2024年中考数学复习专项训练---06 圆（菁讲）

这是一份2024年中考数学复习专项训练---06 圆（菁讲），共49页。

热点突破
热点1 垂径定理
【例1】 （2024•渭城区一模）如图，是的直径，是弦，于，，，则的长为
A．8B．10C．D．
【答案】
【分析】连接，设的半径为，则，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，得出，求出，再求出，最后根据勾股定理求出即可．
【解答】解：连接，设的半径为，则，，
，过圆心，，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，，
，
，
故选：．
【例2】 （2024•五华区校级模拟）如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为
A．5B．C．D．
【答案】
【分析】由圆周角定理得到，由勾股定理求出，由垂径定理得到，由勾股定理即可求出．
【解答】解：是直径，
，
，，
，
于点，
，
．
故选：．
【例3】 （2024•中山市一模）如图，在的内接四边形中，，，，垂足为，则的长为 3 ．
【答案】3．
【分析】如图，作于，则，由勾股定理得，，由，求得，由勾股定理得，，则，由，可得，证明，则，计算求解即可．
【解答】解：如图，作于，
，，
，
由勾股定理得，，
，
，
解得，，
由勾股定理得，，
，
，
，
又，
，
，即，
解得，
故答案为：3．
【例4】 （2024•浙江一模）如图，为直径上的一点，点和在上，且．若，，则 ．
【分析】延长交于，作于，连接，，如图，由，得到，利用圆的对称性得到点与点关于对称，则，所以，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则在中可勾股定理计算出，然后根据垂径定理得到，，即可得到的值．
【解答】解：延长交于，作于，连接，，如图，
，
而，
，
点与点关于对称，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
故答案为：．
【例5】 （2024•朝阳区校级一模）如图，是的直径，点是的中点，过作弦，连接，．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若点是 的中点，连接，过点作，垂足为，若的半径为2，求线段的长．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）．
【分析】（1）连接，先证是的垂直平分线，从而得，，在中，利用锐角三角函数可求出，进而可得，则，据此可得出结论；
（2）先利用（1）得结论证明，然后求出，进而求出，最后在中根据，可得的长．
【解答】（1）证明：连接，如图：
是的直径，弦，
是的垂直平分线，
，
，
，点为的中点，
，
在中，，
，
，
，
，
为等边三角形．
（2）解：由（1）可知：是等边三角形，，
，
点为弧的中点，
，
的半径为2，
，
点为的中点，
，
，
在中，，
，
在中，，，
．
热点2 圆与内接多边形
【例1】 （2024•雁塔区校级三模）如图，四边形是的内接四边形，，，连接，，，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据圆内接四边形的性质得出，求出的度数，再根据圆周角定理得出，再根据，求出答案即可．
【解答】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【例2】 （2024•临汾一模）如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接，根据圆周角定理求出，，进而求出，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：如图，连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
四边形内接于，
，
，
故选：．
【例3】 （2024•昭通一模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据圆内接四边形的“对角互补”求出，再根据圆周角定理求出即可．
【解答】解：四边形是的内接四边形，
，
．
故选：．
【例4】 （2024•前郭县一模）如图，是的外接圆，，连接．若，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接，如图，先根据垂径定理得到，则利用圆心角、弧、弦的关系得到，从而得到的度数，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接，如图，
，
，
，
，
．
故选：．
【例5】 （2023•栖霞区校级三模）如图，四边形内接于，，，、、三点共线．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【分析】（1）由，得到，由，得到，因此，由圆周角定理得到，因此，即可证明；
（2）连接，作于，由圆内接四边形的性质，推出，得到，由等腰三角形的性质推出，由圆心角、弧、弦的关系得到，由锐角的余弦求出的长，即可得到的长．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，作于，
，，
，
，
，
四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
热点3 与圆周角、圆心角有关的计算
【例1】 （2024•大余县校级一模）如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．若，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据圆周角定理可求解的度数，连接，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解的度数即可．
【解答】解：连接，
，
，
半径，互相垂直，
，
，
，
故选：．
【例2】 （2024•尉氏县一模）如图，是的直径，若，连接，，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】首先求出，进而利用，得到答案．
【解答】解：如下图，连结，，
，
，
，
，
故选：．
【例3】 （2024•鸠江区一模）如图所示，点、、都在上，若，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】过、作的直径，分别在等腰、等腰中，根据三角形外角的性质求出．
【解答】解：过作的直径，交于．
在中，，
则，
同理可得：，
故．
故选：．
【例4】 （2023•越城区模拟）如图，，是的两条弦，于点，于点，连结，．若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据四边形的内角和等于计算可得，再根据圆周角定理得到，进而可以得到答案．
【解答】解：，，
，，
，
，
，
故选：．
【例5】 （2023•无为市三模）如图，，是的弦，延长，相交于点，已知，，则所对的圆心角的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理进行计算即可．
【解答】解：如图，连接，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
热点4 与切线有关的证明与计算
【例1】 （2024•浙江一模）如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接、，由是的直径，得，，由切线的性质得，而，则，所以是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接、，则，
是的直径，
，，
与相切于点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
【例2】 （2024•潼南区一模）如图，是的切线，为切点，连接，．若，，则的长度是
A．3B．C．D．4
【答案】
【分析】连接，由切线的性质得到半径，由锐角的正切定义求出，而，由勾股定理即可求出．
【解答】解：连接，
是的切线，为切点，
半径，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【例3】 （2024•皇姑区模拟）如图，在中，，点是上一点，且，点在上，以点为圆心的圆经过，两点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为3，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）6．
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，等量代换得到，求得，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到，求得，设，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
（2），，
，
，
在中，，
设，，
，
，
．
【例4】 （2024•临潼区一模）已知：如图，是直径，直线经过的上一点，过点作直线的垂线，垂足为点，平分．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点作于，根据垂径定理得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
直线与相切；
（2）解：过点作于，
则，
，
，
在中，，，
则，
，
，
的半径．
【例5】 （2024•雁塔区三模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交延长线于点，为上一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）设与交于点，连接，，利用圆周角定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理求得，设，则，利用勾股定理列出方程求得值，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，
，
．
，
，
，
．
，
是的半径，
为的切线；
（2）解：设与交于点，连接，，如图，
为的直径，
，
，
四边形为矩形．
．
在中，
，，
．
设，则．
，
，
解得：，
，．
．
，，
．
，
，
．
．
热点5 弧长、扇形面积的计算，圆锥、圆柱的有关计算
【例1】 （2024•镜湖区一模）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据圆周角的性质，计算出弧所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可．
【解答】解：连接、、，
，．
，，
，
．
故选：．
【例2】 （2024•莱芜区校级模拟）如图，是的直径，为的弦，于点．已知，则阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【分析】连接，证即可得，利用扇形面积公式即可求解．
【解答】解：如图：连接，
是的半径，于点，
，
又和为的半径，即，
，
．
设半径为，在中，，
，
解得，
，
，
，
．
故答案为：．
【例3】 （2024•历下区一模）如图所示，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为 8 ．
【答案】8．
【分析】由图可知：图案的面积半圆的面积的面积扇形的面积，可根据各自的面积计算方法求出图案的面积．
【解答】解：在中，，，
，
，，；
所以阴影面积，
故答案为：8．
【例4】 （2023•怀宁县一模）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，求此圆锥高的长度．
【答案】．
【分析】根据题意求出的长，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为，
，，
的长为：，
则，
，
，
答：圆锥高的长度为．
【例5】 （2023•青山区模拟）如图，已知是的直径，为弦的中点．
（1）求证：；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解答：
（2）．
【分析】（1）连接，首先利用垂径定理得，知，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；
（2）根据扇形的面积减去的面积，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接，
是的直径，为弦的中点，
，
，
，
；
（2）解：是的直径，为弦的中点，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
．
热点考题
一、选择题（共5小题）
1．（2023•巴中）如图，是的外接圆，若，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由圆周角定理求得的度数，再根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：连接，
，
，
，
．
故选：．
2．（2023•山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由圆的切线可得，进而可证明、、、四点共圆，利用圆内接四边形的性质可求得，再根据弧长公式计算可求解．
【解答】解：过点，的两条切线相交于点，
，
、、、四点共圆，
，
圆曲线的长为：．
故选：．
3．（2023•苏州）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，连接，，，过点作，交的延长线于点．设的面积为，的面积为，若，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案．
【解答】解：如图，过作于，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
设，则，
，
，
，
，
，
；
故选．
4．（2023•牡丹江）如图，，，为上的三个点，，若，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用圆周角定理可求，再根据，得，所以．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
5．（2023•沈阳）如图，四边形内接于，的半径为3，，则的长是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论．
【解答】解：四边形内接于，，
，
，
的长．
故选：．
二、填空题（共3小题）
6．（2023•长沙）如图，点，，在半径为2的上，，，垂足为，交于点，连接，则的长度为 1 ．
【答案】1．
【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
【解答】解：如图，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：1．
7．（2023•河南）如图，与相切于点，交于点，点在上，且．若，，则的长为 ．
【答案】．
【分析】连接，根据切线的性质可得，然后利用证明，从而可得再在中，利用勾股定理求出，最后根据的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：连接，
与相切于点，
，
，，，
，
，
在中，，，
，
的面积的面积的面积，
，
，
，
，
故答案为：．
8．（2023•宁夏）如图，四边形内接于，延长至点，已知 那么 70 ．
【答案】70．
【分析】由圆内接四边形的性质，得到，由邻补角的性质得到，因此，由圆周角定理求出，得到．
【解答】解：，，
，
，
．
故答案为：70．
三、解答题（共2小题）
9．（2023•济南）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．
（1）求的度数；
（2）若，求直径的长．
【分析】（1）由切线的性质得到，由，得到，由三角形外角的性质得到，因此，得到，求出，得到．
（2）由圆周角定理推出，由直角三角形的性质求出的长，即可得到的长．
【解答】解：（1）与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）连接，
是直径，
，
点是的中点，
，
，
，，，
，
，，
，
的直径的长为．
10．（2023•齐齐哈尔）如图，在中，，平分交于点，点是斜边上一点，以为直径的经过点，交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．（结果保留
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接，由，得到，由角平分线定义得到，因此推出，得到半径，即可证明问题；
（2）连接，，由，得到，由直角三角形的性质求出长，由锐角的余弦求出长，得到圆的半径长，由，推出阴影的面积扇形的面积，由扇形面积公式即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
半径于点，
是的切线；
（2）解：连接，，
，，
，，
，
，
是的直径，
，
平分，
，
在 中，，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
专题热度
★★★★★
命题热点
1．垂径定理
2．圆与内接多边形
3．与圆周角、圆心角有关的计算
4．与切线有关的证明与计算
5．弧长、扇形面积的计算，圆锥的有关计算
热门方法
割补法求图形的面积，等积变形法求图形的面积，辅助线作图，分类讨论思想、数形结合思想
热点题型
选择题、填空题、解答题
名师点拨
1．垂径定理及其推论的有关计算与证明
垂径定理应用中常作的辅助线：
（1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形；
（2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形．
2．应用垂径定理作图
圆弧中点的确定：由垂径定理可知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，所以常通过作孤所对的弦的垂直平分线确定孤的中点．
3．利用垂径定理解决实际问题
利用垂径定理解答弓形问题时，常通过作辅助线构造直角三角形，然后利用勾股定理求得相关线段的长，从而解决问题．
名师点拨
1．直角三角形外接圆的半径：（为斜边长）．
2．等边三角形外接圆的半径：（为边长）．
3．圆内接四边形的对角互补．
4．圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角．
5．一般地，正n边形的一个内角的度数为，中心角的度数等于；正多边形的中心角与外角的大小相等．
注意：易错把正多边形的内切圆的半径（即边心距）当作正多边形的半径．
名师点拨
计算圆心角和圆周角时的注意事项：
1．在进行有关圆心角与圆周角的计算时，应适当添加辅助线，以方便角度之间的转化．一条弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数个，它们都相等．
2．一条弦所对的圆心角只有一个，但它所对的圆周角却有无数个，在同一条弦的同侧的圆周角相等，在同一条弦的异侧的两个圆周角互补．
名师点拨
（1）切线的判定方法一——连半径，证垂直，某直线是圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，那么可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“有交点，连半径，证垂直”．
（2）切线的判定方法二——作垂直，证半径
证明某直线是圆的切线时，如果未明确说明直线和圆有公共点，那么常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
名师点拨
1．弧长公式涉及三个量，分别为弧长l，半径R，圆心角n．对于这三个量，可以借助弧长公式知二求一．
2．半径为R，圆心角为n°的扇形面积为；半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为．
3．圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为．