江苏省扬州市仪征市2023-2024学年七年级下学期期中4月数学试题（原卷版+解析版）

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（总分：150分 时间：120分钟）
友情提醒：所有试题的解答请在所提供的答题纸上作答，否则一律无效！
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上．）
1. 下列各组图形，可由一个图形平移得到另一个图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的基本性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】A、图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，符合平移性质，故正确；
B、图形由轴对称所得到，不属于平移，故错误；
C、图形由旋转所得到，不属于平移，故错误；
D、图形大小不一，大小发生变化，不符合平移性质，故错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．
2. 若，则“”内应填的运算符号为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，先分别计算这两个单项式的和差积与商，然后根据计算结果进行判断即可．解题关键是熟练掌握同底数幂乘除法则和合并同类项法则．
【详解】解：∵，
，
，
，
∴“”内应填的运算符号为：．
故选：C．
3. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 3，4，5C. 4，5，10D. 2，6，9
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，掌握构成三角形的三边关系是解题的关键，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，据此逐项分析即可.
【详解】解：、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
、，能构成三角形，故本选项符合题意；
、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
4. 计算，其中第一步运算的依据是（ ）
A. 同底数幂的乘法B. 积的乘方C. 幂的乘方D. 同底数幂的除法
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查积的乘方运算，关键是熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．根据题意可知，第一步运算的依据是积的乘方运算法则，积的乘方，等于每个因式乘方的积；
【详解】计算，其中第一步运算的依据积的乘方，
故选：．
5. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．根据定义进行判断即可．
【详解】解：A、不是对多项式进行变形，故选项错误，不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故选项错误，不符合题意；
C、是因式分解，故选项正确，符合题意；
D、等式右边不是整式的积的形式，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
6. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据图形判断各角之间的位置关系，再根据平行线的判定方法进行判断即可得解．
【详解】解：A. 和不是与形成的内错角或同位角或同旁内角，故不能判定；
B. 和是与形成的内错角，且，故能判定；
C. 和是与形成的内错角，且，故能判定；
D. 和是与形成的同旁内角，且，故能判定．
故选：A
【点睛】本题考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放型题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．
7. 如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点P，，，，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键；过E作， 由可以得到，由得到，．
【详解】过E作，

，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
8. 小刚把展开后得到，把展开后得到，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，利用完全平方公式得出、所对应的值，再进行化简计算即可．掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
又∵展开后得到，
∴，
∵，
又∵展开后得到，
∴，
∴，
∴值为．
故选：C．
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
9. 2023年9月，华为最新发售，据测速网监测，用手机下载一个的文件大约只需要秒，将用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，与较大数的科学记数法不同的是其所用的是负整数指数幂，熟记定义是解题的关键．根据科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法即可求解．
【详解】将数字用科学记数法表示为．
故答案为：．
10. 若x2﹣10x+m是一个完全平方式，则m的值为 ___．
【答案】25
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：∵x2-10x+m是一个完全平方式，
∴m==25．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了完全平方公式，常数项是等于一次项系数一半的平方．
11. 计算：__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．逆用积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：2．
12. 若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，根据提公因式法分解后代入数值解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
13. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是______．
【答案】7
【解析】
【分析】多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和都等于360°，故可列方程求解．
【详解】解：设所求多边形边数为n，
则（n-2）•180°=3×360°-180°，
解得n=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，关键是根据多边形的内角和和外角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
14. 若的展开式中不含的一次项，则实数的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键．
【详解】解：∵，
又∵展开式中不含的一次项，
∴，
∴，
∴实数的值为．
故答案为：．
15. 将两张三角形纸片如图摆放，量得，则的度数是________．

【答案】##40度
【解析】
【分析】利用三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：如图，在中，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的三角形的内角和定理，找到每一个三角形的内角是解题的关键．
16. 若，，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法，求代数式的值，解题的关键是将已知转化为，，再根据同底数幂的乘法求出和的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的值为．
故答案为：．
17. 如图，已知点、、分别为、、的中点，若四边形的面积为，则的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的面积，设，由三角形的中线得，，，，再根据四边形的面积为，即可得出答案．熟记三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
【详解】解：，
∵点、、分别为、、的中点，四边形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的面积为，即，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：．
18. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图①，已知点为的中点，连接，．将乙纸片放到甲的内部得到图②．已知甲、乙两个正方形边长之和为，图②的阴影部分面积为，则图①的阴影部分面积为________．

图① 图②
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法运算的应用，首先设甲的边长为，乙的边长为，根据已知条件求出，从而求出的值，然后由图1阴影部分的面积（甲的面积乙的面积），代入数据计算即可．解题关键是熟练掌握完全平方公式．
【详解】解：设甲的边长为，乙的边长为，由题意得：，
∴，
∵图②的阴影部分面积为，
∴，
∵，
，
①②得：，
∵甲的边长为，乙的边长为，
∴，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴图1阴影部分的面积（甲的面积乙的面积）
，
∴图①的阴影部分面积为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，整式的运算，
（1）先根据有理数的乘方，零指数幂及负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算即可；
（2）先根据积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法将原式化简，再合并同类项即可；
掌握相应的运算法则和运算公式是解题的关键．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
20. 因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查因式分解，
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
解题的关键是掌握分解因式的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解，注意：因式分解要彻底，要分解到不能分解为止．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
21. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】2.
【解析】
【分析】先利用单项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式进行计算，合并同类项后代入x、y的值进行计算即可．
【详解】解：原式=x2-4xy+4x2-y2-4x2+4xy-y2
= x2-2y2，
当x=-2，y=-1时，
原式=(-2)2-2×(-1)2
=2．
【点睛】本题考查了整式的混合运算——化简求值，恰当的利用法则和公式将原式进行化简是解决此题的关键．
22. 如图，在边长为个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题保留画图痕迹：
（1）画出；
（2）连接、，那么与的关系是_______；
（3）画出的边上的高．
【答案】（1）作图见解析
（2）平行且相等 （3）作图见解析
【解析】
【分析】（1）根据点、点可确定平移规律，即可作图；
（2）根据平移的性质可得结论；
（3）取格点，连接交的延长线于点即可．
【小问1详解】
解：如图，
∵在边长为个单位正方形网格中，经过平移后得到，且点的对应点为点，
∴先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，
则点先向右平移个单位，再向下平移个单位得到点；点先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，
连接、、，
则即为所作；
【小问2详解】
∵由（1）知：先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，且点是的点的对应点，点是点的对应点，
∴与的关系是：平行且相等，
故答案为：平行且相等；
【小问3详解】
如图，取格点，连接交的延长线于点，取格点、、，连接、、、、，
∵在边长为个单位的正方形网格中，
∴，，，
，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴线段是的边上的高，
则即为所作．
【点睛】本题属于作图—应用与设计作图，考查了平移的性质，全等三角形持判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，三角形高的定义等知识点．解题的关键是正确理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
23. 如图，在中，是边上的高，，．
（1）求度数；
（2）若是的角平分线，交于点，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，
（1）在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由是边上的高，可得出，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数；
（2）由平分，可得的度数，由是的外角，利用三角形外角的性质可得答案；
掌握三角形内角和定理及三角形外角的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵在中，，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
在中，，，
∴，
∴的度数为；
【小问2详解】
∵平分，
∴，
又∵是的外角，，
∴，
∴的度数为．
24. 已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）直接写出字母、、之间的数量关系为________．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的除法，
（1）根据幂的乘方直接解答即可；
（2）根据同底数幂的除法进行解答即可；
（3）根据同底数幂的除法求出，再和（2）的结论进行对比即可得出结论；
熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴；
【小问3详解】
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴字母a、b、c之间的数量关系为：．
故答案为：．
25. 如图，已知，．
（1）求证：
（2）若平分，交于点Q，且，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据得出，再与等量代换得到，即可证得；
（2）先根据三角形的外角性质得，再由得，再由平分得，最后根据三角形的内角和计算即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是平行线的性质与判定、三角形的外角性质、三角形的内角和等相关知识，熟记平行线的性质与判定是解题的关键．
26. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1）模拟练习，如图，写出一个我们熟悉的数学公式：_______；
（2）解决问题：如果，，求的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，
（1）用两种方法表示同一个图形面积即可．
（2）用（1）中得到的公式计算．
（3）将，当成两个字母后将公式进行变形即可；
掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
【小问1详解】
解：图中大正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为：，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
∵，，，
∴；
【小问3详解】
设，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴这个长方形的面积为．
27. 要度量作业纸上两条相交直线a、b所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接度量．

（1）小明的方案：画直线c与a、b相交，如图①，测得，，则__________（用含m、n的代数式表示）；
（2）小刚的方案：画直线c与a、b相交，再画、相邻的外角的角平分线交于点O，如图②，则得，则__________（用含p的代数式表示）；
（3）你还有其它方法求出吗？请在图③中补全，写出必要的文字说明．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形的内角和，计算角度差即可；
（2）利用的补角的一半、的补角的一半和的角度和为，可得的表达式，再结合（1）问解答即可；
（3）如图，画直线c与a、b相交，测得和，利用三角形外角的性质可得．
【小问1详解】
解：∵，和构成了三角形的三个内角，
∴
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵的补角的一半、的补角的一半和构成了三角形的三个内角，
∴，
∴，
∴，
结合（1）问解答可得
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图，画直线c与a、b相交，测得和，

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，补角，三角形外角的性质等知识；掌握三角形内角和定理是解题关键．
28. 【图形感知】
如图1，，点在直线上，点在直线上，点为、之间一点．

（1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程．
证明：如图①，过点作，
∵，（已知），
∴_________（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴，，
∴（等式性质）
∴．
（2）如图3，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得、、之间的关系是________；
【结论应用】直接利用上述结论进行证明；
（3）如图4，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点．猜想并证明与的数量关系．
【拓展延伸】
（4）如图5，已知，与两个角的角平分线相交于点．
若，，设，________．（用含有，的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质即可得证；
（2）由（1）得到，再结合邻补角的定义即可得到结论；
（3）结论：．利用上面结论以及角平分线的定义证明即可．
（4）设，，得，，继而得到，，由（1）知：
，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图①，过点作，
∵，（已知），
∴（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴，，
∴（等式性质）
∴．
故答案为：；
（2）解：．
理由：由（1）知：，
∵，，
∴
∴，
故答案为：；
（3）与的数量关系：．
证明：∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
即；
（4）解：设，，
∵，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，对顶角相等，角的和差等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用（1）中的结论解决问题．