2024年中考数学复习专项训练---07 图形的变化（菁讲）

这是一份2024年中考数学复习专项训练---07 图形的变化（菁讲），共37页。


热点突破
热点1 尺规作图
【例1】 （2024•雁塔区校级三模）如图，是的角平分线，请用尺规作图法，求作菱形，使得点、分别在边、上．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解答．
【分析】作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，，结合菱形的判定可知，四边形为菱形，即菱形为所求．
【解答】解：如图，作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，，
则，，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
四边形为菱形，
即菱形为所求．
【例2】 （2024•阳西县一模）如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）应用与计算：在（1）的条件下，过点作于点，若，的面积为15，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先根据三角形面积公式求出，再由角平分线上的点到角两边的距离相等可得．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求；
（2），，
．
平分，，，
．
【例3】 （2024•福田区校级模拟）如图，已知，点在射线上，点，在射线上，其中，四边形是平行四边形．
（1）请只用无刻度的直尺画出菱形，并说明理由．
（2）作出（1）中菱形后，若，，求的长．
【答案】（1）见解答．
（2）6．
【分析】（1）连接，，相交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接，则四边形即为所求；结合平行四边形的性质以及全等三角形的判定证明，可得，结合可得四边形是平行四边形，再由等腰三角形的性质可得，即四边形是菱形．
（2）由菱形的性质可得，，．在中，，则．
【解答】解：（1）如图，连接，，相交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接，
则四边形是菱形，
即菱形为所求．
理由：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
，
为等腰三角形，
，
，
即，
四边形是菱形．
（2）四边形是菱形，
，，．
，
．
在中，，，
，
．
【例4】 （2024•介休市模拟）如图，在四边形中，，．
（1）用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）结合角平分线的定义以及平行线的性质可得，则，进而可得，则四边形为平行四边形．再根据，可知四边形是菱形．
【解答】（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
，
四边形是菱形．
【例5】 （2024•河南模拟）在中，，连接．
（1）尺规作图：过点作，交的延长线于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：为的切线；
（3）若，，则的半径为 ．
【答案】（1）作图见解析过程；
（2）证明见解析过程；
（3）2．
【分析】（1）以为圆心，长为半径画弧，以为圆心长为半径画弧交于点，连接，延长交于点即可；
（2）连接并延长交于点，证明是线段的垂直平分线即可；
（3）证明即可．
【解答】（1）解：如图1所示：
（2）证明：如图2，连接并延长交于点，
，；
是线段的垂直平分线；
；
；
；
为的切线．
（3）解：设，；
；
；
；
；
即；
解得：；
；
；
；
故答案为：2．
热点2 投影与视图
【例1】 （2024•安徽模拟）如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的视图，俯视图是从几何体的上面看所得到的图形．
【解答】解：主视图是两个同心圆，俯视图是带有虚线的矩形，
故选：．
【例2】 （2024•河北模拟）由个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，现拿走一个小立方体，得到几何体的主视图与左视图均没有变化，则拿走的小立方体是
A．①B．②C．③D．④
【答案】
【分析】根据主视图和左视图的特点，即可得出结果．
【解答】解：根据主视图的特点，拿走③不会变化，
根据左视图的特点，拿走①③④都不会变化，
综合来看，拿走③得到几何体的主视图与左视图均没有变化，
故选：．
【例3】 （2024•浑南区模拟）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，则从它的正面看到的几何体的形状是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左右两边各一个小正方形，
故选：．
【例4】 （2024•河南模拟）如图是由一个底面是正方形的长方体和一个圆柱组成的几何体（圆柱底面圆心与正方形中心重合），关于主视图，下列说法正确的是
A．主视图与俯视图相同B．左视图与俯视图相同
C．主视图与左视图相同D．三种视图都相同
【答案】
【分析】根据三视图方法分别找到主视图、左视图和俯视图的形状，然后判断即可．
【解答】解：主视图：是两层，上面一个矩形，下面一个长方形，
左视图：是两层，上面一个矩形，下面一个长方形，
俯视图是：底面是正方形，正方形表面中间是一个圆，
则主视图和左视图相同，
故选：．
【例5】 （2024•裕华区一模）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为
A．B．C．D．
【分析】直接利用三视图判断出几何体，再利用圆锥侧面积公式求出答案．
【解答】解：由三视图可判断该几何体是圆锥，
底面直径为4，母线长为6，
故这个几何体的侧面积为：．
故选：．
热点3 立体图形的展开与折叠
【例1】 （2023•玄武区二模）如图是一个直三棱柱，它的底面是边长为5、12、13的直角三角形．下列图形中，是该直三棱柱的表面展开图的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】三棱柱的侧面展开图是长方形，底面是三角形，据此进行判断即可．
【解答】解：选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
选项中，展开图上下两个直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
选项中，展开图能折叠成一个三棱柱，符合题意；
故选：．
【例2】 （2024•唐河县模拟）第19届亚运会将于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，中国代表队自1982年新德里亚运会以来，连续蝉联金牌榜第一，中国已经成为亚洲体育第一强国．小明将“亚、洲、体、育、第、一”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，现在原正方体中，与“一”字所在面相对的面上的汉字是
A．亚B．洲C．体D．育
【答案】
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答．
【解答】解：原正方体中，与“一”字所在面相对的面上的汉字是“体”，
故选：．
【例3】 （2024•正阳县一模）如图①所示的是一个正方体的平面展开图，将对应的正方体从如图②所示的位置依次翻过第1格、第2格，到第3格时，正方体朝上一面上的字是
A．精B．彩C．亚D．运
【答案】
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个可得：亚与彩是相对面，运与真是相对面，会与精是相对面，然后再实际操作一下，即可解答．
【解答】解：由题意得：亚与彩是相对面，运与真是相对面，会与精是相对面，
将对应的正方体从如图②所示的位置依次翻过第1格、第2格，到第3格时，正方体朝上一面上的字是彩，
故选：．
【例4】 （2023•内乡县一模）如图，某正方体三组相对的两个面的颜色相同，分别为红，黄，蓝三色，其展开图不可能是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用正方体的展开图中，间隔是对面判断即可．
【解答】解：根据正方体的展开图中，间隔是对面可知，选项、、中都符合正方体三组相对的两个面的颜色相同，只有选项中，蓝与蓝是相邻的面，
故选：．
【例5】 （2023•长岭县模拟）下列图形中，不是正方体展开图的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据正方体的展开图判断求解．
【解答】解：、、都可以折叠成正方体，
故选：．
热点4 图形的对称（含折叠）
【例1】 （2024•大余县校级一模）2023年南昌国庆烟花晚会上，夜空中出现了下列四个字，为轴对称图形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：，，选项中的字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
【例2】 （2024•河北模拟）将直角三角形按图所示的方式折叠，使点与点重合，展开后得到折痕，则折痕是的
A．中线B．高线C．角平分线D．中位线
【答案】
【分析】根据折叠的性质得到点是的中点，点是的中点，即可得出结论．
【解答】解：由题意得：，，，
，
，
，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
故选：．
【例3】 （2024•丛台区校级一模）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花树，，两处桂花树的位置关于小路对称．在如图所示的平面直角坐标系内，若点的坐标为，则点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意可知，关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，继而得到本题答案．
【解答】解：，关于轴对称，点的坐标为，
点的坐标为，
故选：．
【例4】 （2024•瑶海区校级一模）如图，在中，，，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为点，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】易知，，由平行线的性质得，由折叠的性质得，最后根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：四边形为平行四边形，
，
，
，，且，
，，
，
由折叠的性质可知，，
．
故选：．
【例5】 （2024•莱芜区校级模拟）如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接，首先根据正方形的性质和勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后求出，然后证明出，得到，代数求解即可．
【解答】解：如图所示，连接，
边长为2的正方形的对角线相交于点，
，
，
将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得．
故选：．
热点5 图形的平移、旋转与位似
【例1】 （2024•鄞州区校级一模）在平面直角坐标系中，将点先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若的横纵坐标相等，则的值为
A．0B．1C．2D．3
【答案】
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：将点先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到点，即点的坐标是为．
点的横纵坐标相等，
，
，
故选：．
【例2】 （2024•红桥区一模）如图图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
【例3】 （2024•渠县校级一模）如图，已知与位似，点是位似中心，若，则与的面积比是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：，
，
与位似，
，，
，
，
，
故选：．
【例4】 （2024•湖南模拟）如图，将沿方向平移得到，若，则的长为 ．
【答案】2．
【分析】根据平移的性质得出，进而解答即可．
【解答】解：由平移可得，，
，
，
，
故答案为：2．
【例5】 （2023•高青县二模）如图，在长为37米，宽为26米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草，则种植花草的面积 900 平方米．
【答案】900．
【分析】可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为37米与一条纵向长为26米的小路，种植花草的面积总面积小路的面积小路交叉处的面积，计算即可．
【解答】解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，种植花草的面积．
答：种植花草的面积是．
热点考题
一、选择题（共4小题）
1．（2023•鄂州）下列立体图形中，主视图是圆的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，由此判断即可．
【解答】解：、主视图是长方形，故此选项不符合题意；
、主视图是长方形，故此选项不符合题意；
、主视图是三角形，故此选项不符合题意；
、主视图是圆，故此选项符合题意；
故选：．
2．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是
A．B．或
C．D．或
【答案】
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：以原点为位似中心，相似比为2，把放大，点的坐标为，
点的对应点的坐标为或，，即或，
故选：．
3．（2023•温州）截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，可得选项的图形．
故选：．
4．（2023•牡丹江）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
二、填空题（共4小题）
5．（2023•绵阳）在平面直角坐标系中，将点先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点，则 0 ．
【答案】0．
【分析】利用点平移的坐标规律，列出关于、的方程，求出、，代入计算即可．
【解答】解：将点先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点，
，，
，，
．
故答案为：0．
6．（2022•台州）如图，的边长为．将平移得到△，且，则阴影部分的面积为 8 ．
【答案】8．
【分析】根据平移的性质得出阴影部分的面积等于四边形的面积解答即可．
【解答】解：由平移可知，阴影部分的面积等于四边形的面积，
故答案为：8．
7．（2023•绵阳）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到△，满足，过点作，垂足为，连接，若，则的长为 ．
【答案】．
【分析】设交于，由，将绕点按逆时针方向旋转得到△，可得，而，即可得，故，因，即有，，设，则，，求出，，证明，即可得，从而．
【解答】解：设交于，如图：
，
，
将绕点按逆时针方向旋转得到△，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
8．（2023•泸州）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是 1 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
【解答】解：在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是1．
故答案为：1．
三、解答题（共2小题）
9．（2023•无锡）如图，中，，，．
（1）尺规作图：作菱形，使、、分别在、、上；
（2）题（1）中所作的菱形的周长为 ．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）先作的平分线，再作交于点，作交于点，则四边形满足条件；
（2）设菱形的边长为，则，，再证明，根据相似三角形的性质得到，即，利用比例性质求出，从而得到菱形的周长．
【解答】解：（1）如图，菱形为所作；
（2）设菱形的边长为，则，，
四边形为菱形，
，
，
，即，
解得，
即菱形的边长为，
菱形的周长．
故答案为：．
10．（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
（1）画出线段绕点顺时针旋转后得到的线段，连接；
（2）画出与关于直线对称的图形，点的对称点是；
（3）填空：的度数为 ．
【答案】（1）（2）见解答；
（3）．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点的对称点，从而得到；
（2）延长到点使，则满足条件；
（3）先根据旋转的性质得到，，则可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用对称的性质得到的度数．
【解答】解：（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作；
（3）线段绕点顺时针旋转后得到的线段，
，，
为等腰直角三角形，
，
与关于直线对称，
．
故答案为：专题热度
★★★★
命题热点
1．尺规作图
2．投影与视图
3．立体图形的展开与折叠
4．图形的对称（含折叠）
5．图形的平移、旋转与位似
热门方法
长对正、高平齐、宽相等；数形结合思想
热点题型
选择题、填空题、解答题
名师点拨
1．在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．
2．尺规作图的关键
（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．
名师点拨
1．平行投影的特点：
（1）平行投影中，同一时刻的光线是平行的；
（2）平行投影的物高与影长对应成比例．
2．中心投影的特点：
（1）等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体影子短，离点光源的物体影子长；
（2）等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度短．
3．利用投影解决实际问题
两个多边形相似，必须同时具备两个条件：
（1）角分别相等；（2）边成比例．
4．三视图中的各视图，分别从不同方面表示物体的形状，三者合起来能够较全面地反映物体的形状，单独一个视图难以全面地反映物体的形状，在实际生活中常用三视图描述物体的形状．
5．根据三视图确定几何体
（1）由三视图想象立体图时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形．
（2）从实线和虚线想象几何体看得见和看不见的部分的轮廓线．
名师点拨
（1）正方体展开图，共11种图形．
①“141”型（6种）
②“231”型（3种）
③“222”型（1种）
④“33”型（1种）
（2）不是所有的立体图形都可以展开为平面图形．如球的表面就不能展开为平面图形．
（3）同一个立体图形，按不同方式展开，可以得到不同的展开图．
（4）立体图形中相对的两个面在展开图中既没有公共边，也没有公共点．
名师点拨
1．轴对称的性质
判断轴对称图形，可以先试着画对称轴，通过观察对称轴两旁的部分是否重合来判定，找对称轴时要多角度观察图形和对折图形．
2．轴对称与轴对称图形
（1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段．
（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．
（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．
（4）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等．
（5）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．
（6）画对称轴的依据：对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据．
3．中心对称与中心对称图形
（1）中心对称是指两个图形间的位置关系．
（2）中心对称是特殊的旋转，旋转角为180°．
（3）成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在每个图形的外部，也可能在每个图形的内部或图形上，但对称点一定在对称中心的两侧与对称中心重合．
4．轴对称与中心对称的区别
轴对称：两个图形关于一条直线对称，沿该直线翻折，两图形重合；关于一条直线对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分．
中心对称：两个图形关于一点对称，沿该点旋转180°，两个图形重合，关于一点对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分．
名师点拨
1．平移
（1）连接对应点的线段的长度就是平移的距离．
（2）从原图形上一点到其对应点的方向即为平移的方向．
2．图形的旋转
（1）三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角．
（2）性质：
①旋转前后的两个图形全等；
②对应点到旋转中心的距离相等；
③每一对对应点与旋转中心所成的角都相等且等于旋转角．
3．位似图形
（1）位似中心可以在两个图形的内部，可以在两个图形的外部，也可以在两个图形上．
（2）判断两个图形是否位似，首先看它们是否相似，再看对应的连线是否经过同一点．
4．位似图形的性质
位似图形的对应角相等，对应边成比例；位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心；位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．