【期末·解答题专练】2022-2023学年 人教版数学九年级-专题03《判别式及根与系数的关系》期末解答题必刷训练

判别式及根与系数的关系

1．已知：关于x的方程x2＋2kx＋k2﹣1＝0

（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根．

（2）如果方程有一个根为3，试求2k2＋12k＋2019的值．

2．已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）当时，用配方法解此一元二次方程．

3．已知关于x的一元二次方程．

（1）若这个一元二次方程有实数根，求m的取值范围．

（2）若方程的两个实数根，，满足，求m的值．

4．关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一根小于1，求的取值范围．

5．已知关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有实数根

（2）若方程的一个根为1，求方程的另一个根．

6．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为不大于的整数，且方程的根为整数，求满足条件的的值及对应的方程的根．

7．已知关于一元二次方程有两个实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若满足，求m的值．

8．已知，是关于的一元二次方程的两实数根．

（1）若方程有两个相等实数根，求的值．

（2）已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．

9．关于的一元二次方程的实数解是和．

（1）求的取值范围；

（2）如果且为整数，求的值．

10．己知关于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．

（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根；

（2）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．

11．已知△ABC的两边AB、AC （AB＜AC）的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k＋1）x＋k2＋k＝0的两个实数根，第三边长为5

（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．

12．已知关于的一元二次方程有两个实数根，

（1）求实数的取值范围；

（2）若方程的两实数根，.满是，求的值

13．已知关于的一元二次方程．其中分别为三边的长．

（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．

14．关于x的一元二次方程x2-(k-3)x-2k+2=0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两根分别为x1、x2，且x1+x2=-6，求方程的两根．

15．已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是正整数，当m为取值范围内的最小整数时，求此方程的根．

16．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．

（1）求m的取值范围 

（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．

17．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．

18．已知关于的方程有两个实数根，，

（1）求的取值范围；

（2）当两个实数根，，两个实数根，，满足时．求实数的值．

19．已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根．

20．已知关于x的方程x2＋kx－2＝0．

（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．

21．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b-a）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

22．已知关于x的方程x2－3x－m＋3＝0总有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若它的一个实数根是2，求m的值和另一个实数根．

23．设a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程有两个相等的实数根，且方程3cx+2b＝2a的根为0．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）若a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值．

24．已知关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使得x12﹣x22＝0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

25．已知关于x的一元二次方程（m为常数）．求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．

26．已知关于x的方程x2-3x+m=0有两个不相等实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若m是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．

27．已知关于x的一元二次方程无实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取最小非负整数值时，求该方程的解；

（3）求方程两根的和与积（用k表示）．

28．已知关于的一元二次方程.

（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的两个根是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求的值．

29．已知：关于的一元二次方程． 

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根是1，求另一个根．

30．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若，请用配方法求该方程的根．

31．关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．

32．对于实数m，n定义一种新运算“*”为：m*n=m2+mn，如3*2=32+3×2=15．

（1）若x*3=0，求x的值；

（2）如果关于x的方程*=－5有两个相等的实数根，求a的值．

33．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝0．

（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；

（2）当a为何值时，方程仅有一个根或是相同的根？求出此时a的值及方程的根．

34．已知关于x的方程x2+2kx+k2-1=0

（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2021的值．

35．已知关于x的方程(x－m)2－(x－m)＝0．

（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的两个根互为倒数，求m的值．

36．已知关于x的方程

（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一个根为3，求的值．

37．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝＝﹣

请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：

（1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值．

（2）已知方程x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，求的值．

（3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？

38．已知一元二次方程（m+1）x2+（2m﹣3）x+（m﹣2）＝0．

（1）如果方程有一根x1＝0，求m的值和另一个根x2．

（2）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

39．已知：关于x的方程

（1）求证：方程有两个不相等的实数根．

（2）设方程的两个根为如果，求k的取值范围．

40．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k﹣1＝0．

（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．

（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝14，求k的值．

41．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）设方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝14，求m的值．

42．已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：对于任意实数m，方程都有实数根；

（2）当m为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．

43．已知x1和x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x1+x2＝2+x1x2，求m的值．

44．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

45．已知关于x的方程 (k2+1)x2+(2k2+1)x+k2−1=0．

（1）证明：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；

（2）是否存在实数k，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值，如不存在，说明理由．

46．已知关于x的一元二次方程x2＋（2m﹣3）x＋m2＝0的两个不相等的实数根α，β满足＋＝1，求m的值．

47．已知关于的一元二次方程有实数根．

（1）求的取值范围；

（2）设此方程的两个根分别为，，若，求的值．

48．己知关于x的一元二次方程．

（1）判断该方程根的情况，并说明理由；

（2）若、是方程的两根，其和为正，且，求k的值；

（3）若等腰三角形的一边长为7，方程的两根、恰好是该三角形的另两条边长，求这个三角形的周长．

49．已知，是一元二次方程的两个实数根．

（1）求实数的取值范围；

（2）如果，满足不等式，且为整数，求的值．

50．已知关于x的一元二次方程x2－（2m＋1）x＋m2－4＝0有两个不相等的实数根．

（1）求实数m的取值范围；

（2）若，求实数m的值．

51．已知关于的一元二次方程有实数根．

（1）求实数的取值范围．

（2）如果方程的两个实数根为、，且满足等式，求的值．

52．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣1=0，

（1）求证：无论x取何值，方程总有两个不相等的实数根．

（2）若方程的两根为x1、x2，是否存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2，若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．

53．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根、满足，求的值．

54．已知关于x的一元二次方程，是否存在实数k，使得方程有两根分别为且满足，若有求出k的值；若没有，请说明理由．

55．已知关于的一元二次方程有实数根．

(1)求的取值范围

(2)若两实数根分别为和，且求的值．

56．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x=4m﹣3有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1•x2﹣x12﹣x22的最大值．