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福建省莆田第二十五中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）
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一、选择题（本题共10小题，共40分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a＞2B. a＜2C. a＜2且a≠1D. a＜－2
4. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 不等式组的解集是（ ）
A. x≥－2B. －2＜x＜3C. x＞3D. －2≤x＜3
6. 袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的．从中随机同时摸出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是（ ）
A B. C. D.
7. 若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正确的是（ ）
A. ①②B. 只有①C. ③④D. ①④
9. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（–1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，–2），……，按这样的运动规律，动点P第2018次运动到点
A. （2018，0）B. （2017，0）C. （2018，1）D. （2017，–2）
二、填空题（本题共6小题，共24分）
11. 的算术平方根是________
12. 函数中，自变量x的取值范围是_________．
13. 如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，要使，则x满足的条件是______．
14. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________．
15. 如图，在中，，点D是中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．
16. 如图，已知点，，，，，……在轴正半轴上，分别以，，，，……为边在第一象限作等边，等边，等边，……，且点，，，，……在反比例函数上，且，则点的坐标为______.
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段长．
20. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；
（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围．
21. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
22. 如图，，，．
（1）求证：；
（2）用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）
23. 为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
24. 知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD数量关系是 ．
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求a的值，并直接写出A、B两点的坐标；
（2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且，求点P的坐标；
（3）如图2，若C点为线段上一点，求的最小值．
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
▲
▲
一、选择题（本题共10小题，共40分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a＞2B. a＜2C. a＜2且a≠1D. a＜－2
4. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 不等式组的解集是（ ）
A. x≥－2B. －2＜x＜3C. x＞3D. －2≤x＜3
6. 袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的．从中随机同时摸出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是（ ）
A B. C. D.
7. 若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正确的是（ ）
A. ①②B. 只有①C. ③④D. ①④
9. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（–1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，–2），……，按这样的运动规律，动点P第2018次运动到点
A. （2018，0）B. （2017，0）C. （2018，1）D. （2017，–2）
二、填空题（本题共6小题，共24分）
11. 的算术平方根是________
12. 函数中，自变量x的取值范围是_________．
13. 如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，要使，则x满足的条件是______．
14. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________．
15. 如图，在中，，点D是中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．
16. 如图，已知点，，，，，……在轴正半轴上，分别以，，，，……为边在第一象限作等边，等边，等边，……，且点，，，，……在反比例函数上，且，则点的坐标为______.
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段长．
20. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；
（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围．
21. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
22. 如图，，，．
（1）求证：；
（2）用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）
23. 为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
24. 知识再现】
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【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD数量关系是 ．
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求a的值，并直接写出A、B两点的坐标；
（2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且，求点P的坐标；
（3）如图2，若C点为线段上一点，求的最小值．
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
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