2023-2024学年江苏省苏州市高新实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市高新实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列事件中，属于必然事件的是
( )
A. 射击运动员射击一次，命中10环B. 在一个只装有白球的袋中摸出红球
C. a是实数，|a|≥0D. 一个三角形的三个内角的和大于180∘
2.已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为
( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.已知2a=3b，则下列比例式错误的是
( )
A. 3a=2bB. a3=b2C. ba=23D. 2a=3b
4.把二次函数y=−x2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为
( )
A. y=−(x+1)2+3B. y=−(x+1)2−3
C. y=−(x−1)2−3D. y=−(x−1)2+3
5.如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC，那么补充下列条件后不能判定ΔADC和ΔBAC相似的是
( )
A. CA平分∠BCDB. ∠DAC=∠ABC
C. AC2=BC⋅CDD. ADAB=DCAC
6.如图，DE//BC，BD:CE=4:3，AD=12，则AE的长为
( )
A. 3B. 4C. 6D. 9
7.如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，则AD与BD的大小关系
( )
A. AD>BDB. AD=BDC. AD8.小凯在画一个开口向下的二次函数图象时，列出如下表格：
发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是
( )
A. (−1,3)B. (0,2)C. (1,3)D. (2,3)
9.如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD.若点D与圆心O不重合，∠BAC=24∘，则∠DCA的度数为
( )
A. 40∘B. 41∘C. 42∘D. 43∘
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(x1,y1)，B(1−m,n)，C(x2,y2)，D(m+5,n)，若|x1−3|≥|x2−3|，则下列表达式正确的是
( )
A. 对于任意a(a≠0)，a(y1−y2)≥0恒成立
B. 不存在实数a，使得y1−y2>0成立
C. 存在实数a，使得a(y1−y2)<0成立
D. 对于任意a(a≠0)，y1−y2≥0恒成立
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11.欢欢将杭州高新实验学校的二维码打印在面积为900cm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为 cm2．
12.抛物线y=−x2+2x+3的顶点坐标 ．
13.如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面AB=8cm，则水的最大深度CD是 cm．
14.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为8cm，那么AP的长度为 cm．
15.如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，在图2中，已知半径OA=18cm，∠AOB=150∘，则图2的周长为 cm(结果保留π)．
16.如图，正方形ABCD和等边ΔAEF都内接于圆O，EF与BC，CD别相交于点G，H.若AE=6，则⊙O的半径长为 ；EG的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，在直径60mm的圆铁片上切下一块高为15mm的弓形铁片．
(1)用直尺和圆规作出弧AB的中点D．
(2)求这块弓形铁片的面积．
18.(本小题8分)
一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数−1，2，−3，4.摇匀后先从中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的3个球中任意摸出1个球．
(1)用列表或画树状图的方法表示两次摸球的情况；
(2)求乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
19.(本小题8分)
图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中以线段AD为边画一个三角形，使它与ΔABC相似；
(2)在图②中画一个三角形，使它与ΔABC相似(不全等)；
(3)在图③中的线段AB上画一个点P，使APPB=23．
20.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，DF⊥AE于点E．
(1)求证：AFBE=ADAE；
(2)若AB=4，BC=6，求AF的长．
21.(本小题8分)
如图1，已知AB是⊙O的直径，ΔABC内接于⊙O，AB=10，点D是⊙O一动点(点D不与点A，B重合)．
(1)若BC=CD，连结AD，CD，OC，求证：OC//AD；
(2)如图2，若CD平分∠ACB，连结AD，求AD的长．
22.(本小题8分)
在平面直角坐标系中．设函数y=(x−a)(x−a−5)+4，其中a为常数，且a≠0．
(1)当x=3，y=4时，求a的值．
(2)若函数的图象同时经过点(b,m)、(4−b,m)，求a的值．
(3)已知点(1,y1)和(2,y2)在函数的图象上，且y123.(本小题8分)
根据以下素材，探索完成任务．
24.(本小题8分)
如图，点P是等边三角形ABC中AC边上的动点(0∘<∠ABP<30∘)，作ΔBCP的外接圆交AB于点D.点E是圆上一点，且PD=PE，连接DE交BP于点F．
(1)求证：BE=BC；
(2)当点P运动变化时，∠BFD的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求∠BFD的度数．
(3)探究线段BF、CE、EF之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据绝对值的非负性，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故A不符合题意；
B、在一个只装有白球的袋中摸出红球，是不可能事件，故B不符合题意；
C、a为实数，|a|≥0，是必然事件，故C符合题意；
D、一个三角形的三个内角的和大于180∘，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【解答】解：∵点P在圆内，且d=5，
∴r>5，
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】利用比例的基本性质，把每一个选项的比例式化成等积式即可解答．
【解答】解：A.因为3a=2b，所以2a=3b，故A不符合题意；
B.因为a3=b2，所以2a=3b，故B不符合题意；
C.因为ba=23，所以2a=3b，故C不符合题意；
D.因为2a=3b，所以2b=3a，故D符合题意；
故选：D．
4.【答案】A
【解析】【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=−x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到：y=−(x+1)2+3．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】已知∠ADC=∠BAC，则A、D选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；B选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
【解答】解：在ΔADC和ΔBAC中，∠ADC=∠BAC，
如果ΔADC∽ΔBAC，需满足的条件有：
①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②ADAB=DCAC；
故选：C．
6.【答案】D
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵DE//BC，DE//BC，BD:CE=4:3，
∴ADAE=BDEC=43，
∵AD=12，
∴12AE=43，
∴AE=9，
故选：D．
7.【答案】B
【解析】【分析】连接OD，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角得到∠ADO=90∘，然后根据垂径定理即可得到结论．
【解答】解：如图，连接OD，
∵OA为⊙C的直径，
∴∠ADO=90∘，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD．
故选：B．
8.【答案】A
【解析】【分析】由抛物线开口向下及抛物线不能同时经过(−1,3)，(1,3)，(2,3)求解．
【解答】解：抛物线经过(−1,3)，(0,2)，(1,3)时，抛物线开口向上，不符合题意，
∵抛物线不能同时经过(−1,3)，(1,3)，(2,3)，
∴(−1,3)不在抛物线上，
故选：A．
9.【答案】C
【解析】【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到ABC所对的圆周角，然后根据∠ACD等于ABC所对的圆周角减去CD所对的圆周角，计算即可得解．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠BAC+∠B=90∘，
∵∠BAC=24∘，
∴∠B=90∘−∠BAC=90∘−24∘=66∘，
根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为∠B，ABC所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180∘，
∵∠ADC+∠CDB=180∘，
∴∠B=∠CDB=66∘，
∴∠DCA=∠CDB−∠BAC=66∘−24∘=42∘．
故选：C．
10.【答案】A
【解析】【分析】由对称性质可知，B、D两点的纵坐标相等，则B、D两点关于抛物线的对称轴是对称的，由此求得抛物线的对称轴为直线x=3，再|x1−3|≥|x2−3|，结合二次函数的性质，便可得出结果．
【解答】解：∵抛物线过B(1−m,n)，D(m+5,n)，
∴对称轴为：x=m+5+1−m2=3，
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(x1,y1)，C(x2,y2)，|x1−3|≥|x2−3|，
∴当a>0时，y1≥y2，则a(y1−y2)≥0；
当a<0时，y1≤y2，则a(y1−y2)≥0；
∴对于任意a(a≠0)，a(y1−y2)≥0恒成立，
故选：A．
11.【答案】540
【解析】【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出黑色部分的面积．
【解答】解：由题意可得，
估计黑色部分的面积约为：900×0.6=540(cm2)，
故答案为：540．
12.【答案】(1,4)
【解析】【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
【解答】解：∵y=−x2+2x+3，
=−(x2−2x+1)+1+3，
=−(x−1)2+4，
∴顶点坐标为(1,4)．
故答案为(1,4)．
13.【答案】2
【解析】【分析】连接OA，OC，则有OC⊥AB，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图所示，连接OA，OC，则有OC⊥AB，
∴AC=12AB=12×8=4(cm)，
在RtΔOAC中，
OC= OA2−AC2= 52−42= 9=3(cm)，
∴CD=5−3=2(cm)．
故答案为：2．
14.【答案】(4 5−4)
【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到AP= 5−12AB，即可得出答案．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，
∴AP= 5−12AB= 5−12×8=4 5−4(cm)，
故答案为：(4 5−4)．
15.【答案】30π
【解析】【分析】先根据图1确定：图2的周长=2个AB的长，根据弧长公式可得结论．
【解答】解：由图1得：AO的长+BO的长=AB的长，
∵半径OA=18cm，∠AOB=150∘，
则图2的周长为：2×150π×18180=30π(cm)，
故答案为：30π．
16.【答案】2 3
3− 3

【解析】【分析】连接OA、OE，过点O作OP⊥AE于P，根据正三角形的性质得到∠OAP=30∘，进而求出OA；连接BD、AC，AC交EF于Q，连接OF，根据正方形的性质得到∠GCQ=45∘，计算即可．
【解答】解：如图1，连接OA、OE，过点O作OP⊥AE于P，
则AP=PE=12AE=3，
∵ΔAEF为正三角形，
∴∠AOE=120∘，
∵OA=OE，
∴∠OAP=30∘，
∴OA=APcs30∘=2 3；
连接BD、AC，AC交EF于Q，连接OF，
则AC⊥EF，
∴EQ=12EF=3，
在RtΔOQF中，∠OFQ=30∘，
∴OQ=12OF= 3，
∴CQ=OC−OQ= 3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠GCQ=45∘，
∴GQ=CQ= 3，
∴EG=EQ−QG=3− 3，
故答案为：2 3；3− 3．
17.【答案】解：(1)如图，点D为所作；
(2)设圆铁片的圆心为O点，连接OD交AB于C点，连接OA、OB，如图，
∵点D为弧AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AC=BC，
∵CD=15mm，OB=OD=OA=30mm，
∴OC=15mm，
∴AC= 302−152=15 3(mm)，
∴AB=2AC=30 3mm，
∴AB垂直平分OD，
∴AO=AD，BD=BO，
∴ΔOAD、ΔOBD都为等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=60∘，
∴∠AOB=120∘，
∴这块弓形铁片的面积
=S扇形AOB−SΔAOB
=120×π×302360−12×15×30 3
=(300π−225 3)mm2．

【解析】【分析】(1)作AB的垂直平分线交AB于D点，利用垂径定理可得到点D为AB的中点；
(2)设圆铁片的圆心为O点，连接OD交AB于C点，连接OA、OB，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，AC=BC，计算出CD=OC=15mm，AC=15 3mm，所以AB=30 3mm，接着证明ΔOAD、ΔOBD都为等边三角形得到∠AOD=∠BOD=60∘，然后根据扇形的面积公式，利用这块弓形铁片的面积=S扇形AOB−SΔAOB进行计算即可．
18.【答案】解：(1)画树状图如下：
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8种，
∴两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率为812=23．

【解析】【分析】(1)画出树状图即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8种，再由概率公式求解即可．
19.【答案】解：(1)如图①，ΔADE即为所求．
(2)如图②，ΔFGH即为所求．
(3)如图③，点P即为所求．

【解析】【分析】(1)取格点E，连接DE，使DE//BC，由相似三角形的判定可知ΔADE∽ΔABC．
(2)取格点F，G，H，使FG=2 2，FH=4，GH=2 10即可．
(3)取格点M，N，连接MN，交AB于点P，连接AM，BN，此时ΔAMP∽ΔBNP，由AMBN=23，可得APPB=23．
20.【答案】1)证明：∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，
∴∠B=∠AFD=90∘，
∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠ADF=90∘，
∴∠BAE=∠ADF，
∴ΔADF∽ΔEAB，
∴AFBE=ADAE．
(2)解：∵E为BC的中点，
∴BE=12BC=3，
在RtΔABE中，AE= AB2+BE2= 42+32=5．
∵AFBE=ADAE，
∴AF3=65，
∴AF=185．

【解析】【分析】(1)由四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，可得∠BAE=∠ADF，推导出ΔADF∽ΔEAB，即可证明结论；
(2)E为BC的中点，根据勾股定理可得AE=5，再根据相似三角形的性质即可列出比例式求得AF的长即可．
21.【答案】(1)证明：∵BC=CD，
∴CD=BC，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC//AD；
(2)解：连接BD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
∴ΔADB是等腰直角三角形，
∴AD= 22AB= 22×10=5 2．

【解析】【分析】(1)由圆心角、弧、弦的关系得到CD=BC，由圆周角定理推出∠DAC=∠CAB，由OA=OC，得到∠OCA=∠OAC，因此∠DAC=∠OCA，即可证明OC//AD；
(2)连接BD，由圆周角定理推出ΔADB是等腰直角三角形，即可求出AD的长．
22.【答案】解：(1)函数y的图象经过点(3,4)，得
4=(3−a)(3−a−5)+4，
解得a1=−2，a2=3；
(2)∵y=(x−a)(x−a−5)+4=x2−(2a+5)x+a2+5a+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−(2a+5)2=2a+52，
∵函数的图象同时经过点(b,m)，(4−b,m)，
∴2a+52=b+4−b2，
解得：a=−12；
(3)∵y2=(2−a)(2−a−5)+4=(2−a)(−3−a)+4，
y1=(1−a)(1−a−5)+4=(1−a)(−4−a)+4，
又∵y1∴y2−y1=(2−a)(−3−a)+4−(1−a)(−4−a)−4=−6+a+a2+4−3a−a2=−2−2a>0，
∴−2a>2，
∴a<−1．

【解析】【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；
(2)根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；
(3)根据二次函数的性质，可得答案．
23.【答案】解：任务1:
以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：
∵AB=24，CD=4，
∴点B的坐标为(12,0)，顶点C为(0,4)，
设抛物线解析式为y=ax2+4，
把B(12,0)代入得0=144a+4，
解得a=−136，
∴这条抛物线的函数表达式为y=−136x2+4；
任务2:
过点E作EM⊥FK于点M，如图：
∵EF=EK=1.7米，FK=3米，
∴FM=1.5米，
∴EM= 1⋅72−1⋅52=0.8(米)，
由题意可知，当PQ最大时，
点E的纵坐标为0.8+1.26+0.5=2.56，
在y=−136x2+4中，令y=2.56，得2.56=−136x2+4，
解得x=7.2或x=−7.2，
∵FG=JK=0.4米，FM=1.5米，
∴MG=MJ=1.1米，
∵游船底部HI在P，Q之间通行，
∴PQ的最大值为(7.2+1.1)×2=16.6(米)．

【解析】【分析】任务1：以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求出点B的坐标为(12,0)，顶点C为(0,4)，再用待定系数法可得答案；
任务2：过点E作EM⊥FK于点M，求出EM= 1⋅72−1⋅52=0.8(米)，当PQ最大时，点E的纵坐标为0.8+1.26+0.5=2.56，令y=2.56，得x=7.2或x=−7.2，可得MG=MJ=1.1米，即可得PQ的最大值．
24.【答案】(1)证明：如图，连接PE，
∵PD=PE，
∴∠ABP=∠EBP，
∵ΔABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60∘，AB=BC，
∵∠PEB=∠PCB，
∴∠PEB=∠PCB=60∘=∠A，
∵PB=PB，
∴ΔABP≅ΔEBP(AAS)，
∴AB=BE=BC；
解法二：PD=PE，
∴∠ABP=∠EBP=∠ACE，
∵ΔABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60∘，
∵∠BPC=∠BAC+∠ABP，∠BCE=∠ACB+∠ACE，
∴∠BPC=∠BCE，
∵∠BPC=∠BEC，
∴∠BCE=∠BEC；
(2)解：连接CD，
∵PD=PE，
∴∠PCD=∠PBE，
∵∠BED=∠BCD，
∴∠BED+∠PBE=∠BCD+∠PCD=60∘，
∵∠BFD=∠BED+∠PBE，
∴∠BFD=60∘；
(3)BF=CE+EF.理由如下：
延长DE到点M，使得EM=CE，连接CM、AM、AF、PE，
∵∠CEM=∠ABC=60∘，
∴ΔCEM为等边三角形，
∴CM=CE，∠ECM=60∘，
∵∠ACB=60∘，
∴∠ACM=∠BCE，
∵AC=BC，
∴ΔACM≅ΔBCE(SAS)，
∴AM=BE=AB=AC，
∴∠CAM=180∘−2∠ACM=180∘−2(60∘+∠ACE)=60∘−2∠ACE，
∵PD=PE，
∴∠ABP=∠EBP=∠ACE=∠ACD，
∵AB=EB，BF=BF，
∴ΔABF≅ΔEBF(SAS)，
∴∠BAF=∠BEF=∠BCD，
∴∠ACE+∠BCD=∠ACD+∠BCD=60∘，
∴∠BAF=∠BCD=60∘−∠ACE，
∴∠PAF=∠BAC−∠BAF=60∘−60∘+∠ACE=∠ACE，
∴∠MAF=∠MAC+∠PAF=60∘−2∠ACE+∠ACE=60∘−∠ACE，
∴∠MAF=∠BAF，
∵AM=AB，AF=AF，
∴ΔABF≅ΔAMF(SAS)，
∴BF=MF，
∵MF=ME+EF=CE+EF，
∴BF=CE+EF．

【解析】【分析】(1)连接PE，证明ΔABP≅ΔEBP，便可得BE=AB=BC；
(2)连接CD，根据在同圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠PCD=∠PBE，∠BED=∠BCD，再根据三角形的外角定理便可求得∠BFD的度数；
(3)延长DE到点M，使得EM=CE，连接CM、AM、AF、PE，先证明ΔCEM为等边三角形，再证明ΔACM≅ΔBCE，得AM=BE=AB，再证明ΔABF≅ΔBEF，进而得∠BAF=∠MAF，再证明ΔABF≅ΔAMF，得BF=MF，便可得出结论．
x
…
−1
0
1
2
…
y
…
3
2
3
3
…
如何设计警戒线之间的宽度？
素材1
图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度AB=24米，拱顶离水面的距离为CD=4米．
素材2
拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．如图3，测得相关数据如下：EF=EK=1.7米，FK=3米，GH=IJ=1.26米，FG=JK=0.4米．
素材3
为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设置航行警戒线，要求如下：①游船底部HI在P，Q之间通行；②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．
问题解决
任务1
确定拱桥形状
在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
任务2
设计警戒线之间的宽度
求PQ的最大值．