2023-2024学年江苏省苏州市新区实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市新区实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5B．5C．D．﹣
2．若把一个数用科学记数法表示后为﹣3.96×105，则这个数是（ ）
A．﹣39600B．﹣396000
C．0.0000396D．0.00000396
3．下列计算正确的是（ ）
A．﹣a2b+ba2＝0B．3（a+b）＝3a+b
C．x2+2x2＝3x4D．2m+3n＝5mn
4．学校篮球队队员进行定点投篮训练，每人投篮10次，其中5名队员投中的次数分别是：6，7，6，9，8，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．6，6B．7，6C．6，7D．7，8
5．将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到（ ）
A．y＝﹣（x﹣3）2+4B．y＝（x﹣3）2+4
C．y＝﹣（x+3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣4
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝72°．过点O作BC的垂线交于点D，连接BD，则∠D的度数为（ ）
A．64°B．54°C．46°D．36°
7．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则二次函数y＝（m+1）x2+m﹣1的图象必经过第（ ）象限．
A．一、二象限B．三、四象限
C．一、二、三象限D．一、三、四象限
8．若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（ ）
A．s＜﹣1B．s＜0C．0＜s＜1D．﹣1＜s＜0
二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）
9．函数在实数范围内有意义的条件是 ．
10．分解因式：xy2﹣4x＝ ．
11．一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则此圆锥的侧面积为 ．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝ ．
13．如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式的解集是 ．
14．如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ．
15．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝6，D是BC的中点，E是AC边上的一点，连接DE，以DE为边作等腰直角△DEF，∠DFE＝90°，FD＝FE，若，则线段CE的长为 ．
16．如图，在▱ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，若，∠BAE＝45°，则对角线BD的最大值为 ．
三、解答题（本题满分0分，共11小题）
17．计算：．
18．解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
19．化简，从1，﹣1，2中选一个适合的数作为a的值代入求值．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若AD＝8，求△BDE的面积．
21．一个不透明的箱子里装有1个白色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于0.25左右．
（1）请你估计箱子里红色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
22．快递使我们的生活更加便捷，可以说，快递改变了我们的生活．为了解我国的快递业务情况，我们收集了2022年11月全国31个省的快递业务数量（单位：亿件）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息：
a．2022年11月快递业务量排在前3位的省的数据分别为：275.2，225，74.8，
b．其余28个省份2022年11月的快递业务数量的数据的频数分布图如图：
c.2022年11月的快递业务数量的数据在10≤x＜20这一组的是：10.3，11，15.5，16.3，17.8，根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）2022年11月的31个省的快递业务数量的中位数为 ；
（3）若设图中28个省份平均数为，方差为；设31个省份的平均数为，方差为s2，则 ， s2（填“＞”“＝”或“＜”）．
23．如图，直线y＝x与双曲线交于点A．将直线y＝x向右平移4个单位长度后，与双曲线交于点B，与x轴交于点C．
（1）若OA＝2BC，则k的值；
（2）在（1）的条件下，若点A的横坐标为，求S△AOB．
24．加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700，乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．
（1）当x为多少m2时，y是35元/m2；
（2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
25．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（2）若AE＝6，BE＝8，求EF的长．
26．综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系： ，∠BDC＝ °；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系： ；
（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝4，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝2，则S△ABP＝ ．
27．已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物C1：y＝﹣+bx（b为常数）上的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2
（1）求b的值；
（2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝﹣+1（m＞0）．
探究下列问题：
①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线C2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C2的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为点F，如果对抛物线C1上的任意一点P，在抛物线C2上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．
参考答案
一、单选题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）
1．﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5B．5C．D．﹣
【分析】根据相反数的定义直接求得结果．
解：﹣5的相反数是5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2．若把一个数用科学记数法表示后为﹣3.96×105，则这个数是（ ）
A．﹣39600B．﹣396000
C．0.0000396D．0.00000396
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：﹣3.96×105＝﹣396000．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列计算正确的是（ ）
A．﹣a2b+ba2＝0B．3（a+b）＝3a+b
C．x2+2x2＝3x4D．2m+3n＝5mn
【分析】根据合并同类项的法则判断A、C、D，根据去括号法则判断B．
解：A、﹣a2b+ba2＝0，故本选项运算正确，符合题意；
B、3（a+b）＝3a+3b，故本选项运算错误，不符合题意；
C、x2+2x2＝3x2，故本选项运算错误，不符合题意；
D、2m与3n不是同类项，不能合并成一项，故本选项运算错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了整式的加减，掌握合并同类项与去括号法则是解题的关键．
4．学校篮球队队员进行定点投篮训练，每人投篮10次，其中5名队员投中的次数分别是：6，7，6，9，8，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．6，6B．7，6C．6，7D．7，8
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
解：投中次数6的人数最多，故众数是6；
共有数据5个，由小到大排序后第3个数是7，所以中位数是7．
故选：C．
【点评】本题主要考查众数、中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到（ ）
A．y＝﹣（x﹣3）2+4B．y＝（x﹣3）2+4
C．y＝﹣（x+3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣4
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
解：将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+4．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝72°．过点O作BC的垂线交于点D，连接BD，则∠D的度数为（ ）
A．64°B．54°C．46°D．36°
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠BDC＝180°﹣∠A＝108°，根据垂径定理得到E是边BC的中点，得到BD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠ODC＝∠BDC，即可求出∠ODB的度数．
解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝72°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣∠A＝108°，
∵OD⊥BC，
∴E是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝54°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，根据垂径定理证得E是边BC的中点，圆周角定理求出∠BDC的度数是解决问题的关键．
7．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则二次函数y＝（m+1）x2+m﹣1的图象必经过第（ ）象限．
A．一、二象限B．三、四象限
C．一、二、三象限D．一、三、四象限
【分析】先根据一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根判断出m的取值范围，再判断出m+1与m﹣1的符号进而可得出结论．
解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，
∴Δ＝4+4m＜0，
解得m＜﹣1，
∴m+1＜0，m﹣1＜0，
∴二次函数y＝（m+1）x2+m﹣1的图象必经过第三、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
8．若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（ ）
A．s＜﹣1B．s＜0C．0＜s＜1D．﹣1＜s＜0
【分析】将（k，2k）代入二次函数，得（t+1）k2+tk+s＝0，是关于k的二次方程．若它总有两个不同的实根，必有Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．t2﹣4s（t+1）是关于t的一元二次方程，其图象开口向上，若它恒大于0，则与x轴无交点，故有Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，解此一元二次不等式即可．
解：将（k，2k）代入二次函数，得2k＝（t+1）k2+（t+2）k+s，整理得（t+1）k2+tk+s＝0．
∵（t+1）k2+tk+s＝0是关于k的一元二次方程，总有两个不同的实根，
∴Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．
令f（t）＝t2﹣4s（t+1）＝t2﹣4st﹣4s
∵f（t）＞0，
∴Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，
即Δ＝s（s+1）＜0，解得0＞s＞﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一定要牢牢掌握并灵活运用．
二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）
9．函数在实数范围内有意义的条件是 x≥1且x≠2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
解：由题意得x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2，
故答案为：x≥1且x≠2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
10．分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则此圆锥的侧面积为 3π ．
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式可计算出此圆锥的侧面积．
解：根据题意得此圆锥的侧面积＝×2π×1×3＝3π．
故答案为：3π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝ 4 ．
【分析】先根据点A和点B的坐标求出该抛物线的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到点D的横坐标，从而可以求得CD的长．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝2，
∵抛物线与y轴相交于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，
∴点D的横坐标为：2×2﹣0＝4，
∴CD＝4﹣0＝4，
故答案为：4
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式的解集是 ﹣1＜x＜0或x＞2 ．
【分析】根据不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可求解．
解：由题意得，不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集是﹣1＜x＜0或x＞2．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞2．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数图象交点问题，利用函数图象求不等式的解集，正确理解一次函数与反比例函数图象是解题的关键．
14．如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 y＝﹣（x＜0） ．
【分析】连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD≌△OAE，设A点坐标为（a，），得出OD＝AE＝，CD＝OE＝a，最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式．
解：如图，连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y＝的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC＝OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE＝90°，
∵∠DOC+∠DCO＝90°，
∴∠DCO＝∠AOE，
∵在△COD和△OAE中，，
∴△COD≌△OAE（AAS），
设A点坐标为（a，），则OD＝AE＝，CD＝OE＝a，
∴C点坐标为（﹣，a），
∵﹣•a＝﹣8，
∴点C在反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上．
故答案为：y＝﹣（x＜0）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．
15．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝6，D是BC的中点，E是AC边上的一点，连接DE，以DE为边作等腰直角△DEF，∠DFE＝90°，FD＝FE，若，则线段CE的长为 ．
【分析】取AC中点G，连接DG，连接AD，连接GF并延长交AD于点H，由等腰直角三角形的性质结合解直角三角形得出∠1＝∠2，，证明△DFG∽△DEC，得出∠5＝∠C＝45°，证明△GHD≌△GHA（SAS），得出∠GHD＝∠GHA，HD＝HA，证明HG为△ADC中位线，得出，再由相似三角形的性质可得，计算即可得出答案．
解：如图，取AC中点G，连接DG，连接AD，连接GF并延长交AD于点H，
，
∵D为BC的中点，
∴AD为BC中线，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AD⊥BC，，
∵G为AC中点，
∴DG为AC中线，
∵AD＝CD＝3，
∴DG⊥AC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵DG为AC中线，
∴，DG平分∠ADC，
∵DG平分∠ADC，
∴，
∵△DEF是等腰直角三角形，DF＝EF，∠DFE＝90°，
∴∠FDE＝∠4＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∵∠GDC＝∠2+∠3＝45°，
∴∠1＝∠2，
∵∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC＝45°，
∵∠DFE＝90°，∠FDE＝45°，
∴∠4＝45°，
∵，，
∴，
∴△DFG∽△DEC，
∴∠5＝∠C＝45°，
∵∠6＝∠DAG﹣∠5＝45°，
∴∠6＝∠5，
∴△GHD≌△GHA（SAS），
∴∠GHD＝∠GHA，HD＝HA，
∵∠GHD+∠GHA＝180°，
∴∠GHD＝∠GHA＝90°，
∵HD＝HA，
∴HG垂直平分AD，
∵F为HG上一点，
∴，
∵HD＝HA，
∴，
∴，
∵G为AC中点，H为AD中点，
∴HG为△ADC中位线，
∴，
∴FG＝HG﹣HF＝1，
∵△DFG∽△DEC，
∴，
∵，
∴，
∵FG＝1，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识点熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
16．如图，在▱ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，若，∠BAE＝45°，则对角线BD的最大值为 ．
【分析】在BC的延长线上取一点F，使，连接DF，证明△ABE≌△DCF（SAS）得出∠CDF＝∠BAE＝45°，以CF为边在CF上方作等腰直角三角形OCF，∠COF＝90°，OC＝OF＝2，以O为圆心，OC长为半径⊙O，则点D在⊙O上，连接BO交⊙O于点N，延长BO交⊙O于点M，则BD的最小值为BN的长，最大值为BM的长，过点O作OG⊥CF于G，则，求出BN、BM的长即可得出答案．
解：∵E是边BC的中点，，
∴，
如图，在BC的延长线上取一点F，使，连接DF，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠CDF＝∠BAE＝45°，
以CF为边在CF上方作等腰直角三角形OCF，
∴∠COF＝90°，OC＝OF＝2，
以O为圆心，OC长为半径⊙O，则点D在⊙O上，连接BO交⊙O于点N，延长BO交⊙O于点M，则BD的最小值为BN的长，最大值为BM的长，过点O作OG⊥CF于G，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴BD的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
三、解答题（本题满分0分，共11小题）
17．计算：．
【分析】先计算特殊角三角函数、二次根式、负整数次幂、绝对值，再进行加减运算．
解：
＝
＝
＝．
【点评】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角三角函数、二次根式、负整数次幂、绝对值等知识点，正确计算是解题的关键．
18．解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可得解．
解：，
解不等式①得，x＜2，
解不等式②得，x≥﹣1，
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
19．化简，从1，﹣1，2中选一个适合的数作为a的值代入求值．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出a不能为﹣1、1和0，取a＝2，最后代入求出答案即可．
解：
＝[﹣]
＝÷
＝•
＝﹣（a﹣1）
＝1﹣a，
要使分式有意义，必须a+1≠0且a﹣1≠0且a≠0，
所以a不能为﹣1、1和0，
取a＝2，
所以原式＝1﹣2＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若AD＝8，求△BDE的面积．
【分析】（1）根据已知条件证得DE是∠BDC的平分线，得到∠EDB＝∠EDC，进而证得∠ABD＝∠EDB，得到AB∥DE，根据平行四边形的判定证得四边形ABED是平行四边形，再证得AB＝AD，可得四边形ABED是菱形；
（2）根据平行线的性质证得∠ADC＝90°，进而推出∠EDC＝30°，由三角函数的定义求出CD，根据三角形的面积公式即可求出△BED的面积．
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°
∴EC⊥DC，
∵EF⊥BD，EF＝EC，
∴DE是∠BDC的平分线，
∴∠EDB＝∠EDC，
∵∠ADB＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠EDB，
∵∠ADB＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABED是菱形；
（2）解：由（1）得四边形ABED是菱形，
∴DE＝BE＝AD＝8，
∵AD∥BC，∠C＝90°，∠ADC＝90°，
∵∠EDB＝∠EDC＝∠ADB，
∴∠EDC＝30°，
∴CD＝DE•cs30°＝8×＝4，
∴S△BED＝BE•CD＝×8×4＝16．
【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的面积公式，角平分线的判定，由角平分线的性质结合已知条件推出∠ABD＝∠EDB是解决问题的关键．
21．一个不透明的箱子里装有1个白色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于0.25左右．
（1）请你估计箱子里红色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【分析】（1）根据摸到白色小球的频率稳定于0.25左右，得到摸到白色小球的概率是0.25，设红色小球的个数为x，根据概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，求出概率即可．
解：（1）∵摸到白色小球的频率稳定于0.25左右，
∴摸到白色小球的概率是0.25，
设红色小球的个数为x，由题意，得：，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解；
∴箱子里红色小球的个数为3；
（2）画出树状图，如下：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为．
【点评】本题考查利用频率估计概率，利用概率求小球的数量，以及画树状图求概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，求出小球的数量，是解题的关键．
22．快递使我们的生活更加便捷，可以说，快递改变了我们的生活．为了解我国的快递业务情况，我们收集了2022年11月全国31个省的快递业务数量（单位：亿件）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息：
a．2022年11月快递业务量排在前3位的省的数据分别为：275.2，225，74.8，
b．其余28个省份2022年11月的快递业务数量的数据的频数分布图如图：
c.2022年11月的快递业务数量的数据在10≤x＜20这一组的是：10.3，11，15.5，16.3，17.8，根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）2022年11月的31个省的快递业务数量的中位数为 15.9 ；
（3）若设图中28个省份平均数为，方差为；设31个省份的平均数为，方差为s2，则 ＜ ， ＜ s2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】（1）用28分别减去其他五组的频数可得20≤x＜30这一组数的频数，进而补全条形统计图；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）根据平均数和方差的意义解答即可．
解：（1）20≤x＜30这一组数的频数为：28﹣14﹣5﹣2﹣2﹣1＝4，
补全条形统计图如下：
（2）2022年11月的31个省的快递业务数量的中位数为：＝15.9，
故答案为：15.9；
（3）若设图中28个省份平均数为，方差为；设31个省份的平均数为，方差为s2，则＜，＜s2．
故答案为：＜；＜．
【点评】本题考查频数分布直方图、加权平均数，方差、中位数，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
23．如图，直线y＝x与双曲线交于点A．将直线y＝x向右平移4个单位长度后，与双曲线交于点B，与x轴交于点C．
（1）若OA＝2BC，则k的值；
（2）在（1）的条件下，若点A的横坐标为，求S△AOB．
【分析】（1）由平移的性质得直线BC的解析式为：y＝x﹣4，由OA、BC的表达式知，两条直线和x轴正半轴的夹角均为45°，当OA＝2BC时，yA＝xA＝2yB，设点A（2a，2a），则点B（a+4，a），结合题意得出2a×2a＝（a+4）a，求解即可得出答案；
（2）由题意得出点A的坐标为，点B的坐标为，待定系数法求出直线OB的解析式为：，作AD∥y轴交OB于D，则，再根据S△AOB＝S△AOD+S△ABD计算即可得出答案．
解：（1）由平移的性质可得：直线BC的解析式为：y＝x﹣4，
由OA、BC的表达式知，两条直线和x轴正半轴的夹角均为45°，
当OA＝2BC时，yA＝xA＝2yB，
设点A（2a，2a），则点B（a+4，a），
∵点A、B都在反比例函数图象上，
∴2a×2a＝（a+4）a，
解得：或a＝0（不符合题意，舍去），
∴，即，
（2）∵若点A的横坐标为，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
设直线OB的解析式为：y＝mx，
将代入解析式得：，
解得：，
∴直线OB的解析式为：，
如图，作AD∥y轴交OB于D，
，
当时，，
∴，
∴，
∴S△AOB＝S△AOD+S△ABD
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，一次函数图象的平移，求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
24．加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700，乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．
（1）当x为多少m2时，y是35元/m2；
（2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
【分析】（1）先求出当200≤x≤600时，y与x的函数关系式，然后将y＝35代入求出相应的x的值即可；
（2）分别讨论两段对应的W的最小值，然后比较大小即可解答本题．
解：（1）当200≤x≤600时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（200，20），（60，40）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当200≤x≤600时，y与x的函数关系式为y＝0.05x+10，
当y＝35时，35＝0.05x+10，
解得x＝500，
即当x为500m2时，y是35元/m2；
（2）由题意可得，
当200≤x≤600时，W＝x（0.05x+10）+50（1000﹣x）＝0.05（x﹣400）2+42000，
∴当x＝400时，W取得最小值42000，此时1000﹣x＝600；
当600＜x≤700时，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000，
∴当x＝700时，W取得最小值43000，此时1000﹣x＝300；
∵42000＜43000，
∴当种植甲种蔬菜400m2，乙种蔬菜600m2时，使W最小．
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
25．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（2）若AE＝6，BE＝8，求EF的长．
【分析】（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD＝∠D，∠ABC＝∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD＝∠D＝∠DBE，即有∠ABE+∠EBD＝∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD＝∠D＝∠ABE，故得证．
（2）有（1）中的所证条件∠ABE＝∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．
解：（1）BE平分∠ABC．（1分）
理由：∵CD＝AC，
∴∠D＝∠CAD．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB
∵∠EBC＝∠CAD，
∴∠EBC＝∠D＝∠CAD．
∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ACB＝∠D+∠CAD，
∴∠ABE＝∠EBC，
即BE平分∠ABC．
（2）由（1）知∠CAD＝∠EBC＝∠ABE．
∵∠AEF＝∠AEB
∴△BEA∽△AEF．
∴，
∵AE＝6，BE＝8．
∴EF＝．
【点评】本题考查了圆周角定理，以及等腰三角形的性质，等边对等角，角平分线的判定，还有相似三角形的判定和性质等知识．
26．综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系： BE＝CF ，∠BDC＝ 30 °；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系： BF＝CF+2AM ；
（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝4，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝2，则S△ABP＝ 或 ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAF即可得出结论；
（3）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAF即可得出结论；
（4）根据直角所对的圆周角是直角，先找到点P，利用勾股定理计算出BP，再利用第（3）小题的结论得到三角形的高，△ABP的面积即可求出．
解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，
∵∠BAC＝∠EAF＝30°，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC，∠AOE＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC＝30°，
故答案为：BE＝CF，30；
（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，
∵∠BAC＝∠EAF＝120°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE＝CF，
∴∠AEB＝∠AFC，
∵∠EAF＝120°，AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝30°，
∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；
（3）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠CAB＝∠EAF＝90°，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE，即∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE＝CF，
∵AM⊥BF，AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴EF＝2AM，
∵BF＝BE+EF，
∴BF＝CF+2AM，
故答案为：BF＝CF+2AM；
（4）如图，连接BD，以BD为直径作圆，
，
由题意，2满足条件的点P、P′，则PD＝P′D＝2，∠BPD＝∠BP′D＝90°，
∵正方形ABCD中，AB＝4，
∴，
∴，
连接PA，作AF⊥PB于F，在BP上截取BE＝PD，
∵∠PDA＝∠ABE，AD＝AB，
∴△ADP≌△ABE（SAS），
∴AP＝AE，∠BAE＝∠DAP，
∴∠PAE＝90°，
由（3）可得：PB﹣PD＝2AF，
∴，
∴，
同理可得：，
综上所述，△ABP的面积为或，
故答案为：或．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质、圆周角定理，三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
27．已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物C1：y＝﹣+bx（b为常数）上的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2
（1）求b的值；
（2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝﹣+1（m＞0）．
探究下列问题：
①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线C2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C2的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为点F，如果对抛物线C1上的任意一点P，在抛物线C2上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．
【分析】（1）根据，且x1+x2＝0时，总有y1＝y2，变形后即可得到结论；
（2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可．
解：（1）由题可知：
∵x1+x2＝0时，总有y1＝y2，
∴．
则，
∴，
∴﹣b（x2﹣x1）＝0总成立，且x2﹣x1≠0，
∴b＝0；
（2）①注意到抛物线C2最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线C2过点（0，0）时，如图1所示，
此时，，
解得m＝2或﹣2（舍）．
（ii）当抛物线C2过点（2，﹣1）时，如图2所示，
此时，，
解得或（舍），
综上，，
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线C2过点（0，﹣1）时，如图3所示，
此时，，
解得或（舍）．
（ii）当抛物线C2过点（2，0）时，如图所示，
此时，，
解得m＝4或0（舍）．
综上，
如图5，由圆的性质可知，点E、F在线段AB的垂直平分线上．
令，
解得xA＝m﹣2，xB＝m+2，
∴HB＝m+2﹣m＝2，
∵FB＝FC，
∴FH2+HB2＝FG2+GC2，
设FH＝t，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵．
∴，即，
∵EF＝FH+1，
∴．
【点评】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．