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2023-2024学年江苏省连云港市海州区新海实验中学九年级（下）月考数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省连云港市海州区新海实验中学九年级（下）月考数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−15的倒数是( )
A. −15B. −5C. 15D. 5
2.据中国经济网资料显示，2023年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元.10870用科学记数法表示为( )
A. 0.1087×105B. 0.1087×104C. 1.087×104D. 10.87×104
3.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. a4÷a2=a2C. (a3)2=a5D. 2a2+3a2=5a4
4.在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1=23°，则∠2的度数是( )
A. 23°
B. 53°
C. 60°
D. 67°
5.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE.若AC=6，BD=8，则OE=( )
A. 2
B. 52
C. 3
D. 4
6.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为( )
A. 15°
B. 17.5°
C. 20°
D. 25°
7.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE=60°.若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为( )
A. 1.8
B. 2.4
C. 3
D. 3.2
8.如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边DC、BC上，且BF=CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE、AC于点G，M，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM.有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为3 2；③CF2=GE⋅AE；④S△ADM=4 2.其中正确的是( )
A. ①②
B. ②③④
C. ①③
D. ①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.在函数y=1x+2中，自变量x的取值范围是______．
10.因式分解：4m2−16=______．
11.如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE//BC，交AC于点E.若AD=2，BD=3，则AEAC的值是______．
12.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程______．
13.若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为 ．
14.若x=3是关x的方程ax2−bx=6的解，则2023−6a+2b的值为______．
15.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E.若AC=5，BE=4，∠B=45°，则AB的长为______．
16.如图，分别经过原点O和点A(4,0)的直线a，b夹角∠OBA=30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是______．
三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算： 12−2cs30°+| 3−2|+2−1．
18.(本小题6分)
解不等式组：3(x−1)<25x+32>x，并写出所有整数解．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：x2+xx2−2x+1÷(x+1)2x2−1−x−3x−1，其中x= 3+1．
20.(本小题8分)
某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图．
请解答下列问题：
(1)在这次调查中，该校一共抽样调查了______名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______°；
(2)请补全条形统计图；
(3)若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数．
21.(本小题10分)
扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源.某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览．
(1)甲选择A景点的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．
22.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：AD=AF；
(2)若AD=6，AB=3，∠A=120°，求BF的长和△ADF的面积．
23.(本小题10分)
中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
24.(本小题10分)
每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20m)，且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
(参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3)
25.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若CE= 2，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．
26.(本小题12分)
【问题呈现】
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD=CE．
【类比探究】
如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°.连接BD，CE.请直接写出BDCE的值．
【拓展提升】
如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且ABBC=ADDE=34.连接BD，CE．
(1)求BDCE的值；
(2)延长CE交BD于点F，交AB于点G.求sin∠BFC的值．
27.(本小题14分)
抛物线y=x2−4x与直线y=x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
(1)直接写出点B和点D的坐标；
(2)如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO=12时，求点P的坐标；
(3)如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m(0答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵(−15)×(−5)=1，
∴−15的倒数是−5，
故选：B．
根据互为倒数的两个数乘积为1即可求解．
本题考查的是倒数，解题的关键是掌握互为倒数的两个数乘积为1．
2.【答案】C
【解析】解：10870=1.087×104．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故此选项不符合题意；
B、a4÷a2=a2，故此选项符合题意；
C、(a3)2=a6，故此选项不符合题意；
D、2a2+3a2=5a2，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、合并同类项法则分别进行判断即可．
本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则，熟练掌握这些法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H．
∵AB//CD，
∴∠2=∠FHG．
又∵∠1+∠E=∠FHG，
∴∠2=∠1+∠E=23°+30°=53°．
故选：B．
利用平行线的性质即可求解．
本题考查平行线的性质，比较简单．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，
∵AC=6，BD=8，
∴OC=3，OB=4，
∴CB= OB2+OC2=5，
∵E为边BC的中点，
∴OE=12BC=52．
故选：B．
由菱形的性质得到OC=12AC=3，OB=12BD=4，AC⊥BD，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OC，OB的长，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出OE的长．
6.【答案】C
【解析】解：连接IC，IB，OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI=35°，
∴∠BAC=2∠CAI=70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC=2∠BAC=140°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=12×(180°−∠BOC)=12×(180°−140°)=20°，
故选：C．
连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC=2∠CAI=70°，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC=140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠C=60°，
∴∠CAD+∠ADC=120°，
∵∠ADE=60°．
∴∠BDE+∠ADC=120°，
∴∠CAD=∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴ADDE=ACDB，
∵BD=4DC，
∴设DC=x，
则BD=4x，
∴BC=AC=5x，
∴AD2.4=5x4x，
∴AD=3，
故选：C．
先证∠CAD=∠BDE，再根据∠B=∠C=60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出AD的长．
本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°，
∵BF=CE，
∴BC−BF=DC−CE，
即CF=DE，
在△ADE和△DCF中，
AD=DC∠ADE=∠DCFDE=CF，
∴△ADE≌△DCF(SAS)，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠DAE+∠ADG=90°，
∴∠AGD=90°，
∴∠AGM=90°，
∴∠AGM=∠AGD，
∵AE平分∠CAD，
∴∠MAG=∠DAG，
又AG为公共边，
∴△AGM≌△AGD(ASA)，
∴GM=GD，
又∵∠AGM=∠AGD=90°，
∴AE垂直平分DM，
故①正确；
②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
即DO⊥AM，
∵AE垂直平分DM，
∴HM=HD，
当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN=HM+HO=HD+HO=DO，即PM+PN的最小值是DO的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC=BD=4 2，
∴DO=12BD=2 2，
即PM+PN的最小值为2 2，
故②错误；
③∵AE垂直平分DM，
∴∠DGE=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠DGE=∠ADE，
又∵∠DEG=∠AED，
∴△DGE∽△ADE，
∴DEAE=GEDE，
即DE2=GE⋅AE，
由①知CF=DE，
∴CF2=GE⋅AE，
故③正确；
④∵AE垂直平分DM，
∴AM=AD=4，
又DO=2 2，
∴S△ADM=12AM⋅DO=12×4×2 2=4 2，
故④正确；
综上，正确的是：①③④，
故选：D．
①先根据正方形的性质证得△ADE和△DCF全等，再利用ASA证得△AGM和△AGD全等，即可得出AE垂直平分DM；
②连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，根据题意当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，即PM+PN的最小值是DO的长，根据正方形的性质求出BD的长，从而得出DO=2 2，即PM+PN的最小值2 2；
③先证△DGE∽△ADE，再根据相似三角形的性质及CF=DE，即可判断；
④先求出AM的长，再根据三角形面积公式计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
9.【答案】x≠−2
【解析】解：根据题意得：x+2≠0，
解得：x≠−2．
故答案为x≠−2．
根据分式有意义的条件是分母不为0；分析函数解析式可得关系式x+2≠0，解得答案．
本题考查求解析法表示的函数的自变量取值范围，注意当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．
10.【答案】4(m+2)(m−2)
【解析】解：4m2−16，
=4(m2−4)，
=4(m+2)(m−2)．
此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11.【答案】25
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB=ADAD+DB，
∵AD=2，BD=3，
∴AEAC=25．
故答案为：25．
根据DE//BC，得到△ADE∽△ABC，得到AEAC=ADAB=ADAD+DB，结合AD=2，BD=3计算即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
12.【答案】301(1+x)2=500
【解析】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，
依题意得：301(1+x)2=500．
故答案为：301(1+x)2=500．
设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
该圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×2=180×π×l180，然后解方程即可．
【解答】
解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得2π×2=180×π×l180，
解得l=4，
即该圆锥的母线长为4．
故答案为：4．
14.【答案】2019
【解析】解：把x=3代入方程得：9a−3b=6，即3a−b=2，
则原式=2023−2(3a−b)=2023−4=2019．
故答案为：2019．
把x=3代入方程求出3a−b的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15.【答案】7
【解析】【分析】
本题主要考查了作一条线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及线段的和差．
设MN交BC于点D，连接EC，由作图可知MN是线段BC的垂直平分线，即得
BE=CE=4，由等腰三角形的性质可得∠ECB=∠B=45°，从而根据三角形的外角性质求得∠AEC=90°，进而在Rt△ACE中由勾股定理可求得AE=3，最后根据线段的和差即可求得AB的长．
【解答】
解：如图，设MN交BC于点D，连接EC．
由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE=4，
∴∠ECB=∠B=45°，
∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= AC2−CE2= 52−42=3，
∴AB=AE+BE=3+4=7．
16.【答案】3+ 66
【解析】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．
∵∠ATO=2∠ABO=60°，TO=TA，
∴△OAT是等边三角形，
∵A(4,0)，
∴TO=TA=TB=4，
∵OK=KT，OM=MB，
∴KM=12TB=2，
∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，
当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，
∵△OTA是等边三角形，OK=KT，
∴AK⊥OT，
∴AK= OA2−OK2= 42−22=2 3，
∵AM是切线，KM是半径，
∴AM⊥KM，
∴AM= AK2−MK2= (2 3)2−22=2 2，
过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．
∵∠PML=∠AMK=90°，
∴∠PMK=∠LMA，
∵∠P=∠MLA=90°，
∴△MPK∽△MLA，
∴MPML=PKAL=MKAM=22 2=1 2，
设PK=x，PM=y，则有ML= 2y，AL= 2x，
∴ 2y= 3+x①，y=3− 2x，
解得，x=3 2− 33，y=3+ 63，
∴ML= 2y=3 2+2 33，
∴sin∠OAM=3 2+2 332 2=3+ 66．
故答案为：3+ 66．
作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM.证明KM=12TB=2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大．
本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
17.【答案】解： 12−2cs30°+| 3−2|+2−1
=2 3−2× 32+2− 3+12
=2 3− 3+2− 3+12
=52．
【解析】根据实数的运算进行计算．
本题主要考查了实数的运算的知识、锐角三角函数的知识、绝对值的知识、负整数指数幂的知识，难度不大．
18.【答案】解：3(x−1)<2①5x+32>x②，
解不等式①，得x<53，
解不等式②，得x>−1，
∴原不等式组的解集是−1∴所有整数解为0，1．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式=x(x+1)(x−1)2÷(x+1)2(x+1)(x−1)−x−3x−1
=x(x+1)(x−1)2÷x+1x−1−x−3x−1
=x(x+1)(x−1)2⋅x−1x+1−x−3x−1
=xx−1−x−3x−1
=3x−1，
当x= 3+1时，
原式=3 3= 3．
【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】200 72
【解析】解：(1)60÷30%=200(名)，
在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是360°×40200=72°，
故答案为：200，72；
(2)选择足球的学生有：200−30−60−20−40=50(人)，
补全的条形统计图如图所示：
(3)1200×30200=180(名)，
答：估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名．
(1)根据选择乒乓球的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数；
(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择足球的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
(3)用1200乘以“篮球”项目的百分比即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】(1)13；
(2)根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的情况有5种，
∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率是59．
【解析】解：(1)甲选择A景点的概率为13，
故答案为：13；
(2)见答案．
(1)由概率公式直接可得答案；
(2)先画出树状图，共有9种等可能的情况，再根据概率公式，计算即可得出结果．
本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在于根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)证明：在▱ABCD中，∵AB//CD，
∴∠CDE=∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF，
(2)解：∵AD=AF=6，AB=3，
∴BF=AF−AB=3；
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，
∵∠BAD=120°，
∴∠DAH=60°，
∴∠ADH=30°，
∴AH=12AD=3，
∴DH= AD2−AH2=3 3，
∴△ADF的面积=12AF⋅DH=12×6×3 3=9 3．
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠CDE=∠F，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠F=∠ADF，根据等腰三角形的判定定理即可得到AD=AF，
(2)根据线段的和差得到BF=AF−AB=3；过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，根据直角三角形的性质得到AH=12AD=3，DH= AD2−AH2=3 3，根据三角形的面积公式即可得到△ADF的面积=12AF⋅DH=12×6×3 3=9 3．
本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是34x元，
根据题意得：60034x−600x=5，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，
∴34x=34×40=30．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
(2)设购买m本《孙子算经》，则购买(80−m)本《周髀算经》，
根据题意得：80−m≥12m，
解得：m≤1603．
设购买这两种图书共花费w元，则w=30×0.8m+40×0.8(80−m)，
∴w=−8m+2560，
∵−8<0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤1603，且m为正整数，
∴当m=53时，w取得最小值，此时80−m=80−53=27．
答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．
【解析】(1)设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是34x元，利用数量=总价÷单价，结合用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出《周髀算经》的单价，再将其代入34x中，即可求出《孙子算经》的单价；
(2)设购买m本《孙子算经》，则购买(80−m)本《周髀算经》，根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买这两种图书共花费w元，利用总费用=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB=BDcs53∘≈90.6=15(m)，
∴此时云梯AB的长为15m；
(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE−DE=19−2=17(m)，
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= AD2+BD2= 172+92= 370(m)，
∵ 370m<20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【解析】(1)在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
(2)根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OE、OD，如图：
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠OAD=∠B=45°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∵点E是弧DF的中点．
∴∠DOE=∠EOF=12∠DOF=45°，
∴∠OEB=180°−∠EOF−∠B=90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是半径，
∴BC是⊙O的切线，
(2)解：∵OE⊥BC，∠B=45°，
∴△OEB是等腰三角形，
设BE=OE=x，则OB= 2x，
∴AB=x+ 2x，
∵AB= 2BC，
∴x+ 2x= 2( 2+x)，
解得x=2，
∴S阴影=S△OEB−S扇形OEF=12×2×2−45×π×22360=2−π2．
【解析】(1)连接OE、OD，证出OE⊥BC，即可得出结论；
(2)根据S阴影=S△OEB−S扇形OEF，分别求出△OEB和扇形OEF的面积即可．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题关键．
26.【答案】【问题呈现】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
【类比探究】解：BDCE= 22；
【拓展提升】解：(1)∵ABBC=ADDE=34，∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，ABAC=ADAE=35，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴BDCE=ADAE=35；
(2)由(1)得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGC=∠BGF，
∴∠BFC=∠BAC，
∴sin∠BFC=sin∠BAC=BCAC=45．
【解析】【问题呈现】证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
【类比探究】证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
解：BDCE= 22；
证明过程如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ADAE=ABAC=1 2= 22，∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴BDCE=ABAC= 22；
【拓展提升】(1)先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
(2)在(1)的基础上得出∠ACE=∠ABD，进而∠BFC=∠BAC，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
27.【答案】解：(1)B(5,5)；顶点D(2,−4)．
(2)过点D作DE⊥y轴于点E，
∴DE=2，OE=4，
∴tan∠DOE=12，
∵tan∠PDO=12，
∴∠DOE=∠PDO，
①当点P在线段OD的右侧时，DP//y轴，如图，
∴P(2,0)；
②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，
∴OG=DG，
设OG=t，则DG=t，GE=4−t，
在Rt△DGE中，t2=22+(4−t)2，
解得t=52，
∴G(0,−52)，
∴直线DG的解析式为：y=−34x−52，
令y=0，则−34x−52=0，
解得：x=−103，
∴P(−103,0)．
综上，P点的坐标为(2,0)或(−103,0)；
(3)∵点B(5,5)与点M关于对称轴x=2对称，
∴M(−1,5)．
如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，
直线OB的解析式是y=x，
∴N(−1,−1)，MN=6，
∵点Q横坐标为m，
∴Q(m,m2−4m)，K(m,m)，
∴KQ=m−(m2−4m)=−m2+5m．
∵S1=12QK(xB−xE)，S2=12MN(xB−xE)，
∴S1S2=QKMN=−16(m2−5m)=−16(m−52)2+2524，
∵−16<0，
∴当m=52时，S1S2的最大值为2524．
【解析】(1)令y=x2−4x=x，求出x的值即可得出点B的坐标，将函数y=x2−4x化作顶点式可得出点D的坐标；
(2)过点D作DE⊥y轴于点E，易得tan∠DOE=12，因为tan∠PDO=12，所以∠DOE=∠PDO，分两种情况进行讨论，当点P在线段OD的右侧时，DP//y轴，当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，分别求出点P的坐标即可；
(3)分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，则S1=12QK(xB−xE)，S2=12MN(xB−xE)，由点Q的横坐标为m，可表达S1S2，再利用二次函数的性质可得出结论．
(1)令y=x2−4x=x，
解得x=0或x=5，
∴B(5,5)；
∵y=x2−4x=(x−2)2−4，
∴顶点D(2,−4)．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．
1.−15的倒数是( )
A. −15B. −5C. 15D. 5
2.据中国经济网资料显示，2023年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元.10870用科学记数法表示为( )
A. 0.1087×105B. 0.1087×104C. 1.087×104D. 10.87×104
3.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. a4÷a2=a2C. (a3)2=a5D. 2a2+3a2=5a4
4.在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1=23°，则∠2的度数是( )
A. 23°
B. 53°
C. 60°
D. 67°
5.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE.若AC=6，BD=8，则OE=( )
A. 2
B. 52
C. 3
D. 4
6.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为( )
A. 15°
B. 17.5°
C. 20°
D. 25°
7.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE=60°.若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为( )
A. 1.8
B. 2.4
C. 3
D. 3.2
8.如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边DC、BC上，且BF=CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE、AC于点G，M，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM.有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为3 2；③CF2=GE⋅AE；④S△ADM=4 2.其中正确的是( )
A. ①②
B. ②③④
C. ①③
D. ①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.在函数y=1x+2中，自变量x的取值范围是______．
10.因式分解：4m2−16=______．
11.如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE//BC，交AC于点E.若AD=2，BD=3，则AEAC的值是______．
12.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程______．
13.若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为 ．
14.若x=3是关x的方程ax2−bx=6的解，则2023−6a+2b的值为______．
15.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E.若AC=5，BE=4，∠B=45°，则AB的长为______．
16.如图，分别经过原点O和点A(4,0)的直线a，b夹角∠OBA=30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是______．
三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算： 12−2cs30°+| 3−2|+2−1．
18.(本小题6分)
解不等式组：3(x−1)<25x+32>x，并写出所有整数解．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：x2+xx2−2x+1÷(x+1)2x2−1−x−3x−1，其中x= 3+1．
20.(本小题8分)
某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图．
请解答下列问题：
(1)在这次调查中，该校一共抽样调查了______名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______°；
(2)请补全条形统计图；
(3)若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数．
21.(本小题10分)
扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源.某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览．
(1)甲选择A景点的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．
22.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：AD=AF；
(2)若AD=6，AB=3，∠A=120°，求BF的长和△ADF的面积．
23.(本小题10分)
中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
24.(本小题10分)
每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20m)，且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
(参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3)
25.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若CE= 2，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．
26.(本小题12分)
【问题呈现】
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD=CE．
【类比探究】
如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°.连接BD，CE.请直接写出BDCE的值．
【拓展提升】
如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且ABBC=ADDE=34.连接BD，CE．
(1)求BDCE的值；
(2)延长CE交BD于点F，交AB于点G.求sin∠BFC的值．
27.(本小题14分)
抛物线y=x2−4x与直线y=x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
(1)直接写出点B和点D的坐标；
(2)如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO=12时，求点P的坐标；
(3)如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m(0
1.【答案】B
【解析】解：∵(−15)×(−5)=1，
∴−15的倒数是−5，
故选：B．
根据互为倒数的两个数乘积为1即可求解．
本题考查的是倒数，解题的关键是掌握互为倒数的两个数乘积为1．
2.【答案】C
【解析】解：10870=1.087×104．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故此选项不符合题意；
B、a4÷a2=a2，故此选项符合题意；
C、(a3)2=a6，故此选项不符合题意；
D、2a2+3a2=5a2，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、合并同类项法则分别进行判断即可．
本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则，熟练掌握这些法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H．
∵AB//CD，
∴∠2=∠FHG．
又∵∠1+∠E=∠FHG，
∴∠2=∠1+∠E=23°+30°=53°．
故选：B．
利用平行线的性质即可求解．
本题考查平行线的性质，比较简单．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，
∵AC=6，BD=8，
∴OC=3，OB=4，
∴CB= OB2+OC2=5，
∵E为边BC的中点，
∴OE=12BC=52．
故选：B．
由菱形的性质得到OC=12AC=3，OB=12BD=4，AC⊥BD，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OC，OB的长，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出OE的长．
6.【答案】C
【解析】解：连接IC，IB，OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI=35°，
∴∠BAC=2∠CAI=70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC=2∠BAC=140°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=12×(180°−∠BOC)=12×(180°−140°)=20°，
故选：C．
连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC=2∠CAI=70°，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC=140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠C=60°，
∴∠CAD+∠ADC=120°，
∵∠ADE=60°．
∴∠BDE+∠ADC=120°，
∴∠CAD=∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴ADDE=ACDB，
∵BD=4DC，
∴设DC=x，
则BD=4x，
∴BC=AC=5x，
∴AD2.4=5x4x，
∴AD=3，
故选：C．
先证∠CAD=∠BDE，再根据∠B=∠C=60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出AD的长．
本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°，
∵BF=CE，
∴BC−BF=DC−CE，
即CF=DE，
在△ADE和△DCF中，
AD=DC∠ADE=∠DCFDE=CF，
∴△ADE≌△DCF(SAS)，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠DAE+∠ADG=90°，
∴∠AGD=90°，
∴∠AGM=90°，
∴∠AGM=∠AGD，
∵AE平分∠CAD，
∴∠MAG=∠DAG，
又AG为公共边，
∴△AGM≌△AGD(ASA)，
∴GM=GD，
又∵∠AGM=∠AGD=90°，
∴AE垂直平分DM，
故①正确；
②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
即DO⊥AM，
∵AE垂直平分DM，
∴HM=HD，
当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN=HM+HO=HD+HO=DO，即PM+PN的最小值是DO的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC=BD=4 2，
∴DO=12BD=2 2，
即PM+PN的最小值为2 2，
故②错误；
③∵AE垂直平分DM，
∴∠DGE=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠DGE=∠ADE，
又∵∠DEG=∠AED，
∴△DGE∽△ADE，
∴DEAE=GEDE，
即DE2=GE⋅AE，
由①知CF=DE，
∴CF2=GE⋅AE，
故③正确；
④∵AE垂直平分DM，
∴AM=AD=4，
又DO=2 2，
∴S△ADM=12AM⋅DO=12×4×2 2=4 2，
故④正确；
综上，正确的是：①③④，
故选：D．
①先根据正方形的性质证得△ADE和△DCF全等，再利用ASA证得△AGM和△AGD全等，即可得出AE垂直平分DM；
②连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，根据题意当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，即PM+PN的最小值是DO的长，根据正方形的性质求出BD的长，从而得出DO=2 2，即PM+PN的最小值2 2；
③先证△DGE∽△ADE，再根据相似三角形的性质及CF=DE，即可判断；
④先求出AM的长，再根据三角形面积公式计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
9.【答案】x≠−2
【解析】解：根据题意得：x+2≠0，
解得：x≠−2．
故答案为x≠−2．
根据分式有意义的条件是分母不为0；分析函数解析式可得关系式x+2≠0，解得答案．
本题考查求解析法表示的函数的自变量取值范围，注意当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．
10.【答案】4(m+2)(m−2)
【解析】解：4m2−16，
=4(m2−4)，
=4(m+2)(m−2)．
此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11.【答案】25
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB=ADAD+DB，
∵AD=2，BD=3，
∴AEAC=25．
故答案为：25．
根据DE//BC，得到△ADE∽△ABC，得到AEAC=ADAB=ADAD+DB，结合AD=2，BD=3计算即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
12.【答案】301(1+x)2=500
【解析】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，
依题意得：301(1+x)2=500．
故答案为：301(1+x)2=500．
设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
该圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×2=180×π×l180，然后解方程即可．
【解答】
解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得2π×2=180×π×l180，
解得l=4，
即该圆锥的母线长为4．
故答案为：4．
14.【答案】2019
【解析】解：把x=3代入方程得：9a−3b=6，即3a−b=2，
则原式=2023−2(3a−b)=2023−4=2019．
故答案为：2019．
把x=3代入方程求出3a−b的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15.【答案】7
【解析】【分析】
本题主要考查了作一条线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及线段的和差．
设MN交BC于点D，连接EC，由作图可知MN是线段BC的垂直平分线，即得
BE=CE=4，由等腰三角形的性质可得∠ECB=∠B=45°，从而根据三角形的外角性质求得∠AEC=90°，进而在Rt△ACE中由勾股定理可求得AE=3，最后根据线段的和差即可求得AB的长．
【解答】
解：如图，设MN交BC于点D，连接EC．
由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE=4，
∴∠ECB=∠B=45°，
∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= AC2−CE2= 52−42=3，
∴AB=AE+BE=3+4=7．
16.【答案】3+ 66
【解析】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．
∵∠ATO=2∠ABO=60°，TO=TA，
∴△OAT是等边三角形，
∵A(4,0)，
∴TO=TA=TB=4，
∵OK=KT，OM=MB，
∴KM=12TB=2，
∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，
当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，
∵△OTA是等边三角形，OK=KT，
∴AK⊥OT，
∴AK= OA2−OK2= 42−22=2 3，
∵AM是切线，KM是半径，
∴AM⊥KM，
∴AM= AK2−MK2= (2 3)2−22=2 2，
过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．
∵∠PML=∠AMK=90°，
∴∠PMK=∠LMA，
∵∠P=∠MLA=90°，
∴△MPK∽△MLA，
∴MPML=PKAL=MKAM=22 2=1 2，
设PK=x，PM=y，则有ML= 2y，AL= 2x，
∴ 2y= 3+x①，y=3− 2x，
解得，x=3 2− 33，y=3+ 63，
∴ML= 2y=3 2+2 33，
∴sin∠OAM=3 2+2 332 2=3+ 66．
故答案为：3+ 66．
作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM.证明KM=12TB=2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大．
本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
17.【答案】解： 12−2cs30°+| 3−2|+2−1
=2 3−2× 32+2− 3+12
=2 3− 3+2− 3+12
=52．
【解析】根据实数的运算进行计算．
本题主要考查了实数的运算的知识、锐角三角函数的知识、绝对值的知识、负整数指数幂的知识，难度不大．
18.【答案】解：3(x−1)<2①5x+32>x②，
解不等式①，得x<53，
解不等式②，得x>−1，
∴原不等式组的解集是−1
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式=x(x+1)(x−1)2÷(x+1)2(x+1)(x−1)−x−3x−1
=x(x+1)(x−1)2÷x+1x−1−x−3x−1
=x(x+1)(x−1)2⋅x−1x+1−x−3x−1
=xx−1−x−3x−1
=3x−1，
当x= 3+1时，
原式=3 3= 3．
【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】200 72
【解析】解：(1)60÷30%=200(名)，
在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是360°×40200=72°，
故答案为：200，72；
(2)选择足球的学生有：200−30−60−20−40=50(人)，
补全的条形统计图如图所示：
(3)1200×30200=180(名)，
答：估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名．
(1)根据选择乒乓球的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数；
(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择足球的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
(3)用1200乘以“篮球”项目的百分比即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】(1)13；
(2)根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的情况有5种，
∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率是59．
【解析】解：(1)甲选择A景点的概率为13，
故答案为：13；
(2)见答案．
(1)由概率公式直接可得答案；
(2)先画出树状图，共有9种等可能的情况，再根据概率公式，计算即可得出结果．
本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在于根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)证明：在▱ABCD中，∵AB//CD，
∴∠CDE=∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF，
(2)解：∵AD=AF=6，AB=3，
∴BF=AF−AB=3；
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，
∵∠BAD=120°，
∴∠DAH=60°，
∴∠ADH=30°，
∴AH=12AD=3，
∴DH= AD2−AH2=3 3，
∴△ADF的面积=12AF⋅DH=12×6×3 3=9 3．
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠CDE=∠F，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠F=∠ADF，根据等腰三角形的判定定理即可得到AD=AF，
(2)根据线段的和差得到BF=AF−AB=3；过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，根据直角三角形的性质得到AH=12AD=3，DH= AD2−AH2=3 3，根据三角形的面积公式即可得到△ADF的面积=12AF⋅DH=12×6×3 3=9 3．
本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是34x元，
根据题意得：60034x−600x=5，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，
∴34x=34×40=30．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
(2)设购买m本《孙子算经》，则购买(80−m)本《周髀算经》，
根据题意得：80−m≥12m，
解得：m≤1603．
设购买这两种图书共花费w元，则w=30×0.8m+40×0.8(80−m)，
∴w=−8m+2560，
∵−8<0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤1603，且m为正整数，
∴当m=53时，w取得最小值，此时80−m=80−53=27．
答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．
【解析】(1)设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是34x元，利用数量=总价÷单价，结合用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出《周髀算经》的单价，再将其代入34x中，即可求出《孙子算经》的单价；
(2)设购买m本《孙子算经》，则购买(80−m)本《周髀算经》，根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买这两种图书共花费w元，利用总费用=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB=BDcs53∘≈90.6=15(m)，
∴此时云梯AB的长为15m；
(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE−DE=19−2=17(m)，
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= AD2+BD2= 172+92= 370(m)，
∵ 370m<20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【解析】(1)在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
(2)根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OE、OD，如图：
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠OAD=∠B=45°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∵点E是弧DF的中点．
∴∠DOE=∠EOF=12∠DOF=45°，
∴∠OEB=180°−∠EOF−∠B=90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是半径，
∴BC是⊙O的切线，
(2)解：∵OE⊥BC，∠B=45°，
∴△OEB是等腰三角形，
设BE=OE=x，则OB= 2x，
∴AB=x+ 2x，
∵AB= 2BC，
∴x+ 2x= 2( 2+x)，
解得x=2，
∴S阴影=S△OEB−S扇形OEF=12×2×2−45×π×22360=2−π2．
【解析】(1)连接OE、OD，证出OE⊥BC，即可得出结论；
(2)根据S阴影=S△OEB−S扇形OEF，分别求出△OEB和扇形OEF的面积即可．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题关键．
26.【答案】【问题呈现】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
【类比探究】解：BDCE= 22；
【拓展提升】解：(1)∵ABBC=ADDE=34，∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，ABAC=ADAE=35，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴BDCE=ADAE=35；
(2)由(1)得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGC=∠BGF，
∴∠BFC=∠BAC，
∴sin∠BFC=sin∠BAC=BCAC=45．
【解析】【问题呈现】证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
【类比探究】证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
解：BDCE= 22；
证明过程如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ADAE=ABAC=1 2= 22，∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴BDCE=ABAC= 22；
【拓展提升】(1)先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
(2)在(1)的基础上得出∠ACE=∠ABD，进而∠BFC=∠BAC，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
27.【答案】解：(1)B(5,5)；顶点D(2,−4)．
(2)过点D作DE⊥y轴于点E，
∴DE=2，OE=4，
∴tan∠DOE=12，
∵tan∠PDO=12，
∴∠DOE=∠PDO，
①当点P在线段OD的右侧时，DP//y轴，如图，
∴P(2,0)；
②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，
∴OG=DG，
设OG=t，则DG=t，GE=4−t，
在Rt△DGE中，t2=22+(4−t)2，
解得t=52，
∴G(0,−52)，
∴直线DG的解析式为：y=−34x−52，
令y=0，则−34x−52=0，
解得：x=−103，
∴P(−103,0)．
综上，P点的坐标为(2,0)或(−103,0)；
(3)∵点B(5,5)与点M关于对称轴x=2对称，
∴M(−1,5)．
如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，
直线OB的解析式是y=x，
∴N(−1,−1)，MN=6，
∵点Q横坐标为m，
∴Q(m,m2−4m)，K(m,m)，
∴KQ=m−(m2−4m)=−m2+5m．
∵S1=12QK(xB−xE)，S2=12MN(xB−xE)，
∴S1S2=QKMN=−16(m2−5m)=−16(m−52)2+2524，
∵−16<0，
∴当m=52时，S1S2的最大值为2524．
【解析】(1)令y=x2−4x=x，求出x的值即可得出点B的坐标，将函数y=x2−4x化作顶点式可得出点D的坐标；
(2)过点D作DE⊥y轴于点E，易得tan∠DOE=12，因为tan∠PDO=12，所以∠DOE=∠PDO，分两种情况进行讨论，当点P在线段OD的右侧时，DP//y轴，当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，分别求出点P的坐标即可；
(3)分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，则S1=12QK(xB−xE)，S2=12MN(xB−xE)，由点Q的横坐标为m，可表达S1S2，再利用二次函数的性质可得出结论．
(1)令y=x2−4x=x，
解得x=0或x=5，
∴B(5,5)；
∵y=x2−4x=(x−2)2−4，
∴顶点D(2,−4)．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．
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