不等式组M的子集，
故答案为：A；
【小问2详解】
解：不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中，
∵A：，B：，C：满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问4详解】
解：解不等式组M：得：，
∵不等式组M有解，
∴，
∵N：是不等式组的“子集”，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，张老师将同学们分为三个小组，让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，，．
【解决问题】
（1）勤奋小组将和按图1所示的方式摆放（点A、C，B在同一条直线上）．连接，．发现和的关系是：a．数量上：________，b．位置上：与所成的夹角(锐角)为________；
（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在边上时，则的面积为________；
拓展延伸】
（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“在（2）题的位置处，将的边放在线段上滑动，并带动一起在线段上来回滑动，记作，点在线段右侧，连接，求线段的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据证明，从而得出，据此求解即可；
（2）作，交的延长线于G，可求得，，从而求得，，利用三角形面积公式即可得出结果；
（3）可推出点在的右侧且离距离得直线l上运动，当时，最小，当点在C处时，最大，进一步得出结果．
【详解】（1）解：∵和是等边三角形，
，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：如图1，
作，交的延长线于G，
∵，
∴，，
∴，，
∴；
（3）如图2，
同（2）理，到直线的距离是，
∴点在的右侧且离距离得直线l上运动，
当时，取得最小值，
∵，
∴，
∴，
，
当点在C时，（即图1中的位置）最大，
由上图1知：，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，解决问题的关键确定运动轨迹．
14. 如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当秒时，求的长．
（2）求出发时间为几秒时，是等腰三角形．
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的运动时间．
【答案】（1）
（2）出发时间为秒时，是等腰三角形
（3）当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
（1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；
（2）由题意得出，即，解方程即可；
（3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当时（图，则，易求得；
②当时（图，过点作于点，则求出，，即可得出．
【小问1详解】
，
，
，
；
【小问2详解】
根据题意得：，
即，
解得：；
即出发时间为秒时，是等腰三角形；
【小问3详解】
分两种情况：
当时，如图2所示：
则，
秒．
当时，如图3所示：
过点作于点，
则
，
，
，
秒．
由上可知，当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形．
时间
甲头盔销量（个）
乙头盔销量（个）
销售金额（元）
周一
10
10
950
周二
6
15
930
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