湖北省武汉市二桥中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 2023的相反数等于（ ）
A. 2023B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可得出答案．
【详解】解：2023的相反数等于．
故选：B．
2. 下列事件：（1）“武汉明天是晴天”；（2）“铅球漂浮在水面上”；其中是随机事件的是（ ）
A 只有（2）B. 只有（1）C. （1）（2）D. 无
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了随机事件，正确理解定义是解题的关键．
根据可能发生的事件叫做随机事件判断即可．
【详解】解：（1）“武汉明天是晴天”是随机事件；
（2）“铅球漂浮在水面上”是不可能事件，
故选：B．
3. 下列校徽主体图案是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A．能找到一个点，此图形绕点旋转后能与自身重合，此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．找不到一个点，此图形绕点旋转后能与自身重合，此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．找不到一个点，此图形绕点旋转后能与自身重合，此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．找不到一个点，此图形绕点旋转后能与自身重合，此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，一个平面图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，正确理解中心对称图形的定义是解题的关键．
4. 下列运算结果是的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的乘方、合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项，字母和指数不变，只把系数相加减；积的乘方，等于乘方的积；同底数幂的除法，底数不变，指数相减；熟练掌握相关概念、仔细计算是解题的关键．
5. 如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：从左面看，底层是2个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
6. 若点，，在反比例（k为常数）的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
根据反比例函数的性质，可以判断出反比例函数所在象限以及在各象限的增减性，由此可根据各点纵坐标的的大小关系，判断，，的大小．
【详解】解： （k是常数）中，
函数图象在二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
点，，在反比例函数是常数的图象上，，
在第四象限，、在第二象限，
∴，
故选：D．
7. 《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢？（大意是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸，地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇）．如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：尺）关于生长时间（单位：日）的函数图象，则由图可知两图象交点的横坐标是（ ）

A. B. 5C. D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为，然后列出相应的方程，求解即可．
【详解】解：设两图象交点的横坐标是，则：
，
解得，
两图象交点的横坐标是，
故选C．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
8. 在学校举行的运动会上，小明和小亮何报名参加百米赛跑，预赛分甲、乙、丙、丁四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小明和小亮何恰好抽到同一组的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过列表法表示出所有结果和小明、小亮在同一组的可能，从而求得概率．
【详解】解：列表如下：
总共有16中结果可能，小明、小亮在同一组有4中可能，
所以小明、小亮在同一组的概率为
故选B．
【点睛】此题考查了求概率的方法，熟练掌握列表法或树状图求概率是解题的关键．
9. 如图，等腰的顶点在圆上，点A在圆外，于点，若，则圆的半径为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作于点E，连接、，根据等腰三角形性质得出垂直平分，根据，得出点O在上，根据三角函数求出，，，求出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：过点A作于点E，连接、，如图所示：

∵，，
∴，，
∴垂直平分，
∵，
∴点O在上，
∵，
∴设，则，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质和判断．
10. 已知关于x的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于x的不等式的解集是（ ）
A. 或B. 或
C. 或或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】令．根据题意画出的图象草图，再据此求解即可．
【详解】解：令．
∵关于x的一元三次方程的解为，，，
∴的图象与x轴的交点为，，．
∵的图象与x轴的交点不含，
∴当x=0时，．
∴的图象草图如下．
从图象上可以看出y>0时，即时，x的取值范围是或．
∴关于x的不等式的解集是或．
故选：A．
【点睛】本题考查函数与不等式的关系，正确应用数形结合思想是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 写出一个小于3的正无理数___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据无理数估算的方法求解即可.
【详解】解：∵，
∴
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．
12. 党的二十大报告提到，新时代十年来来我国人均国内生产总值大幅度增长，从39 800元增加到81 000元，81 000用科学记数法表示是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法进行解答即可。
【详解】根据科学记数法的表示形式，，可确定，n值等于原数的整数位数减1，可确定，故81 000用科学记数法表示为：．
故答案：
【点睛】本题考查科学记数法，正确理解科学记数法的表示形式是解题的关键．
13. 计算的结果是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据分式的减法运算法则计算即可．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式减法运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键．
14. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔海里的处，海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时处距离灯塔的距离约为 ____海里结果取整数，参考数据：，．
【答案】134
【解析】
【分析】过点作于点，由题意可得，，，，解中，得出，解，即可求解．
【详解】解：过点作于点，
由题意可得，，，，
，，
，
在中，，
，
在中，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
15. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：
①；
②当时，；
③若点，点，点均在该图象上，则；
④若关于的方程的两根都是整数，则这样的值有3个．
其中正确的结论有________（填序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据图象对称轴为直线，可得；可判断①；设，可得，再由，可得当时，w取得最大值，最大值为a，可判断②；根据，可得，可判断③；根据题意可得关于的方程的根即为抛物线与直线的交点的横坐标，可判断④，即可．
【详解】解：①∵图象对称轴为直线，
∴，
∴即，故①正确；
②设，
∴，
∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∴当时，w取得最大值，最大值为a，
∴当时，，故②正确；
③∵点，点，点均在该图象上，且，
∴，故③正确；
④∵图象过点，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴抛物线的解析式为，
∴关于的方程的根即为抛物线与直线的交点的横坐标，
∴当且抛物线与直线的有两个交点，且交点的横坐标为整数时，这样的点P有1个，
∴关于的方程的两根都是整数，则这样的值有1个，故④错误．
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
16. 如图，中，，，点D在上，．点E在上，且，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质．先判断出，进而得出，得出，再判断出，即可得出结论．
【详解】解：过点作的平行线，与、分别相交于点、．
，，
．
∵，
，．
．．
，
．
，
∵，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 解不等式组请按下列步骤完成解答：

（1）解不等式①，得________；
（2）解不等式②，得________；
（3）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为________．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）根据不等式的性质，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、未知项系数化为的步骤求解即可．
（2）根据不等式的性质，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、未知项系数化为的步骤求解即可．
（3）根据不等式组中每个不等式的解集画图即可．
（4）不等式组中每个不等式的解集的公共部分即为不等式组的解集．
【小问1详解】
去括号，得
．
移项，得
．
合并同类项，得
．
故答案为：．
【小问2详解】
移项，得
．
合并同类项，得
．
系数化为，得
．
故答案为：．
【小问3详解】
【小问4详解】
不等式组中每个不等式的解集的公共部分即为不等式组的解，所以原不等式组的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，牢记解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18. 如图，已知，，点D，F是垂足，．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】18. 见解析
19.
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
（1）由可得，从而有，可判定；
（2）由已知条件可求得，由角平分线的定义可求得，结合（1）即可求的度数．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
，
∴；
【小问2详解】
解：，
，
平分，
，
∵，
，
．
19. 网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，学校为了解学生每周课余利用网络资源进行自主学习的时间，在本校内随机抽取名学生进行问卷调查，将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题．

（1）随机抽取问卷调查的学生人数______，表中的______，扇形统计图中组对应的圆心角为______度；
（2）若该校有2400名学生，根据调查数据估计自主学习的时间超过 3小时的学生有多少人？
【答案】（1），，108
（2）480人
【解析】
【分析】（1）根据组的频数和百分比求出总人数，再利用组的百分比求出的值，然后利用乘以组所占百分比计算扇形统计图中组对应的圆心角即可；
（2）利用总人数乘以人数和所占比例，即可获得答案．
【小问1详解】
解：随机抽取问卷调查的学生人数，
表中的，
扇形统计图中组对应的圆心角为．
故答案为：80,12,108；
【小问2详解】
（人），
答：根据调查数据估计自主学习的时间超过 3小时的学生有480人．
【点睛】本题主要考查了频数统计表、扇形统计图、利用样本估计整体等知识，通过扇形统计图和频数统计表获得所需信息是解题关键．
20. 如图，已知等腰，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F．
（1）求证：DF是的切线．
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，证明，推出，即可证明结论成立；
（2）连接，在中，求得利用三角形函数的定义求得，，在中，利用勾股定理列式计算求得圆的半径，利用即可求解．
【小问1详解】
证明：连接OD，
∵，
，
又，
，
，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：连接，设半径为r
在中，，，
，
又，
，
，
，
是的直径．
，
，
∵，
∴，
又，
，
(负值已舍)，
，
．
【点睛】本题主要考查切线的性质和判定及扇形面积的计算，掌握切线问题中的辅助线的作法及扇形的面积公式是解题的关键．
21. 如图，是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在网格中画图，画图过程用虚线，画图结果用实线表示．
（1）如图1，在上画一点E，使=；过点E作，垂足为F；
（2）如图2， D是网格中的格点，在线段上找一点，使得平分；在上找点，连接，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）取格点，，连接交于点，点即为所求，取格点，，连接交于点，作直线即可；
（2）取格点，连接，取的中点，连接交于点，点即为所求．取格点，连接，取格点，连接交于点，连接交于点，点即为所求．
【小问1详解】
解：如图，点，直线即为所求；
【小问2详解】
解：如图，点，点即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22. 2022年北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为元，每天销售量为个．
（1）直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，每日销售利润为8960元？
（3）网店为响应“助力竐情防控，回馈社会，共渡难关”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠元给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，则的值是多少？
【答案】（1），其中
（2）当销售单价为58元时，网店每日销售利润为8960元
（3）3
【解析】
【分析】（1）根据当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数解析式即可，根据单个销售利润不低于10元，且不高于31元，求出x的取值范围即可；
（2）根据每日销售利润为8960元，列出方程，解方程即可；
（3）设每天扣除捐赠后可以获得利润为元，得出，求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出，根据二次函数的增减性得出当时，，得出，求出m的值即可．
【小问1详解】
解：∵当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，
∴，
∵单个销售利润不低于10元，且不高于31元，
∴，
∴．
即，其中．
【小问2详解】
解：由题意得：，
整理得，
解得：，
，
，
答：当销售单价为58元时，网店每日销售利润为8960元．
【小问3详解】
解：设每天扣除捐赠后可以获得利润为元，
则，
，
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线，
，
，
当时随的增大而增大，
时，，
即：，
解得：，
∴m的值为3．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出关系式或方程．
23. 1.问题发现
图（1），在和中，，，，连接，交于点M.
①的值为______；②的度数为_______．
（2）类比探究
图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．
①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值．
【答案】（1）①1；②；（2），；（3）①的长为；②M点到直线距离的最大值为
【解析】
【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解．
（2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数．
（3）深度理解题意，本质上问的就是当B，C，D，三点共线时，求的长，在利用，对应边成比例求的长，最值的求解，先找到点和点的轨迹，可以发现是在两个圆弧上运动，再利用最大时，则M点到直线距离的最大，直接求解即可．
【详解】（1）①∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案：；
②设与交于点F，
由①知，，
∴，
∵，
，
∴，
故答案为：；
（2）如下图，在和中，设与交于点；
∵∠，，
∴；
∵，
即，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，．
（3）①如下图所示，当直线经过点B且点C在线段上时；
在中，，；
过点O作的垂线，垂足为；
∴；
∵；
∴；
∴，；
在中，由勾股定理得；
；
∴；
∵；
∴；
即；
②如下图所示，∵，；
∴点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且；
要想求出点到直线的最大值，动点距离直线越远越好，
从下图可以看出，点的轨迹也是圆，点运动极限位置取决于的最大值；
∵，；
∴的最大值取得当且仅当时；
即在中；
；
∴；
过点作垂线，垂足为；
∴；
即线段即为所求；
在中；
；
∵；
∴；
∵；
∴；
；
∴；
∴M点到直线距离的最大值为．
【点睛】本题主要考查等腰背景下全等三角形的判定和性质综合，特殊直角三角形为背景的相似三角形的判定和性质综合，利用特殊角的三角函数解三角形，圆轨迹动态下求线段的最值，熟练掌握手拉手模型证明三角形全等，数量掌握相似三角形的判定，特别是两边对应成比例，夹角相等类的，对于求点到直线最值类型要注意动点的轨迹寻找和影响最值的主要因素，进而综合判定求解是解题的关键．
24. 如图，抛物线经过点、两点，与y轴负半轴交于点C，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，R为上一点，连并延长交抛物线于点T，若，求点T的坐标；
（3）如图2，点C关于抛物线对称轴的对称点为D，过点D的直线（直线不与x轴垂直）与抛物线只有一个公共点，平移直线交抛物线于E、F两点，点E在第二象限，点F在第三象限，连交y轴于点P，连交y轴于点Q，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）2
【解析】
【分析】（1）由题意易得点，然后利用待定系数法可求解；
（2由题意易得直线的解析式为，分别过点R、T作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质及二次函数的性质可进行求解；
（3）由题意易得直线的解析式为，设直线的解析式为，设点，然后联立函数关系式可得，进而求出点P、Q的坐标，最后问题可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
分别过点R、T作x轴的垂线，垂足分别为E、F，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则有，
∴，
∴，
∴，
∴，
代入抛物线解析式得：，
解得：（不符合题意，舍去）；
∴；
【小问3详解】
解：由点C关于抛物线对称轴的对称点为D，及二次函数的对称轴为直线可知点，
设直线的解析式为，则有：，
∴，
∴直线解析式为，
联立得：，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
设点，联立得：，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：，
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴令，则有，即，
同理可得：，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定、一元二次方程根与系数的关系及一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．小明 小亮
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，甲）
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，乙）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）
（丁，丁）
组别
学习时间（）
频数（人数）
8
24
32
4小时以上
4