2023-2024学年江苏省苏州市星海实验初中九年级（下）调研数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市星海实验初中九年级（下）调研数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知一组数据：7，4，3，7，8，6这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 7，7B. 7，6.5C. 6.5，7D. 5.5，7
2.将抛物线y=−3x2向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是
( )
A. y=−3(x+5)2+6B. y=−3(x+5)2−6
C. y=−3(x−5)2+6D. y=−3(x−5)2−6
3.在直角坐标系中，点P的坐标是(3, 3)，圆P的半径为3，下列说法正确的是
( )
A. ⊙P与x轴、y轴都有两个公共点
B. ⊙P与x轴、y轴都没有公共点
C. ⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D. ⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
4.已知抛物线y=ax2−2ax+b(a>0)的图象上三个点的坐标分别为A(3,y1)，B(2,y2)，C(−2,y3)，则y1，y2，y3的大小关系为
( )
A. y35.如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为( )
A. 2mB. 4mC. 6mD. 8m
6.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2024，则一元二次方程a(x−1)2+bx−b+2=0必有一根为
( )
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
7.如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ADB上不与点A、点B重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=76°，则∠ADC的度数为
( )
A. 26°B. 20°C. 16°D. 30°
8.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)，其对称轴为直线x=−12，结合图象分析下列结论：①abc>0；②3a+c>0；③当x<0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=−13，x2=12；⑤若m，n(m−3且n<2，其中正确的结论有
( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知a3=b5，则aa+b的值为 ．
10.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30％，估计袋中黑球有 个．
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3BC，则csB= ．
12.已知一组数据的方差S2=154−52+7−52+9−52+m−52+n−52，则m+n的值为 ．
13.已知x1，x2是一元二次方程x2+5x+6=0的两个根，则1x1+1x2的值为 ．
14.若线段AB=8cm，点C是线段AB的一个黄金分割点(AC>BC)，则AC的长为 cm(结果保留根号)．
15.函数y=x2−2ax−2在−1≤x≤4有最小值−5，则实数a的值是 ．
16.在正方形ABCD中，AB=4，点P是CD边上一动点(不与点D、C重合)，连接BP，过点C作CE⊥BP，垂足为E，点F在线段BP上，且满足EF=EC，连接AF，则AF的最小值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.解方程：x(2x−1)=4x−2
18.计算：tan60∘−4−π0+2cs30∘+(14)−1．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,3)，B(−4,0)，C(0,0)．
(1)写出△ABC的外心坐标 ；
(2)将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A1B1O，画出△A1B1O；
(3)在(2)的基础上，求A旋转路径的长度及OA扫过的区域面积．
20.(本小题8分)
某校在课后服务中，成立了以下社团：A.计算机，B.围棋，C.篮球，D.书法每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为150°．
请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有 人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有2160学生加入了社团，请你估计这2160名学生中有 名学生参加了篮球社团；
(4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
21.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0．
(1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a=1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
22.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=−x2+mx+3经过点M(−2,3)．
(1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当0≤y<4时，x的取值范围是 ．
23.(本小题8分)
如图1，图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB(与地面平行)或绕定点P(固定在垃圾桶底部的某一位置)上下转动(转动过程中始终保持AP=AˈP，BP=BˈP).通过向下踩踏点A到Aˈ(与地面接触点)使点B上升到点Bˈ，与此同时传动杆BH运动到BˈHˈ的位置，点H绕固定点D旋转(DH为旋转半径)至点Hˈ，从而使桶盖打开一个张角∠HDHˈ.如图3，桶盖打开后，传动杆HˈBˈ所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设HˈC=BˈM.测得AP=6cm，PB=12cm，DHˈ=8cm，要使桶盖张开的角度∠HDHˈ不小于60°，那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm？(结果精确到0.1cm)(参考数据： 2≈1.41． 3≈1.73)
24.(本小题8分)
为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．
(1)求平均单株产量y(千克)与每平方米种植的株数x(x为整数，且2≤x<10)之间的函数关系式；
(2)已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
25.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
(1)求证：AE=2GF；
(2)连接CP，若cs∠CGP=45，GF=2 10，求CE的长．
26.(本小题8分)
如图，点D是⊙O直径AC延长线上的点，点B在圆上，且BD2=DC·DA，tan∠BAC=12，延长BC至点E，使CE=BC，过点B作BF⏊AC于点F，交AE于点G．
(1)求证：BD与⊙O相切；
(2)求S△BCDS△BEG的值．
27.(本小题8分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−8x+8与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
(1)抛物线解析式为 ；
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
(3)如图2，以B为圆心、3为半径的⊙B与x轴交于E、F两点(F在E右侧)，若点P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD=90°(P、A、D三点为逆时针顺序)，连接ED，FD.求ED长度的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：将这组数据重新排列为3、4、6、7、7、8，
所以这组数据的中位数为6.5，众数为7．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=−3x2向左平移5个单位长度，得到的解析式为：y=−3(x+5)2，
再向上平移6个单位长度，得到的解析式为：y=−3(x+5)2+6，
故所得抛物线相应的函数表达式是：y=−3(x+5)2+6．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：∵P(3, 3)，圆P的半径为3，
∴以P为圆心，以3为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，
∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：y=ax2−2ax−b(a>0)，
对称轴是直线x=−−2a2a=1，
即二次函数的开口向上，对称轴是直线x=1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
A点关于直线x=1的对称点是D(−1,y1)，B点关于直线x=1的对称点是E(0,y2)，
∵−2<−1<0，
∴y3>y1>y2，
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
根据题意，画出示意图，易得：Rt△ECD∽Rt△CFD，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED·FD，代入数据可得答案．
【解答】
解：根据题意得：
树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m，
∵∠E+∠ECD=∠E+∠CFD=90°，
∴∠ECD=∠CFD，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
∴EDDC=DCFD，
即DC2=ED·FD，
∵ED=2m，DF=8m，
∴DC2=16，
∴DC=4m；
故选B.
6.【答案】D
【解析】解：对于一元二次方程a(x−1)2+bx−b+2=0，
设t=x−1，
所以at2+bt+2=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2024，
所以at2+bt+2=0有一个根为t=2024，
则x−1=2024⇒x=2025，
所以a(x−1)2+b(x−1)+3=0必有一根为x=2025．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解；如图，连接OB、OA．
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=∠PAO=90°
由四边形的内角和定理，得
∠BOA=360°−90°−90°−76°=104°，
∵∠OPB=∠OPA，∠OPB+∠POB=90°，∠OPA+∠POA=90°，
∴∠POB=∠POA=52°．
∵∠ADC=12∠AOC=26∘，故选：A．
8.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)，其对称轴为直线x=−12
∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)和(2,0)，且a=b
由图象知：a<0，c>0，b<0
∴abc>0，故结论①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)
∴9a−3b+c=0
∵a=b，c=−6a
∴3a+c=−3a>0，故结论②正确；
∵当x<−12时，y随x的增大而增大；当−12∵cx2+bx+a=0，c>0
∴cax2+bax+1=0
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)和(2,0)
∴ax2+bx+c=0的两根是−3和2
∴ba=1，ca=−6
∴cax2+bax+1=0即为：−6x2+x+1=0，解得x1=−13，x2=12；，故结论④正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)和(2,0)，
∴y=ax2+bx+c=a(x+3)(x−2)
∵m，n(m∴m，n(m∴m，n(m2，故结论⑤错误；
故选：A．
9.【答案】38
【解析】解：设a3=b5=k，则a=3k，b=5k，
所以aa+b=3k3k+5k=3k8k=38，
故答案为：38．
10.【答案】21
【解析】解：由题意可得，总的可能有：9÷30％=30，30−9=21，
故答案为：21．
11.【答案】13
【解析】解：设BC为x，则AB=3x，
由勾股定理得，AC= AB2−BC2=2 2x，
csB=BCAB=13，
故答案为：13．
12.【答案】5
【解析】解：由题意知，这组数据为4，7，9，m，n，其平均数为5，
则15×(4+7+9+m+n)=5，
∴m+n=5，
故答案为：5．
13.【答案】−56
【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x2=−5，x1x2=6，
所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=−56=−56．
故答案为：−56．
14.【答案】4( 5−1)
【解析】解：根据黄金分割点的概念和AC>BC，得：AC= 5−12AB=4 5−1．
故本题答案为：4( 5−1)．
15.【答案】−2或 3
【解析】解：∵y=x2−2ax−2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−−2a2×1=a，
当a≤−1时，则x=−1时，函数有最小值−5，
∴此时y=1+2a−2=−5，解得a=−2；
当a≥4时，则x=4时，函数有最小值−5，
∴此时y=16−8a−2=−5，解得a=198(不合题意，舍去)；
当−1∴此时y=a2−2a2−2=−5，解得a1= 3，a2=− 3(舍去)，
综上，实数a的值是−2或 3，
故答案为：−2或 3．
16.【答案】2 10−2 2
【解析】解：作△BCF的外接⊙O，连接OB、OC、OA、OF，在优弧BC⌢上取点M，连接MB、MC，过O作ON⊥AB，与AB的延长线交于点N，
∵CE⊥BP，CE=CF，
∴∠CFE=45°，
∴∠BMC=∠CFE=45°，
∴∠BOC=90°，
∵AB=BC=4，
∴OB=OC=OF= 22BC=2 2，∠OBC=45°
∵ON⊥AB，∠ABC=90°，
∴ON // BC，
∴∠ONB=45°，
∴BN=ON= 22OB=2，
∴OA= AN2+ON2= 2+12+12=2 10，
∵AF≥OA−OF，
当A、F、O三点依次在同一直线上时，AF=OA−OF=2 10−2 2的值最小，
故AF的最小值为：2 10−2 2，
故答案为：2 10−2 2．
17.【答案】解：x(2x−1)=4x−2
(x−2)(2x−1)=0
x1=2，x2=12

【解析】见答案
18.【答案】tan60∘−4−π0+2cs30∘+(14)−1
= 3−1+2× 32+4
= 3−1+ 3+4
=2 3+3．

【解析】见答案
19.【答案】【小题1】
(−2,1)
【小题2】
如图，△A1B1O即为所求．
【小题3】
∵OA= 12+32= 10，
∴点A旋转路径的长度为90π× 10180= 10π2．
OA扫过的区域面积90×π× 102360=52π

【解析】1.
解：如图，分别作线段AB、AC、BC的垂直平分线，相交于点P，
可得点P的坐标为(−2,1)．
∴△ABC的外心坐标为(−2,1)．
2. 见答案
3. 见答案
20.【答案】【小题1】
360
【小题2】
C组人数为：360−120−30−150=60(人)，
故补充条形统计图如图：
【小题3】
360
【小题4】
设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
∵一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，
∴P(一男一女)=812=23．

【解析】1.
解：∵D所占扇形的圆心角为150°，
∴这次被调查的学生共有：150÷150360=360(人)；
故答案为：360．
2. 见答案
3.
2160×60360=360(人)，
答：这1800名学生中有360人参加了篮球社团，
4. 见答案
21.【答案】【小题1】
证明：Δ=[−(k+3)]2−4×1×3k=k2−6k+9=(k−3)2，
∵(k−3)2≥0，即Δ≥0，
∴无论k取任何实数，方程总有实数根；
【小题2】
解：当b=c时，k=3，方程为x2−6x+9=0，
解得：x1=x2=3，
此时三边长为1，3，3，周长为1+3+3=7；
当a=b=1或a=c=1时，把x=1代入方程得：1−(k+3)+3k=0，
解得：k=1，此时方程为：x2−4x+3=0，
解得：x1=3，x2=1，
此时三边长为1，1，3，不能组成三角形，
综上所述，△ABC的周长为7．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
22.【答案】【小题1】
解：把M(−2,3)代入y=−x2+mx+3得：
−4−2m+3=3，
解得m=−2，
∴y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(−1,4)；
【小题2】
−3≤x<−1或−1
【解析】1. 见答案
2.
∵y=−(x+1)2+4，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当y=0时，x1=−3，x2=1，
∴当0≤y<4时，x的取值范围是−3≤x<−1或−123.【答案】解：过点A作AˈN⊥AB，垂足为N点，如图，在Rt△HˈCD中，若∠HDHˈ=60°，
则sin60∘=CH′DH′，
∴CH′= 32×8=4 3 cm，
由题意得：BˈM=CHˈ，
∴B′M=4 3 cm．
∵∠AˈPN=∠BˈPM，∠AˈNP=∠BˈMP=90°，
∴Rt△AˈNP∽Rt△BˈMP，
∴A′NA′P=B′MB′P，
∴A′N=A′P⋅B′MB′P=6×4 312=2 3≈2×1．73=3．46cm．
∵桶盖张开的角度∠HDHˈ不小于60°，
∴CH′>4 3 cm．
∴AˈN的最小值为2 3 cm，
即踏板AB离地面的高度至少等于3.5cm；
故答案为：3.5cm；

【解析】见答案
24.【答案】【小题1】
解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.8千克，
∴y=8.4−0.8(x−2)=−0.8x+10，
∴y关于x的函数表达式为y=−0.8x+10，(2≤x≤10，且x为整数)；
【小题2】
设每平方米番茄产量为W千克，
根据题意得：W=x(−0.8x+10)=−0.8x2+10x=−0.8(x−254)2+1254，
∵−0.8<0，x为整数，
∴当x=6时，W取最大值，最大值为1565，
∴10×1565=312(千克)，
答：每平方米种植6株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产量为312千克．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
25.【答案】【小题1】
证明：过G作GM⊥AB于M，如图1所示：
则∠FMG=90°，四边形ADGM是矩形，
∴AD=GM，∠MFG+∠MGF=90°，
由题知得：GF⊥AE，
∴∠MFG+∠FAO=90°，
∴∠BAE=∠MGF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠D=∠B=90°=∠FMG，
∴△ABE∽△GMF，
∴AEGF=ABGM=ABAD=ABBC=2，
∴AE=2GF；
【小题2】
解：过P作PK⊥BC，交BC的延长线于K，如图2所示：
由折叠的性质得：AF=EF，∠FEP=∠FAD=∠D=∠EPG=90°，
∴∠CGP+∠GHP=90°，
∵∠PEC+∠EHC=90°，∠GHP=∠EHC，
∴∠PEC=∠CGP，
∵∠BFE+∠BFE=∠BEF+∠PEC=90°，
∴∠BFE=∠PEC=∠CGP，
∵cs∠CGP=45sin∠CGP=35，
∴sin∠CGP=sin∠BFE=BEEF=35，
设BE=3x，则AF=EF=5x，
∴BF= EF2−BE2= 5x2−3x2=4x，
∴AB=AF+BF=9x，
∵AE=2GF，GF=2 10，
∴AE=4 10，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，
即9x2+3x2=4 102，
解得：x=43或x=−43(舍去)，
∴AB=9x=12，BE=6x=4，
∵AB=2BC，
∴BC=6，
∴CE=BC−BE=6−4=2．


【解析】1. 见答案
2. 见答案
26.【答案】【小题1】
证明：连接OB
∵BD2=DC·DA
∴CDBD=BDAD
且∠CDB=∠BDA
△CDB∽△BDA
∴∠CBD=∠BAD
∵∠CBA=∠CBO+∠OBA=90°
∴∠CBO+∠DBC=∠DBO=90°
则：BD与⊙O相切；
【小题2】
作EH⊥BG交BG的延长线于H，如图所示：
∵CE=BC，
∴BCBE=12，
∵BF⊥AD，
∴AD // EH，
∴△BCF∽△BEH，
∴BFBH=CFEH=BCBE=12，
∵∠ABC=90°，BF⊥AD，
∴△CFB∽△BFA，
∴CFBF=BFAF=BCAB=12，
∴CFAF=CFBF⋅BFAF=12×12=14，
设CF=a，则AF=4a，EH=2a，CA=CF+AF=a+4a=5a，
由题知CDCA=13，
∴DC=53a，
∵AD // EH，
∴△AFG∽△EHG，
∴FGGH=AFEH=4a2a=2
设GH=b，则FG=2b，BF=FH=3b，BG=BF+FG=3b+2b=5b，
∴S△BCDS△BEG=12DC⋅BF12BG⋅EH=53a⋅3b5b⋅2a=12

【解析】1. 见答案
2. 见答案
27.【答案】【小题1】
y=x2−9x+8
【小题2】
当y=x2−9x+8时，解得：x1=1，x2=6，
∴B(8,0)，
∴直线BC的解析式为：y=−x+8，
设M(m,m2−9m+8)，则N为(m,−m+8)，
∴MN=−m+8−(m2−9m+6)=−m2+8m+2=−(m−4)2+18，
∴当M运动到(4,−12)时，线段MN的长度最大为18；
【小题3】
①∵A(1,0)，B(8,0)，
∴AB=8−1=7，
将点B绕A点顺时针旋转90°到Bˈ，连接ABˈ，PB，BˈD，
∵∠BˈAD+∠BAD=90°，∠PAB+∠BAD=90°，
∴∠BˈAD=∠PAB，
∵AB=ABˈ，PA=AD，
∴△ADBˈ≌△APBˈ(SAS)，
∴BP=BˈD，
∵PB=3，
∴BˈD=3，
∴D在以Bˈ为圆心，3为半径的圆上运动，
∵B(8,0)，A(1,0)，
∴Bˈ(1,−7)；
②∵BE=3，
∴E(5,0)，
∴B′E= 72+42= 65，
∴DE的最大值为 65+3，DE的最小值为 65−3，
∴ 65−3≤DF≤ 65+3．

【解析】1.
解：直线AC：y=−8x+8，
x=0时，y=8，
∴C(0,8)，y=−8x+8=0时，解得：x=1，
∴A(1,0)，
∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，
∴1+b+c=00+0+c=8，解得：b=−9c=8,
∴抛物线解析式为y=x2−9x+8，
故答案为：y=x2−9x+8；
2. 见答案
3. 见答案