2022-2023学年北京市西城区三帆中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市西城区三帆中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图是几何体的三视图，该几何体是( )
A. 圆锥
B. 圆柱
C. 正三棱柱
D. 正三棱锥
2. 我国神舟十五号载人飞船于2022年11月30日，在距地面约390000米的轨道上与中国空间站天和核心舱交会对接成功，将390000用科学记数法表示应为( )
A. 3.9×104B. 39×104C. 39×106D. 3.9×105
3. 将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为( )
A. 100°B. 105°C. 115°D. 120°
4. 有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A. |a|>|b|B. bd>0C. b+c>0D. a<−4
5. 已知一元二次方程x2−6x+m=0有实数根，则m的最大值是( )
A. 0B. 1C. 9D. −9
6. 科技节中，初一、初二年级各有2个班级在“和谐美妙声音”项目中获奖，学校决定从这4个班级中任意抽取2个班级参加展示，被抽选到的两个班级恰好来自同一个年级的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
7. 下列四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是( )
A. B. C. D.
8. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为x cm，另一条直角边的长为y cm，图②中的较小正方形面积为S cm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是( )
A. 一次函数关系，反比例函数关系B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，二次函数关系D. 反比例函数关系，一次函数关系
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若代数式 2x−1有意义，则实数x的取值范围是______．
10. 因式分解：xy2−6xy+9x= ______ ．
11. 已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是______．
12. 方程xx+1=1+1x的解为______．
13. 在平面直角坐标系xOy中，点P(m,n)在反比例函数y=−2x的图象上.若m>0，则点P在第______ 象限．
14. 为测量旗杆的高度，小辉的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上.测得DE=0.6米，EF=0.3米，目测点D到地面的距离DG=1.7米，到旗杆的水平距离DC=18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为 米.
15. 如图，△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，CP⊥AD于P，AB=6，AC=4，则PE的长为______ ．
16. 某校围棋社团由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①初一学生人数多于初二学生人数的2倍；
②初三学生人数多于教师人数；
③教师人数的四倍多于初一学生人数．
(1)若教师人数为3，则初二学生人数的最大值为______ ；
(2)该小组人数的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算： 8−2sin45°+|1− 2|+(12)−1．
18. (本小题5.0分)
解不等式组3x−8<2(1−x)5x+32≥x，并写出它的非负整数解．
19. (本小题5.0分)
已知a2−4a−3=0，求(a+3)(a−3)−(a+2)2+(ab)2÷b2的值．
20. (本小题5.0分)
证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC中点．
求证：DE//BC，DE=12BC．
下面是证明的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
21. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在线段AD的延长线上；点F在线段AD上，且DE=DF，连接BE，CE，BF，CF．
(1)求证：四边形BECF是菱形；
(2)若BA⊥BE,DE=2,BF=2 5，求BD和AB的长．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=m(x−2)+3(m>0)的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象的一个交点的横坐标为2．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当x<−2时，对于x的每一个值，反比例函数y=kx的值大于一次函数y=m(x−2)+3(m>0)的值，直接写出m的取值范围．
23. (本小题5.0分)
某中学在“青春助力⋅建团100周年”主题活动中，弘扬“五四”爱国、进步、民主、科学精神，加深学生对团史的了解，对全校104名少年团校的学生先后进行了三次团史知识问答活动.从中随机抽取20名少年团校学生三次知识问答的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.这20名学生三次知识问答的成绩情况统计图如下：

(1)①学生甲第1次知识问答的成绩是50分，则该生第3次知识问答的成绩是______ 分；
②团委规定：按第1次知识问答成绩占50%，第2次知识问答成绩占40%，第3次知识问答成绩占10%来计算参加三次知识问答学生的综合成绩.学生乙第2次知识问答成绩为80分，则该生知识问答的综合成绩是______ 分；
(2)补全这20名学生第2次知识问答的频数分布直方图：
(数据分成7组：30≤x<40，40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)．

(3)若成绩在90分及以上为优秀，估计该校少年团校学生在第3次知识问答活动中成绩达到优秀的人数．
24. (本小题6.0分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且点E为CD的中点.点F在弧AD上，过点F作⊙O的切线交CD的延长线于点G，交BA的延长线于点P，BF与CD交于点H．
(1)求证：∠G=2∠B；
(2)若⊙O的半径为4，sinG=35，求BF的长．
25. (本小题6.0分)
奥运会主火炬手小王练习射箭点火，他需要用火种点燃箭头，然后准确地射向70米远、20米高的火炬塔，火炬塔上面是一个弓形的圣火台，该弓形的弦记为AB，且火炬塔EF垂直平分AB，这支箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这支箭飞行的水平距离为d(单位：m)，距地面的竖直高度为h(单位：m)，获得数据如表：
小芳根据学习函数的经验，对函数h随自变量d的变化而变化的规律进行了研究，下面是小芳的探究过程，请补充完整：
(1)k的值为______ ；
(2)在平面直角坐标系中，描全以表中各对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；

(3)只要小王射出箭的轨迹与线段AB有公共点(AB=4)，那么这支箭就可以射入圣火台，请问小王是否可以将这支箭射入圣火台？答：______ (填“是”或者“否”)
(4)开幕式当晚，只要小王射出的箭能够进入圣火台上方边长为4米的正方形ABCD范围内(包含边界)，都可以顺利点燃主火炬，小芳发现，在射箭的初始角度和力量不变的情况下，小王还可以通过调整与火炬塔的水平距离来改变这支箭的飞行轨迹(即向右平移原抛物线)，若保证圣火被点燃，小王可以沿横轴正方向移动的最大距离是______ 米.(结果请保留根号)
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=mx2−3mx(m≠0)．
(1)当二次函数经过点A(−1,4)时．
①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标；
②一次函数y=−2x+b的图象经过点A，点(n,y1)在一次函数y=−2x+b的图象上，点(n+2,y2)在二次函数y=mx2−3mx的图象上.若y1(2)点M(t,yM)，N(t+1,yN)在二次函数图象上，且|m|≤|yM−yN|≤|4m|时，求t的取值范围．
27. (本小题7.0分)
已知：线段AB，点C是线段AB的中点，点D在直线AB上，线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，过B作BF⊥AE交AE的延长线于点F，交直线DE于点G．
(1)补全图形；
(2)在(1)中补全图形中，求AE与BG的数量关系；
(3)在(1)中补全图形中，用等式表示AB、EG、CD的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点C和圆P，给出如下定义：
若圆P上存在A、B两点，使得△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C是圆P的“等垂点”．

(1)当点P坐标为(3,0)，且圆P的半径为2时．
①如图1，若圆P上存在两点A(1,0)和B(3,2)，请直接写出此时圆P的“等垂点”C的坐标______ ；
②如图2，若直线y=x+b上存在圆P的“等垂点”，求b的取值范围；
(2)设圆P的圆心P在y轴上，半径为2．
若直线y=−x上存在点R，使半径为1的圆R上有点S是圆P的“等垂点”，请直接写出圆心P的纵坐标的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【解答】解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个等边三角形，
则可得出该几何体为正三棱柱．
故选：C．
【分析】如图：该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形状．
本题主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．
2.【答案】D
【解析】解：390000=3.9×105．
故选：D．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：如图，
∵AB//DE，
∴∠ABC=∠BED=30°，
又∵∠DEF=45°，
∴∠BEF=75°，
∴∠1=180°−∠BEF=105°，
故选：B．
根据平行线的性质可得∠ABC=∠BED=30°，再根据三角尺各角的度数以及邻补角的定义即可得∠1的度数．
此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
4.【答案】A
【解析】解：由数轴上点的位置得：−4则有：3<−a<4，1<−b<2，
即：|a|>|b|，bd<0，d−a>0，b+c<0，
故选：A．
根据数轴上点的位置，先确定各数的正负性质及绝对值的大小作出判断即可
此题考查了数轴，以及绝对值，熟练掌握各自的正负性质是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵一元二次方程x2−6x+m=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−6)2−4m≥0，
解得：m≤9，
∴m的最大值是9，
故选：C．
根据判别式的意义得Δ=(−6)2−4m≥0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：设初一的两个班级分别为A1、A2，初二的两个班级为B1、B2，
列树状图得：
，
一共有12种可能，被抽选到的两个班级恰好来自同一个年级的结果有4个，
∴被抽选到的两个班级恰好来自同一个年级的概率为412=13，
故选：B．
用树状图列出所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
本题考查了用列表法或树状图法求概率，用列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有等可能的结果，适合于两步完成的事件．
7.【答案】B
【解析】解：A、有2条对称轴；
B、有4条对称轴；
C、不是轴对称图形；
D、有1条对称轴．
故选B．
根据图形的组合特点和对称轴的概念，确定每个图形的对称轴的条数．
能够根据图形的组合特点，正确说出其对称轴的条数．
8.【答案】C
【解析】解：∵x+y=6，
则y=6−x，y与x满足一次函数关系，
∵S=x2+y2=x2+(6−x)2=2x2−12x+36，
则S与x满足二次函数关系，
故选：C．
根据题意和图形，可以分别写出y与x的关系和S与x的关系，从而可以得到y与x满足的函数关系和S与x满足的函数关系．
本题考查勾股定理，菱形的性质、一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式．
9.【答案】x≥12
【解析】解：若代数式 2x−1有意义，
则2x−1≥0，
解得：x≥12，
则实数x的取值范围是：x≥12．
故答案为：x≥12．
直接利用二次根式有意义的条件得出2x−1≥0，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
10.【答案】x(y−3)2
【解析】解：xy2−6xy+9x，
=x(y2−6y+9)，
=x(y−3)2．
故答案为：x(y−3)2．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11.【答案】65°
【解析】解：∵AB是⊙0的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠BAD=25°，
∴∠B=65°，
∴∠C=∠B=65°(同弧所对的圆周角相等)．
故答案为：65°．
因为AB是⊙O的直径，所以求得∠ADB=90°，进而求得∠B的度数，又因为∠B=∠C，所以∠C的度数可求出．
本题考查圆周角定理中的两个推论：①直径所对的圆周角是直角②同弧所对的圆周角相等．
12.【答案】x=−12
【解析】解：xx+1=1+1x，
x2=x(x+1)+x+1，
解得：x=−12，
检验：当x=−12时，x(x+1)≠0，
∴x=−12是原方程的根，
故答案为：x=−12．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验．
13.【答案】四
【解析】解：∵点P(m,n)在反比例函数y=−2x上，
∴mn=−2，
∵m>0，
∴n<0，
∴点P在第四象限．
故答案为：四．
由点P(m,n)在反比例函数y=−2x上，可得mn=−2，由m>0可得n<0，进而得出答案．
考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出n<0是解答此题的关键．
14.【答案】10.7
【解析】解：依题意，∠ADC=∠FDE，∠FED=∠ACD=90°，
∴△DEF∽△DCA，
∴DEDC=EFAC，
∵DE=0.6米，EF=0.3米，DC=18米，
∴AC=DC×EFDE=18×(米)，
∴AB=AC+DG=AC+BC=10.7(米)，
故答案为：10.7．
根据题意得出△DEF∽△DCA，进而根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：如图所示，延长CP交AB于点F，

∵△ABC中，AD是角平分线，
∴∠CAP=∠FAP，
∵CP⊥AD，
∴∠APC=∠APF，
又∵AP=AP，
∴△APC≌△APF(AAS)，
∴PC=PF，AC=AF=4，
则FB=AB−AF=AB−AC=2，
又AE是中线，则EC=EB，
∴PE是△BCF的中位线，
∴PE=12FB=1，
故答案为：1．
延长CP交AB于点F，证明P为CF的中点，进而根据三角形中位线的性质即可求解．
本题考查了中位线的性质与判定，掌握三角形中位线的性质与判定是解题的关键．
16.【答案】5 7
【解析】解：(1)设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，
根据题意得：x>2yz>a4a>x，且a=3，
解得：y<6，
∵x、y均为整数，
∴初二学生人数的最大值为5；
故答案为：5；
(2)设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，
根据题意得：x>2yz>a4a>x，
当a=1时，
即有：x>2yz>1x<4，
∵x、y、z、a均为正整数，
即解得：y=1z最小=2x=3，
此时团队总人数为：x+y+z+a=3+1+2+1=7(人)；
当a=2时，
即有：x>2yz>2x<8，
∵x、y、z、a均为正整数，
即解得：y最小=1z最小=3x最小=3，
此时小组总人数最小值为：x+y+z+a=3+1+3+2=9(人)，
可知随着老师的人数增加，小组总人数也增加，
即该小组人数最小值为7人；
故答案为：7．
①设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意①初一学生人数多于初二学生人数的2倍；②初三学生人数多于教师人数；③教师人数的四倍多于初一学生人数．列出不等式组得：x>2yz>a4a>x，即可求解；
②设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意①初一学生人数多于初二学生人数的2倍；②初三学生人数多于教师人数；③教师人数的四倍多于初一学生人数．列出不等式组得：x>2yz>a4a>x，即可求解．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
17.【答案】解：原式=2 2−2× 22+ 2−1+2
=2 2− 2+ 2−1+2
=2 2+1．
【解析】先化简二次根式、特殊角的三角函数值、取绝对值、负整数指数幂，再进行加减运算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算和二次根式的混合运算，负整数指数幂，掌握特殊角的三角函数值和二次根式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：3x−8<2(1−x)①5x+32≥x②，
解不等式①的：x<2，
解不等式②得：x≥−1，
∴不等式组的解集为−1≤x<2，
∴不等式组的非负整数解为0和1．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的非负整数解即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的非负整数解，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
19.【答案】解：(a+3)(a−3)−(a+2)2+(ab)2÷b2
=a2−9−(a2+4a+4)+a2b2×1b2
=a2−9−a2−4a−4+a2
=a2−4a−13，
∵a2−4a−3=0，
∴a2−4a=3，
∴a2−4a−13
=3−13
=−10．
【解析】先化简(a+3)(a−3)−(a+2)2+(ab)2÷b2，再由已知求得a2−4a值，把a2−4a的值代入计算即可．
本题考查了整式的化简求值，解题的关键是把a2−4a看作一个整体．
20.【答案】解：方法一：延长DE至F，使EF=DE，连接CF、CD、AF．

∵D、E分别是△ABC的边AB，AC中点，
∴AD=BD=12AB，AE=EC=12AC，
又∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD//CF，AD=CF，
∴BD//CF，BD=CF，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴DF//BC，DF=BC，即DE//BC，
∵EF=DE，
∴EF=DE=12DF，
∴DE=12BC；
方法二：过E作EF//AB交BC于F，过A作AM//BC交FE于M，

同理有：AD=BD=12AB，AE=EC=12AC，
∵EF//AB，AM//BC，
∴四边形AMFB是平行四边形，
∴AM=FB，AM//FB，AB=MF，
∴∠AME=∠EFC，∠MAE=∠ECF，∠AME=∠EFC，
∵AE=EC，
∴△AME≌△CFE(AAS)，
∴AM=FC，EM=EF，
∴EM=EF=12MF，
∵AB=MF，
∴EM=EF=12MF=12AB=AD=BD，
∵EF//AB，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴AM=ED，AM//ED，
∵AM=FC，AM=FB，AM//BC，
∴AM=12BC，
∴DE//BC，DE=12BC．
【解析】方法一：结合已给出的辅助线，先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明四边形BDFC是平行四边形，问题得证；
方法二：结合已给出的辅助线，先证明四边形AMFB是平行四边形，再证明△AME≌△CFE，接着证明四边形AMED是平行四边形，问题得证；
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质证明等知识，掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
21.【答案】(1)证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点E在线段AD的延长线上，
∴BD=CD，EF⊥BC，
∵DE=FD，
∴EF，BC互相垂直平分，
∴四边形BECF是菱形；
(2)解：∵EF⊥BC，BA⊥BE，
∴∠EDB=∠EBA=∠ADB=90°，
∴∠EBD=∠BAE=90°−∠AEB，
∴△BDE∽△ADB，
∴DEBD=BEAB，
∵四边形BECF是菱形，
∴BE=BF=2 5，
∴BD= BE2−DE2=4，
∴24=2 5AB，
∴AB=4 5．
【解析】(1)根据等腰三角形三线合一，得到BD=CD，利用对角线互相垂直平分的四边形为菱形，即可得证；
(2)利用勾股定理求出BD，证明△BDE∽△ADB，利用相似的性质求出AB即可．
本题考查等腰三角形的性质，菱形的判定，勾股定理，熟练掌握菱形的判定方法，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=m(x−2)+3(m>0)的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象的一个交点的横坐标为2，
∴当x=2时，y=m(x−2)+3=3，
∴交点的坐标为：(2,3)，
将(2,3)代入反比例函数y=kx中，有：3=k2，
∴k=6，
∴反比例函数解析式为：y=6x；
(2)当x=−2时，y=6x=−3，即B(−2,−3)，
当一次函数y=m(x−2)+3过B(−2,−3)时，
即有：y=m(−2−2)+3=−3，
解得：m=32，
此时一次函数解析式为：y=32(x−2)+3=32x，
∵一次函数y=m(x−2)+3(m>0)的图象与反比例函数y=6x的图象相交于点(2,3)，
∴一次函数y=m(x−2)+3(m>0)的图象恒过点(2,3)，
如图，

∵当x<−2时，对于x的每一个值，反比例函数y=kx的值大于一次函数y=m(x−2)+3(m>0)的值，
又∵一次函数中，自变量的系数越大，直线与x轴的夹角(锐角)度数越大，
∴m>32，
即m的取值范围为：m>32．
【解析】(1)利用一次函数的解析式求出交点坐标，问题随之得解；
(2)当x=−2时，y=6x=−3，即B(−2,−3)，当一次函数y=m(x−2)+3过B(−2,−3)时，可得m=32，此时一次函数解析式为：y=32(x−2)+3=32x，根据一次函数y=m(x−2)+3(m>0)的图象恒过点(2,3)，当x<−2时，对于x的每一个值，反比例函数y=kx的值大于一次函数y=m(x−2)+3(m>0)的值，结合图象可知一次函数中，自变量的系数越大，直线与x轴的夹角(锐角)度数越大，由此数形结合即可作答．
本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，求解反比例函数解析式等知识，注重数形结合是解答本题的关键．
23.【答案】50 70
【解析】解：(1)①结合两幅成绩情况统计图，如下：

甲同学第一次问答50分，第二次分数接近50分，据此可知第三次问答的成绩50分，
故答案为：50；
②学生乙第2次知识问答成绩为80分，结合两幅成绩情况统计图，如下：

结合成绩情况统计图，可知乙同学三次的成绩分别为60分、80分、80分，
即乙同学的综合成绩为：60×50%+80×40%+80×10%=70分，
故答案为：70．
(2)结合两幅成绩情况统计图，可知：第2次知识问答中，50≤x<6(0分)数段人数为：1人，80≤x<9(0分)数段人数为：6人，
补全图形如下：

(3)结合成绩情况统计图，可知：第3次知识问答中，90≤x≤100分数段人数为：5人，
即：104×520=26(人)，
答：校少年团校学生在第3次知识问答活动中成绩达到优秀的人数为26人．
(1)①结合两幅成绩情况统计图，甲同学第一次问答5(0分)，第二次分数接近5(0分)，据此可知第三次问答的成绩，问题得解；②结合成绩情况统计图，可知乙同学三次的成绩分别为6(0分)、8(0分)、8(0分)，问题得解；
(2)结合两幅成绩情况统计图，得出相应分数段的人数，据此补全图形即可；
(3)结合成绩情况统计图，可知第3次知识问答活动中成绩达到优秀的人数为5人，据此求出其占比，再乘以总人数即可求解．
本题主要考查了条形统计图，加权平均数以及利用样本估计总体等知识，注重数形结合是解答本题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接OF，

∵GF为⊙O的切线，
∴OF⊥GF，
∴∠OFP=90°，
∴∠AOF+∠P=90°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且点E为CD的中点，
∴AE⊥CD，
∴∠PEG=90°，
∴∠G+∠P=90°，
∴∠G=∠AOF=2∠B；
(2)解：∵⊙O的半径为4，
∴AB=8，OF=4，
∵∠G=∠AOF，
∴sin∠POF=sinG=35，
在Rt△OFP中，sin∠POF=PFOP=35，
设PF=3x，OP=5x，则：OF= OP2−PF2=4x=4，
∴x=1，
∴PF=3，OP=5，
∴AP=OP−OA=1；
连接AF，则：∠AFB=90°，

∴∠PFA=∠OFB=90°−∠AFO，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠PFA=∠B，
∵∠P=∠P，
∴△PFA∽△PBF，
∴BFAF=PFAP=3，
∴BF=3AF，
在Rt△AFB中，AB2=AF2+BF2=AF2+(3AF)2=10AF2=64，
∴AF=4 105或AF=−4 105(舍掉)，
∴BF=3AF=12 105．
【解析】(1)连接OF，易得OF⊥PG，AB⊥CG，可得∠G=∠POF，圆周角定理，得到∠AOF=2∠B，即可得证；
(2)连接AF，得到∠AFB=90°，根据∠G=∠POF，得到sin∠POF=35，求出PF，PO，进而求出AP的长，证明△PFA∽△PBF，求出AF，BF的数量关系，再利用勾股定理进行求解即可．
本题考查垂径定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
25.【答案】22.5 是 22−5 10
【解析】解：(1)∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
根据表格数据和二次函数图象的对称的性质可得：对称轴为直线d=50，
∴d=70与d=30时的函数值相等，
∵当d=30时，h=22.5，
∴当d=70时，k=22.5．
故答案为：22.5．
(2)先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图：

(3)设二次函数的解析式为：h=a(d−50)2+26.5，
当d=40时，h=25.5，
∴a(40−50)2+26.5=25.5，
解得：a=−0.01，
∴二次函数的解析式为h=−0.01(d−50)2+26.5，
当d=72时，
h=−0.01×(72−50)2+26.5=−4.84+26.5=19.66<20，
∴小王可以将这支箭射入圣火台．
故答案为：是；
(4)由(3)可知：二次函数的解析式为h=−0.01(d−50)2+26.5，
∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图象左右平移可以保证圣火被点燃，
依题意，正方形左下角的点A的坐标为(68,20)，右上角的点B的坐标为(72,24)，
设前进n(n>0)米，即抛物线向右平移n米，当抛物线经过正方形的右上角的点B(72,24)时，
∴24=−0.01(72−50−n)2+26.5，
解得：n1=22−5 10，n2=22+5 10(不合题意，舍去)，
故答案为：22−5 10．
(1)根据抛物线的对称性结合表格数据可知当d=70与d=30时的函数值相等，据此即可求解；
(2)先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可；
(3)先求得抛物线的解析式，再求出当d=72时所对应的h的值，再和20作比较即可；
(4)利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点A的坐标和右上角的点B的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解．
本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图象，二次函数图象的平移．根据函数图象获取信息解题的关键．
26.【答案】解：(1)①∵二次函数y=mx2−3mx(m≠0)经过点A(−1,4)，
∴m+3m=4，
∴m=1，
∴二次函数解析式为y=x2−3x=(x−32)2−94，
∴二次函数的顶点坐标为(32,−94)；
②∵一次函数y=−2x+b的图象经过A(−1,4)，
∴4=2+b，
∴b=2，
∴一次函数解析式为y=−2x+2，
∵点(n,y1)在一次函数y=−2x+2的图象上，点(n+2,y2)在二次函数y=x2−3x的图象上，
∴y1=−2n+2，y2=(n+2)2−3(n+2)=n2+n−2，
∵y1∴−2n+2∴n2+3n−4>0，
令y=x2+3x−4，
在y=x2+3x−4中，当y=0时，即x2+3x−4=0，
解得x=1或x=−4，
∴由函数图象可知，当x>1或x<−4时，y=x2+3x−4>0，
∴当n>1或n<−4时，y1
(2)∵点M(t,yM)，N(t+1,yN)在二次函数图象上，
∴yM=mt2−3mt，yN=m(t+1)2−3m(t+1)=mt2−mt−2m，
∴yM−yN=mt2−3mt−(mt2−mt−2m)=−2mt+2m，
∵|m|≤|yM−yN|≤|4m|，
∴|m|≤|−2mt+2m|≤|4m|，
∴1≤|−2t+2|≤4，
∴1≤−2t+2≤4或1≤2t−2≤4，
解得：−1≤t≤12或32≤t≤3．
【解析】(1)①利用待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式求出其顶点坐标即可；②先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出y1=−2n+2，y2=n2+n−2，根据y10，令y=x2+3x−4，利用二次函数的性质求出当x>1或x<−4时，y=x2+3x−4>0，则当n>1或n<−4时，y1(2)先求出yM=mt2−3mt，yN=mt2−mt−2m，则yM−yN=−2mt+2m，再由|m|≤|yM−yN|≤|4m|，得到1≤|−2t+2|≤4，解不等式组即可得到答案．
本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，解不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键．
27.【答案】解：(1)补全图形如下：

(2)AE=BG，理由如下：
连接BE，如图，

∵线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，
∴CD=CE，AB⊥CE，即∠CDE=∠CED=45°，
∵点C是线段AB的中点，
∴CE垂直平分线段AB，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE，
∵∠CDE=∠CED=45°，
∴∠A+∠AED=45°，
∵∠AED=∠GEF，
∴∠A+∠GEF=45°，
∵BF⊥AE，
∴∠G+∠GEF=90°，
∴∠G=90°−∠GEF，
∵∠A=∠ABE，∠A+∠ABE=∠FEB，
∴2∠A=∠FEB，
∴∠BEG=∠FEB+∠GEF=2∠A+∠GEF，
∵∠A+∠GEF=45°，
∴∠BEG=90°−∠GEF，
∴∠BEG=∠G，
∴BE=BG，
∴AE=BG；
(3) 2EG+2CD=AB，理由如下：
过B作BH⊥DG交DG于点H，如图，

在(2)中已证明AE=BG，∠CDE=∠CED=45°，
∵BH⊥DG，
∴EH=12EG，∠CDE=∠HBD=45°，
利用勾股定理可得：DH= 22BD，
∵∠CDE=∠CED=45°，AB⊥CE，
利用勾股定理可得：CD=EC= 22DE，
∴EH=DH−DE= 22BD− 2CD，
∵EH=12EG，
∴12EG= 22BD− 2CD，
∵BD=CD+BC=CD+12AB，
∴12EG= 22(CD+12AB)− 2CD，
整理： 2EG+2CD=AB．
【解析】(1)按照题目要求补全图形即可；
(2)连接BE，先证明∠A+∠GEF=45°，再表示出∠G=90°−∠GEF，∠BEG=90°−∠GEF，问题随之得解；
(3)过B作BH⊥DG交DG于点H，根据等腰直角三角形的性质即可作答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质以及三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键．
28.【答案】(1,4)，(5,0)
【解析】解：(1)①∵点P坐标为(3,0)，且圆P的半径为2，
∴圆P的与x轴的交点为：A(1,0)，C2(5,0)，
连接BP，AB，连接BC2，过A点作AC1⊥AC2交C2B的延长线于点C1，如图，

∵B(3,2)，点P坐标为(3,0)，
∴BP⊥AC2，
∵AC2为圆P的直径，BP=AP=PC2，
∴∠ABC2=90°，∠BC2P=45°，
∴△BC2A是等腰直角三角形，
∵AC1⊥AC2，
∴∠C1AC2=90°，
∴∠AC1C2=45°，即△C1AC2是等腰直角三角形，
∴AC1=AC2=4，
∵∠ABC2=90°，
∴∠ABC1=90°，
∴△BC1A是等腰直角三角形，
综上：即圆P的“等垂点”为点C1和C2，
∵AC1=4，AC1⊥AC2，A(1,0)，
∴C1(1,4)，
故答案为：(1,4)，(5,0)；
②当直线y=x+b再圆P上方时，此时以直径AB为腰构造等腰Rt△ABC1，
此时使得点C1刚好在直线y=x+b上，此时为上临界位置，如图，

即有：B(1,0)，A(5,0)，BC1=AB=4，BC1⊥AB，
∴C1(1,4)，
∵C1(1,4)在直线y=x+b上，
∴y=1+b=4，即b=3；
当直线y=x+b再圆P下方时，此时以直径AB为腰构造等腰Rt△ABC2，
此时使得点C2刚好在直线y=x+b上，此时为下临界位置，如图，

即有：A(1,0)，B(5,0)，BC2=AB=4，BC2⊥AB，
∴C2(5,−4)，
∵C2(5,−4)在直线y=x+b上，
∴y=5+b=−4，即b=−9；
综上：b的取值范围：−9≤b≤3；
(2)随着圆R的移动，圆R的覆盖区域为直线y1=−x+a与直线y2=−x+b所夹的区域，如图所示，
+
即有直线y1=−x+a与直线y2=−x+b均与圆R相切，
设直线y2=−x+b与x轴交于点F，与y轴交于点N，过O点作直线y2=−x+b的垂线OE，交于直线y2=−x+b于点E(也为切点)，
当y2=0时，x=b，当x=0时，y2=b，
∴ON=OF=|b|=b，
∴△NOF是等腰直角三角形，
∵圆R的半径为1的，
∴OE=1，
∴ON=OF=1sin45∘= 2，
∴b=ON=OF= 2，
∴即直线y2=−x+b解析式为：y2=−x+ 2，
同理可得：直线y1=−x+a解析式为：y1=−x− 2，
当圆P位于x轴的上方时，此时以直径AB为腰构造等腰Rt△ABS，
此时使得点S刚好在直线直线y2=−x+ 2上，为临界位置，
如图，
+
∵圆P的圆心P在y轴上，半径为2，
∴AB=4，
∴BS=AB=4，
∴点S的横坐标为：−4，
∴y2=−x+ 2=4+ 2，即OB=4+ 2，
∴OP=OB+PB=4+ 2+2=6+ 2；
当圆P位于x轴的下方时，此时以直径AB为腰构造等腰Rt△ABS，
此时使得点S刚好在直线直线y1=−x− 2上，为临界位置，
如图，

同理可求得：OP=OB+PB=4+ 2+2=−6− 2；
即：圆心P的纵坐标的取值范围为：−6− 2≤yP≤6+ 2．
(1)①连接BP，AB，连接BC2，过A点作AC1⊥AC2交C2B的延长线于点C1，再根据“等垂点”定义即可作答；②当直线y=x+b再圆P上方时，此时以直径AB为腰构造等腰Rt△ABC1，此时使得点C1刚好在直线y=x+b上，此时为上临界位置，即可求出C1(1,4)，将C1(1,4)代入直线y=x+b，可得b=3；当直线y=x+b再圆P下方时，此时以直径AB为腰构造等腰Rt△ABC2，此时使得点C2刚好在直线y=x+b上，此时为下临界位置，问题即可求解；
(2)随着圆R的移动，圆R的覆盖区域为直线y1=−x+a与直线y2=−x+b所夹的区域，再求出即直线y2=−x+b解析式为：y2=−x+ 2，直线y1=−x+a解析式为：y1=−x− 2，当圆P位于x轴的上方时，此时以直径AB为腰构造等腰Rt△ABS，此时使得点S刚好在直线直线y2=−x+ 2上，为上临界位置；当圆P位于x轴的下方时，此时以直径AB为腰构造等腰Rt△ABS，此时使得点S刚好在直线直线y1=−x− 2上，为下临界位置，画出图形即可求解．
本题是一道与圆相关的综合题，考查了一次函数的性质，圆与直线的位置关系，等腰三角形的性质等知识，还运用到了解直角三角形的知识，正确理解“等垂点”的含义是解答本题的关键．
方法一
证明：如图，延长DE至F，使EF=DE，连接CF、CD、AF．
方法二
证明：如图，过E作EF//AB交BC于F，过A作AM//BC交FE于M．
d(单位：m)
0
10
20
30
40
50
60
70
h(单位：m)
1.5
10.5
17.5
22.5
25.5
26.5
25.5
k