2023-2024学年江苏省苏州市教科院附校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市教科院附校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数的解析式中，一定为二次函数的是( )
A. y=(x+1)2−x2B. y= x2−1
C. S=−3t2+t+2D. y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)
2.抛物线y=2(x−1)2+2顶点坐标是( )
A. (1,2)B. (−1,2)C. (1,−2)D. (−1,−2)
3.下表是一组二次函数y=x2+3x−5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程x2+3x−5=0的一个近似根是( )
A. 1B. 1.1C. 1.2D. 1.3
4.已知函数y=3x2−6x+k(k为常数)的图象经过点A(0.8,y1)，B(1.1,y2)，C( 2,y3)，则有( )
A. y1y2>y3C. y3>y1>y2D. y1>y3>y2
5.在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为( )
A. B. C. D.
6.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的图象如图所示，则ax2+bx+c=m有实数根的条件是( )
A. m≥−2
B. m≥5
C. m≥0
D. m>4
7.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=−112x2+23x+53，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A. 6m
B. 12m
C. 8m
D. 10m
8.如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(−3,y1)，B(1,y2)两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是( )
A. x≤−3或x≥1B. x≤−1或x≥3C. −3≤x≤1D. −1≤x≤3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若函数y=(m+2)xm2−2是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为______．
10.抛物线y=x2−2在x轴上截得的线段长度是______．
11.将抛物线y=x2−2x−3向左平移2个单位，向上平移1个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是______．
12.已知函数y=−x2+2x+1，当−1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是______．
13.抛物线y=x2−8x+c的顶点在x轴上，则c的值为______．
14.如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为y=x2−4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为______．
15.关于x的一元二次方程x2+(a+4)x+3a+3=0有一个大于−2的非正数根，那么实数a的取值范围是______．
16.已知抛物线y=x2+bx+c过A(−1,0)，B(m,0)两点.若20；②c<0；③点M(x1,y1)，N(x2,y2)在抛物线上，若x1y2；④关于x的一元二次方程x2+bx+c+2=0必有两个不相等的实数根．
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
17.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2−4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+2m2+5，其中y1的图象经过点A(1,1)，y3=y1+y2，若y3与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
四、解答题：本题共7小题，共21分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题3分)
解方程：
(1)x2−4x−5=0．
(2)3x2−10x+6=0．
19.(本小题3分)
如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
(1)求顶点D的坐标；
(2)求△ABC的面积．
20.(本小题3分)
已知直线y=x+3分别交x轴和y轴于点A和B，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和B，且抛物线的对称轴为直线x=−2．
(1)抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为______；
(2)试确定抛物线的解析式；
(3)在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象(请用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗)，观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围______．
21.(本小题3分)
已知二次函数y=x2−2mx+m2+3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
22.(本小题3分)
一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图(1)所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图(2)所示)，请根据所给的数据求出抛物线的解析式；
(2)求支柱EF的长度；(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由．
23.(本小题3分)
已知，如图，抛物线y=ax2−2ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧.点A的坐标为(−1,0)，OC=3OA．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值；
(3)若抛物线上有一点M，使∠ACM=45°，求M点坐标．
24.(本小题3分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，E是AB上一点，BE=2.F是BC上的动点，连接EF，H是CF上一点且HFCF=k(k为常数，k≠0)，分别过点F，H作EF，BC的垂线，交点为G.设BF的长为x，GH的长为y．
(1)若x=4，y=6，则k的值是 ．
(2)若k=1时，求y的最大值．
(3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段AD上存在唯一的一点G，求此时k的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.y=(x+1)2−x2=2x+1是一次函数，不是二次函数，故此选项错误；
B. y= x2−1，不是二次函数，故此选项错误；
C.S=−3t2+t+2是二次函数，故此选项正确；
D.当a=0时是一次函数，不是二次函数，故此选项错误．
故选：C．
根据二次函数的定义解答即可．
本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x，y是变量，a，b，c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
2.【答案】A
【解析】解：∵抛物线解析式为y=2(x−1)2+2，
∴抛物线的顶点坐标为(1,2)．
故选：A．
根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，即可找出抛物线的顶点坐标，此题得解．
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式找出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：观察表格得：方程x2+3x−5=0的一个近似根为1.2．
故选：C．
观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵函数y=3x2−6x+k(k为常数)，
∴对称轴为x=1，图象开口向上；
∴A(0.8,y1)在对称轴的左侧，根据二次函数图象的对称性可知，对称点为(1.2,y1)，在y轴的右边y随x的增大而增大，
因为1.1<1.2< 2，于是y2故选：C．
根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向上，由于A(0.8,y1)在对称轴的左侧，根据二次函数图象的对称性可知，对称点为(1.2,y1)，在y轴的右边y随x的增大而增大，可判断y2本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
5.【答案】A
【解析】解：A、由抛物线可知，a>0，x=−b2a>0，得b<0，由直线可知，a>0，b<0，正确；
B、由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，错误；
C、由抛物线可知，a<0，x=−b2a>0，得b>0，由直线可知，a<0，b<0，错误；
D、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a>0，错误．
故选：A．
可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx的图象相比较看是否一致．
本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵这个函数有最小值−2，即y≥−2，
∴ax2+bx+c≥−2．
∴当m≥−2时，ax2+bx+c=m有实数根．
故选：A．
根据题意利用图象直接得出m的取值范围即可．
此题主要考查了利用图象观察方程的解，正确利用数形结合得出是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：把y=0代入y=−112x2+23x+53得：
−112x2+23x+53=0，
解之得：x1=10，x2=−2．
又x>0，解得x=10．
故选：D．
依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x的正数值．
本题涉及二次函数的实际应用，难度一般．
8.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(−3,y1)，B(1,y2)两点，
图象如图所示，
当−1≤x≤3时，ax2+c≥−kx+m，
∴ax2+kx+c≥m的解集是−1≤x≤3，
故选：D．
根据抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(−3,y1)，B(1,y2)两点，可得直线y=−kx+m与抛物线y=ax2+c交于点A1(3,y1)，B1(−1,y2)两点，根据图象即可得到答案．
本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，解题关键是找到y=−kx+m与抛物线y=ax2+c交于点．
9.【答案】2
【解析】解：根据题意得到：m+2≠0且m2−2=2，
解得：m=±2且m≠−2，
故答案为：2．
根据题意得知：自变量不能为0，并且x的指数是2，列出式子求解．
本题考查了二次函数的定义，关键题中函数的自变量不能为0．
10.【答案】2 2
【解析】解：由抛物线y=x2−2在x轴上的交点为：( 2,0)，(− 2,0)，
得抛物线y=x2−2在x轴上截得的线段长度是 2−(− 2)=2 2．
故答案为：2 2．
由抛物线y=x2−2在x轴上的交点为：( 2,0)，(− 2,0)，得抛物线y=x2−2在x轴上截得的线段长度是 2−(− 2)=2 2．
本题主要考查了抛物线的知识，解题关键是正确转化为方程．
11.【答案】y=(x+1)2−3
【解析】解：抛物线y=x2−2x−3=(x−1)2−4，它的顶点坐标是(1,−4)．
将其向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是(−1,−3)，
所以新抛物线的解析式是：y=(x+1)2−3．
故答案为：y=(x+1)2−3．
根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可．
本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
12.【答案】a≥1
【解析】解：∵函数y=−x2+2x+1=−(x−1)2+2，当−1≤x≤a时，函数的最大值是2，
∴当x=1时，函数取得最大值，此时y=2，
∴a≥1，
故答案为：a≥1．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得a的取值范围，本题得以解决．
本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13.【答案】16
【解析】【分析】
主要考查了抛物线的顶点坐标公式．此公式要掌握可使计算简便．
利用顶点公式(−b2a,4ac−b24a)进行解答即可．
【解答】
解：∵a=1，b=−8，顶点在x轴上，
∴顶点纵坐标为0，即4ac−b24a=4c−(−8)24=0，
解得c=16．
14.【答案】y=x2+4x+5
【解析】解：把y=x2−4x+5中的一次项系数−4变成相反数得到：y=x2+4x+5．
故答案为y=x2+4x+5．
由于两个函数图象都交于y轴上的同一点，所以c的值相等；两条抛物线的形状及开口方向相同，所以a的值相等；由于两条抛物线关于y轴对称，所以两个函数的b值互为相反数．
本题考查了关于y轴对称的两条抛物线的特征：二次项系数、常数项不变，一次项系数互为相反数．
15.【答案】−1≤a<1
【解析】解：根据题意得Δ=(a+4)2−4(3a+3)=a2−4a+4=(a−2)2≥0，
∴x=−(a+4)±(a−2)2，
解得x1=−3，x2=−a−1，
∵方程x2+(a+4)x+3a+3=0有一个大于−2的非正数根，
∴−2<−a−1≤0，
解得−1≤a<1．
故答案为：−1≤a<1．
先计算根的判别式的值得到Δ=(a−2)2≥0，则利用求根公式解方程得到x1=−3，x2=−a−1，再根据题意得到−2<−a−1≤0，然后解不等式组即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
16.【答案】②④
【解析】解：∵抛物线y=x2+bx+c过A(−1,0)，B(m,0)两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2=−1+m2，
∵2∴−1+m>1，
∴b<0，故①错误；
∵抛物线y=x2+bx+c过A(−1,0)，
∴1−b+c=0，
∴b=c+1<0，
∴c<0，故②正确；
∵2∴1<−1+m<2，
∴12<−1+m2<1，
即抛物线的对称轴位于直线x=1的左侧，
∵x1∴点N(x2,y2)距离对称轴比点M(x1,y1)远，
∵抛物线开口向上，
∴y1>y2，故③错误；
∵−b2=−1+m2，b=c+1，
∴b=1−m，c=−m，
∵x2+bx+c+2=0，
∴Δ=b2−4(c+2)=(1−m)2−4(−m+2)=(m+1)2−8
∵2∴9<(m+1)2<16，
∴1<(m+1)2−8<8，
即Δ>0，
关于x的一元二次方程x2+bx+c+2=0必有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：②④．
根据抛物线y=x2+bx+c过A(−1,0)，B(m,0)两点，可得抛物线的对称轴为直x=−b2=−1+m2，再由2本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】解：(1)二次函数y=x2和y=2x2是“同簇二次函数”；
(2)把A(1,1)代入y1=2x2−4mx+2m2+1得2−4m+2m2+1=1，解得m=1，
则y1=2x2−4x+3，y2=ax2+bx+7，
所以y3=y1+y2=(a+2)2+(b−4)x+10，
而y1=2x2−4x+3=2(x−1)2+1，即二次函数y1的顶点坐标为(1,1)，
因为y3与y1为“同簇二次函数”，
所以二次函数y3的顶点坐标为(1,1)，
则a+2+b−4+10=1，−b−42(a+2)=1，解得a=7，b=−14，
所以函数y2的表达式为y2=7x2−14x+7，则抛物线y2的对称轴为直线x=−−142×7=1，
当0≤x≤3时，x=3时，y2的值最大，最大值=7×9−14×3+7=28．
【解析】(1)写出顶点在原点，开口方向向上的两个二次函数解析式即可；
(2)先把A点坐标代入y1可计算出m=1，则y1=2x2−4x+3，y2=ax2+bx+7，y3=y1+y2=(a+2)2+(b−4)x+10，再求出y1的顶点坐标，根据新定义得到二次函数y3的顶点坐标为(1,1)，利用二次函数图象上点的坐标特征和对称轴方程得a+2+b−4+10=1，−b−42(a+2)=1，解得a=7，b=−14，则函数y2的表达式为y2=7x2−14x+7，然后根据二次函数的性质求当0≤x≤3时，y2的最大值．
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(−b2a,4ac−b24a)，对称轴直线x=−b2a．
18.【答案】解：(1)∵x2−4x−5=0，
∴(x+1)(x−5)=0，
则x+1=0或x−5=0，
解得x1=−1，x2=5；
(2)3x2−10x+6=0，
∵a=3，b=−10，c=6，
∴Δ=100−12×6=28，
∴x=10± 286=10±2 76=5± 73，
∴x1=5+ 73，x2=5− 73．
【解析】(1)利用因式分解法求解可得；
(2)利用公式法求解可得．
本题考查的是解一元二次方程，在解答此类问题时要根据方程的特点选择适当的方法．
19.【答案】解：(1)y=x2−2x−3=x2−2x+1−1−3=(x−1)2−4，
∴顶点D的坐标为(1,−4)；
(2)令y=0，即(x−1)2−4=0，
解得，x1=−1，x2=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∴AB=4，
令x=0，则y=3，
∴C(0,3)，
∴OC=3，
∴S△ABC=12AB⋅OC=12×4×3=6．
【解析】(1)把函数解析式化为顶点式即可；
(2)令y=0求出A、B点坐标，令x=0求出C点坐标，即可求出AB和OC的长度，再利用三角形面积公式即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握函数解析式化为顶点式的方法以及三角形的面积计算方法．
20.【答案】(−1,0) −3【解析】解：(1)∵直线y=x+3分别交x轴和y轴于点A和B，
∴点A(−3,0)，点B(0,3)，
∵抛物线的对称轴为直线x=−2．
∴点C(−1,0)，
故答案为(−1,0)；
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−3,0)，B(0,3)，点C(−1,0)，
∴c=30=9a−3b+c0=a−b+c，
∴a=1b=4c=3，
∴二次函数的解析式为：y=x2+4x+3；
(3)如图所示：
当−3故答案为：−3(1)先求出点B，点A坐标，由对称性可求点C坐标；
(2)利用待定系数法可求解析式；
(3)由图象可求解．
本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求解析式，求出抛物线的解析式是本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵Δ=(−2m)2−4×1×(m2+3)=4m2−4m2−12=−12<0，
∴方程x2−2mx+m2+3=0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)解：y=x2−2mx+m2+3=(x−m)2+3，
∴把函数y=(x−m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，
得到函数y=(x−m)2的图象，它的顶点坐标是(m,0)，
此时平移后得到的函数图象与x轴只有一个公共点，
∴把函数y=x2−2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
【解析】(1)求出根的判别式，即可得出答案；
(2)先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质即可得出．
本题考查二次函数图象与几何变换，以及二次函数与一元二次方程．
22.【答案】解：(1)根据题目条件A，B，C的坐标分别是(−10,0)，(10,0)，(0,6)，
设抛物线的解析式为y=ax2+c，
将B，C的坐标代入y=ax2+c，
得6=c0=100a+c，
解得a=−350c=6．
所以抛物线的表达式y=−350x2+6；
(2)可设F(5,yF)，于是yF=−350×52+6=4.5，
从而支柱EF的长度是10−4.5=5.5米；
(3)根据题意，三辆汽车最右边到原点的距离为：1+3×2=7，
当x=7时，y=−350×49+6=3.06>3，
故可以并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车．
【解析】(1)根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
(2)设F点的坐标为(5,yF)可求出支柱MN的长度．
(3)根据题意得到三辆汽车最右边到原点的距离为1+3×2=7，当x=7时，得到y=−350×49+6=3.06>3，于是得到结论．
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
23.【答案】解：(1)∵OC=3OA，A(−1,0)，
∴C(0,−3)．
把点A，C的坐标代入y=ax2−2ax+c，得a+2a+c=0c=−3，
解得a=1c=−3，
∴抛物线线的解析式为：y=x2−2x−3；
(2)如图，过点D作DM/​/y轴分别交线段BC和x轴于点M，N．

∵抛物线线的解析式为y=x2−2x−3，
∴B(3,0)，
∴AB=4，
∴S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=12AB×OC+12×DM×(BN+ON)=6+12×DM×OB=6+32DM，
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵B(3,0)，C(0,−3)，
∴3k+b=0 b=−3，解得k=1b=−3，
故直线BC的解析式为：y=x−3．
设D(x,x2−2x−3)，M(x,x−3)，则DM=x−3−(x2−2x−3)=−(x−32)2+94，
当x=32时，DM有最大值94，此时四边形ABDC面积有最大值为758；
(3)如图，过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H，

∵∠ACM=45°，
∴AC=AK，
∵∠AOC=∠KHA=90°，∠ACO=90°−∠OAC=∠KAH，
∴△OAC≌△HKA(AAS)，
∴AH=CO=3，KH=OA=1，
∴K(2,1)，
设直线CM的解析式为y=kx−3
∴2k−3=1，
∴k=2，
∴直线CM的解析式为y=2x−3，
联立y=x2−2x−3y=2x−3，
解得x=0(舍去)，或x=4，
∴M(4,5)．
【解析】(1)根据点A的坐标为(−1,0)，OC=3OA可得出C点坐标，再把A、C两点的坐标代入抛物线y=ax2−2ax+c(a>0)求出a，c的值即可；
(2)过点D作DM/​/y轴分别交线段BC和x轴于点M，N，利用待定系数法求出直线BC的解析式，故可得出DM=−(x−32)2+94，再由S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD即可得出结论；
(3)过A作AK⊥AC交CM于点K，作KH⊥x轴于点H，证明△OAC≌△HKA，可得K(2,1)，用待定系数法求出直线CM的解析式，与抛物线联立解交点即可得出M的坐标．
本题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键的是掌握待定系数法求函数的解析式，作辅助线构造全等三角形．
24.【答案】12
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵EF⊥FG，GH⊥BC，
∴∠EFG=∠FHG=90°，
∴∠BFE+∠GFH=∠GFH+∠G=90°，
∴∠BFE=∠G，
∵∠B=∠GHF=90°，
∴△EBF∽△FHG，
∴BEBF=FHGH，即2x=FHGH，
∵x=4，GH=6，
∴24=FH6，
∴FH=3，
∵AD=BC=10，
∴CF=10−4=6，
∴k=HFCF=36=12；
故答案为：12；
(2)当k=1时，FH=CF，此时H与C重合，如图1，
∵BF=x，BC=10，
∴CF=10−x，
由(1)知：BEBF=FHGH，即2x=10−xy，
∴y=−12x2+5x=−12(x−5)2+252，
∵−12<0，
∴y有最大值是252；
(3)如图2，
当G在AD上时，y=6，
∵k=FHCF，
∴FH=kCF=k(10−x)=10k−kx，
由(1)知：BEBF=FHGH，即2x=10k−kx6，
∴kx2−10kx+12=0①，
∵线段AD上存在唯一的一点G，
∴方程①有一个解或两个相等的实根，
∴Δ=(−10k)2−4k×12=0，
∴k=0(舍)或1225．
(1)证明△EBF∽△FHG，列比例式可得结论；
(2)当k=1时，H与C重合，正确画图，根据(1)中的比例式可得y关于x的二次函数，利用配方法可得结论；
(3)先用k表示FH的长，利用(1)中的比例式可得关于x的方程，根据方程有两个相等的实根列式可解答．
本题是四边形的综合题，主要考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式的应用，二次函数的最值等的综合运用，证明△EBF∽△FHG列比例式是解本题的关键．x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
−1
−0.49
0.04
0.59
1.16