2024年中考数学复习专项训练---11 应用题（菁讲）

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热点突破
列方程（组）解应用题的主要步骤
（1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系；
（2）设：设未知数（设未知数时可直接设未知数，也可间接设未知数．一般求什么，就设什么）；
（3）找：找出应用题中的相等关系；
（4）列：根据相等关系列出方程（或方程组）；
（5）解：解所列的方程（组），求出未知数的值；
（6）检：检验所求未知数的值是否符合题意；
（7）答：写出答案（包括单位名称）．
【温馨提示】
①列方程（组）解应用题的关键是准确地找出题中的几个相等关系，正确地列出方程组．
②设未知数时可直接设未知数，也可间接设未知数．
③一般来说，设几个未知数，就列出几个方程并组成方程组．
④“审”和“找”两步可在草稿纸上进行，书面上主要写“设”“列”“解”“ 检”和“答”五个步骤．
⑤要根据应用题的实际意义检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去．
⑥“设”“答”两步都要写清单位名称．
⑦在列方程组时，要注意等号左、右两边单位的统一．
热点1 古代数学应用题
【例1】 （2024•望花区一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得．
【解答】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：．
故选：．
【例2】 （2024•郫都区模拟）《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有个人，物品价格为钱，则下列方程组中正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据每人出8钱，则多出3钱，可得，根据每人出7钱，则还差4钱，可得，从而可以列出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
【例3】 （2023秋•郯城县期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有辆车，列方程为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据“每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘”即可列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得：，
故选：．
【例4】 （2022•凤翔县一模）《九章算术》是中国古代非常重要的一部数学典籍，被视为“算经之首”，大约成书于公元前200年公元前50年，其中有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，则多出3400钱；每人出300钱，则多出100钱．问人数、金价各是多少？如果设有个人，那么可以列方程为 ．
【答案】．
【分析】设有个人，根据金的价钱不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有个人，
依题意，得：．
故答案为：．
【例5】 （2023秋•永善县期末）一元二次方程主要来源于生活，其中与几何有关的问题较多，它是解决生产、生活中的实际问题的有力工具．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔各几何？”译文为：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？
【答案】该矩形田地的长为36步，宽为24步．
【分析】设该矩形田地的长为步，则宽为步，根据该矩形田地的面积等于864平方步，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，可得出该矩形田地的长，再将其代入中，即可求出该矩形田地的宽．
【解答】解：设该矩形田地的长为步，则宽为步，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
（步．
答：该矩形田地的长为36步，宽为24步．
热点2 最值问题
【例1】 （2024•东营区模拟）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．
（1）求甲、乙商品每件各多少元？
（2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元，要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．
【答案】（1）甲商品每件17元，乙商品每件12元；
（2）该单位共有4次购买方案，
方案1：购买17件甲商品，13件乙商品；
方案2：购买18件甲商品，12件乙商品；
方案3：购买19件甲商品，11件乙商品；
方案4：购买20件甲商品，10件乙商品，
该单位购买这批商品最少要用445元资金．
【分析】（1）设甲商品每件元，乙商品每件元，根据“购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买件甲商品，则购买件乙商品，根据“计划资金不超过460元，且购买乙商品的数量不超过甲商品数量的”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲商品每件元，乙商品每件元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲商品每件17元，乙商品每件12元；
（2）设购买件甲商品，则购买件乙商品，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为17，18，19，20，
该单位共有4次购买方案，
方案1：购买17件甲商品，13件乙商品；
方案2：购买18件甲商品，12件乙商品；
方案3：购买19件甲商品，11件乙商品；
方案4：购买20件甲商品，10件乙商品．
选择方案1所需总费用为（元；
选择方案2所需总费用为（元；
选择方案3所需总费用为（元；
选择方案4所需总费用为（元．
，
该单位购买这批商品最少要用445元资金．
【例2】 （2024•柘城县校级一模）教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某校为了让学生体验农耕劳动，计划购买，两种型号的劳动工具．已知型劳动工具的单价比型劳动工具少3元，且用3000元购买型劳动工具的数量与用3450元购买型劳动工具的数量相等．
（1）求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？
（2）该校计划购买，两种型号的劳动工具共100个，且型劳动工具的数量不少于型劳动工具数量的一半，求购买这批劳动工具的最少费用．
【答案】（1）型劳动工具的单价为20元，型劳动工具的单价为23元；
（2）购买这批劳动工具的最少费用为2102元．
【分析】（1）设型劳动工具的单价为元，则型劳动工具的单价为元，根据“用3000元购买型劳动工具的数量与用3450元购买型劳动工具的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可；
（2）设购买型劳动工具个，则购买型劳动工具个，购买这批劳动工具的费用为元，根据题意求出关于的函数关系式，再求出的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．
【解答】解：（1）设型劳动工具的单价为元，则型劳动工具的单价为元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解且符合题意，
则，
答：型劳动工具的单价为20元，型劳动工具的单价为23元；
（2）设购买型劳动工具个，则购买型劳动工具个，
设购买这批劳动工具的费用为元．
则，
，
随着的增大而增大．
根据题意，得，
解得，
为整数，
的最小值为34，
当时，最小，最小值为，
答：购买这批劳动工具的最少费用为2102元．
【例3】 （2024•桂阳县模拟）2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”挂件能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”挂件，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”挂件，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”挂件每件的进价分别是多少元？
（2）若两批“吉祥龙”挂件按相同的标价销售，要使两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于7300（不考虑其他因素），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出，那么每件“吉祥龙”挂件的标价至少是多少元？
【分析】（1）设该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是元件，则第二批“吉祥龙”挂件的进价是元，利用数量总价单价，结合第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价，再将其代入中，即可求出该商场购进第二批“吉祥龙”挂件的进价；
（2）利用数量总价单价，可求出该商场购进第一批及第二批“吉祥龙”挂件的数量，设每件“吉祥龙”挂件的标价是元，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不低于7300元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是元件，则第二批“吉祥龙”挂件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元件）．
答：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元；
（2）该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的数量是（件，
该商场购进第二批“吉祥龙”挂件的数量是（件．
设每件“吉祥龙”挂件的标价是元，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为90．
答：每件“吉祥龙”挂件的标价至少是90元．
【例4】 （2024•郑州模拟）2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护黄河，远离雾霾”植树节活动．已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元，用400元购买甲种树苗的棵数恰好与用300元购买乙种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）学校决定购买甲、乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗的售价打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，最多可购买多少棵甲种树苗？
【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）最多可购买33棵甲种树苗．
【分析】（1）设甲种树苗每棵的价格是元，根据用400元购买甲种树苗的棵数恰好与用300元购买乙种树苗的棵数相同得：，解方程并检验可得答案；
（2）设购买棵甲种树苗，根据学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元得：，解不等式取最大整数解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
；
甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）设购买棵甲种树苗，
根据题意得：，
解得，
为整数，
最大取33；
最多可购买33棵甲种树苗．
【例5】 （2024•亭湖区校级模拟）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1.2万元，用14万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共24件，且购买的总费用不超过79.8万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
【答案】（1）购买1件甲种农机具需4.2万元，购买1件乙种农机具需3万元；
（2）甲种农机具最多能购买6件．
【分析】（1）设购买1件乙种农机具需万元，则购买1件甲种农机具需万元，根据用14万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲种农机具能购买件，则乙种农机具能购买件，根据购买的总费用不超过79.8万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设购买1件乙种农机具需万元，则购买1件甲种农机具需万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：购买1件甲种农机具需4.2万元，购买1件乙种农机具需3万元；
（2）设甲种农机具能购买件，则乙种农机具能购买件，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
甲种农机具最多能购买6件，
答：甲种农机具最多能购买6件．
热点3 方案选择问题
【例1】 （2024•丛台区校级一模）对于题目：“小丽同学带11元钱去买钢笔和笔记本（两种文具都买），钢笔每支3元，笔记本每本1元，那么钢笔能买多少支？”，甲同学的答案是1支，乙同学的答案是2支，丙同学的答案是3支，则正确的是
A．只有甲的答案对
B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、乙、丙答案合在一起才完整
D．甲、乙、丙答案合在一起也不完整
【答案】
【分析】设买钢笔支，笔记本本，依题意，，根据，是正整数，即可求解．
【解答】解：设买钢笔支，笔记本本，依题意，，
，是正整数，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：．
【例2】 （2023秋•电白区期末）某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元．
（1）请分别求出、两种口罩的进价是多少元？
（2）已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？
【答案】（1）种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元；
（2）小雅共有2种购买方案，方案1：购买种口罩6个，种口罩2个；方案2：购买种口罩3个，种口罩4个．
【分析】（1）设种口罩的进价是元，种口罩的进价是元，根据“该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买种口罩个，种口罩个，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设种口罩的进价是元，种口罩的进价是元，依题意得：
，
解得：，
答：种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元；
（2）设购买种口罩个，种口罩个，依题意得：
，即，
解得：．
又，均为正整数，
或，
小雅共有2种购买方案，
方案1：购买种口罩6个，种口罩2个；
方案2：购买种口罩3个，种口罩4个．
【例3】 （2023秋•北碚区校级期末）某城市计划修建一段公路，现有甲乙两个工程队，如果甲乙合作，每天可以修140米；如果先由甲单独做5天，再由乙单独做3天，可以修540米．
（1）甲，乙工程队每天分别可以修路多少米？
（2）甲乙工程队都需要租，，三种车（各队每种车至少租1辆）来运输修路产生的建筑垃圾．每辆车，车，车每天运输的建筑垃圾重量分别为1吨，2吨，3吨．甲和乙工程队都分别租了7辆车，其中两队租用车的数量一样，两队租用车，车的数量刚好互换，甲队每天运输的垃圾总重量是乙队每天运输的垃圾总重量的．已知每辆车，车，车每天的租金分别为120元，200元，240元．请问甲工程队有哪几种租车方案？其中哪种方案甲队每天的租车费用最低，最低费用为多少？
【答案】（1）甲工程队每天可以修路60米，乙工程队每天可以修路80米；
（2）甲工程队共有2种租车方案，
方案1：租用3辆车，3辆车，1辆车；
方案2：租用4辆车，1辆车，2辆车，
选择方案2甲队每天的租车费用最低，最低费用为1160元．
【分析】（1）设甲工程队每天可以修路米，则乙工程队每天可以修路米，根据“先由甲单独做5天，再由乙单独做3天，可以修540米”，可列出关于的一元一次方程，解之可得出甲工程队每天修路的长度，再将其代入中，即可求出乙工程队每天修路的长度；
（2）设甲工程队租用辆车，辆车，则租用辆车，乙工程队租用辆车，辆车，辆车，根据甲队每天运输的垃圾总重量是乙队每天运输的垃圾总重量的，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各租车方案，再分别求出选择各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队每天可以修路米，则乙工程队每天可以修路米，
根据题意得：，
解得：，
（米．
答：甲工程队每天可以修路60米，乙工程队每天可以修路80米；
（2）设甲工程队租用辆车，辆车，则租用辆车，乙工程队租用辆车，辆车，辆车，
根据题意得：，
．
又，，均为正整数，
可以为3，4，
甲工程队共有2种租车方案，
方案1：租用3辆车，3辆车，1辆车；
方案2：租用4辆车，1辆车，2辆车．
选择方案1时所需租车费用为（元；
选择方案2时所所需租车费用为（元．
，
选择方案2甲队每天的租车费用最低，最低费用为1160元．
【例4】 （2023秋•简阳市期末）某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示．
（1）该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？
（2）经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套，都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案．
【答案】（1）甲种礼盒生产25万套，乙种礼盒生产35万套；
（2）该工厂有2种生产方案，
方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套；
方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套．
【分析】（1）设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套，利用总成本每套甲种礼盒的成本生产甲种礼盒的数量每套乙种礼盒的成本生产乙种礼盒的数量，结合生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套且生产总成本为1340万元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润每套甲种礼盒的销售利润生产甲种礼盒的数量每套乙种礼盒的销售利润生产乙种礼盒的数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各生产方案．
【解答】解：（1）设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种礼盒生产25万套，乙种礼盒生产35万套；
（2）根据题意得：，
，
又，均为正整数，
或，
或，
该工厂有2种生产方案，
方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套；
方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套．
【例5】 （2023秋•甘州区校级期末）张掖市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买、两种奖品以鼓励抢答者．如果购买种20件，种15件，共需380元；如果购买种15件，种10件，共需280元．请问、两种奖品每件各多少元？
【答案】种奖品每件16元，种奖品每件4元．
【分析】设种奖品每件元，种奖品每件元，根据“如果购买种20件，种15件，共需380元；如果购买种15件，种10件，共需280元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设种奖品每件元，种奖品每件元，
根据题意得：，
解得：．
答：种奖品每件16元，种奖品每件4元．
热点4 动态几何问题
【例1】 （2023•西乡塘区二模）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端（点距墙角（点为，若梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端（点向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动米，则根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】首先利用勾股定理求得米，然后再次根据勾股定理列出方程即可．
【解答】解：在直角中，米，米，则米．
根据题意，得．
故选：．
【例2】 （2023秋•郑州月考）如图，在中，，，，现有动点从点出发，沿射线方向运动，动点从点出发，沿射线方向运动，已知点的速度是，点的速度是，它们同时出发，经过 2或12 秒，的面积是面积的一半？
【分析】设经过秒的面积是面积的一半，根据点的速度是，点的速度是表示出，，进而表示出，，利用面积表示出方程求解即可．
【解答】解：设经过秒的面积是面积的一半，
点的速度是，点的速度是，
，，
（1）当，，
根据题意得：，
整理得，
解得：或（舍去）．
（2）当，，
根据题意得：，
整理得，
解得：（舍去）或．
故答案为2或12．
【例3】 （2023秋•淮安区期中）如图，已知、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动．问：
（1）、两点从出发开始几秒时，四边形的面积为？
（2）几秒时点点间的距离是10厘米？
（3），两点间距离何时最小？
【答案】（1）5秒；
（2）1.6秒或4.8秒；
（3）秒．
【分析】（1）表示出和，利用梯形的面积公式结合四边形的面积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过作于，如果设出发秒后，厘米．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出、的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值；
（3）在直角三角形中，为0时，就最小，那么可根据这个条件和（1）中用勾股定理得出的的式子，令，得出此时时间的值．
【解答】解：（1）当运动时间为秒时，，，
依题意，得：，
解得：．
答：，两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为．
（2）设出发秒后、两点间的距离是10厘米．
则，．
作于，
则，
，
解得：或，
、出发1.6或4.8秒时，，间的距离是10厘米；
（3），
当时，即时，最小．
【例4】 （2023秋•太康县期中）如图，在矩形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动．当点运动到点停止时，点也随之停止运动，问几秒后，点和点的距离是？
【答案】秒或秒．
【分析】过点作于点，设运动时间为秒，则，，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：过点作于点，如图所示
设运动时间为秒，则，，，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：秒或秒后点和点的距离是．
【例5】 （2023秋•焦作期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．
（1）那么运动几秒时，它们相距？
（2）的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
【答案】（1）运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米；（2）不能．
【分析】（1）设运动秒时，，两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设运动秒时，的面积等于60平方厘米，利用三角形的面积公式可得出关于的一元二次方程，由根的判别式△可得出原方程无解，即的面积不能等于60平方厘米．
【解答】解：（1）设运动秒时，，两点相距15厘米，
依题意，得：，
解得：，，
运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米；
（2）的面积不能等于60平方厘米，理由如下：
设运动秒时，的面积等于60平方厘米，
依题意，得：，
整理，得：，
△，
原方程无解，即的面积不能等于60平方厘米．
热点5 真实情境下的抛物线问题
【例1】 （2023秋•青山区期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的关系式是：，这个函数图象如图所示．则小球从第到第的运动路径长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据第时小球达到最高点，然后小球开始竖直下落，分别求出和时对应的的值，然后求值即可．
【解答】解：由题意得，第时小球达到最高点，此时小球距离地面，
然后小球开始竖直下落，
当时，，
当时，，
从第到第运动路径长为，
故选：．
【例2】 （2023秋•盘龙区期末）如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（米与飞行时间（秒之间满足函数关系则小球从飞出到落地瞬间所需要的时间为
A．2秒B．3秒C．4秒D．5秒
【答案】
【分析】令，解方程求即可．
【解答】解：令，则，
解得（舍去），，
小球从飞出到落地要用．
故选：．
【例3】 （2024•朝阳区模拟）斜坡的坡度，在此斜坡上距离点的水平距离为6米处有一个球筐，球筐的高度为0.8米且垂直于水平地面，以点为原点建立如图所示平面直角坐标系．某人站在点处将篮球从点处抛出，已知篮球的运行轨迹可以看作抛物线的一部分，则若想使篮球恰好进入球筐的顶端处，此人应向后平移 米．
【答案】2．
【分析】先根据斜坡的坡度，求出点坐标，再设此人应向后平移米，则平移后的抛物线可表示为，然后把点坐标代入解析式求出即可．
【解答】解：斜坡的坡度，点到点的水平距离为6米，
点到地面的垂直距离为1.2米，
点坐标为，点坐标为，
，
设此人应向后平移米，则平移后的抛物线可表示为，
将点代入得：，
解得或（舍去），
此人应向后平移2米，
故答案为：2．
【例4】 （2023秋•梅河口市期末）某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，则这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 ．
【答案】6．
【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点．
【解答】解：，
这个二次函数图象开口向下．
当时，升到最高点．
故答案为：6．
【例5】 （2023秋•绿园区期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于、两点，拱桥最高点到的距离为8米，米，，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为10米，则的长为 米．
【答案】36．
【分析】首先建立平面直角坐标系，轴在直线上，轴经过最高点，设与轴交于，求出的长，然后设该抛物线的解析式为：，根据题干条件求出和的值，再令，求出的值，即可求出和点的坐标，的长度即可求出．
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，轴在直线上，轴经过最高点，
设与轴交于点，
，
，
由题可知：
，，
，
，，
设该抛物线的解析式为：，
把代入解析式得：，
解得，
抛物线：，
当时，，
解得，
，，
．
故答案为：36．
热点6 跨学科问题
【例1】 （2022秋•襄城县期末）在物理学中，导体中的电流跟导体两端的电压、导体的电阻之间有以下关系：，去分母得，那么其变形的依据是
A．等式的性质1B．等式的性质2
C．分数的基本性质D．以上都不对
【答案】
【分析】根据等式的性质2可得答案．
【解答】解：，去分母得，
其变形的依据是等式的性质2，
故选：．
【例2】 （2024•西平县一模）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示．（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，．则以下说法正确的是
A．当石块下降时，此时石块在水里
B．当时，与之间的函数表达式为
C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是
D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底
【答案】
【分析】观察图象，解出的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题．
【解答】解：、由图得，当石块下降时，拉力不变，此时石块不在水里，故不符题意；
、设，代入，，，得，故不符合题意；
、将代入，得，，故不符合题意；
、将代入，得，，故符合题意；
故选：．
【例3】 （2023秋•郑州期末）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，方老师带同学们进行了测浮力的实验，如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图2所示．下列说法不正确的是
A．铁块入水之前，烧杯内水的高度为
B．由段是线段可知，铁块是匀速向下移动的
C．铁块的高度为
D．当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为
【答案】
【分析】图2中点表示铁块未移动时，拉力为，那么铁块的重力为，此时铁块下表面与烧杯上端平齐；表示铁块向下移动时，拉力为，此时铁块下表面与水面平齐；铁块继续向下移动，水向外流出，水平面保持不变．表示铁块上表面刚好浸入水中，拉力为．烧杯高度为，铁块下表面接触水时移动了，所以烧杯内水的高度为，可判断正确，不符合题意；由段是线段可知，拉力与移动的距离成一次函数关系，铁块是匀速向下移动的，可判断正确，不符合题意；段表示铁块下表面刚接触水到铁块上表面刚好浸入水中的过程，因为水平面保持不变．那么段铁块移动的距离即为铁块的高度，为等于，可判断正确，不符合题意；当铁块下降高度为时，由于出水口的存在，由图2和选项可知，铁块的一半刚好浸入水中，拉力的大小为，那么所受到的浮力重力拉力，故错误，符合题意．
【解答】解：烧杯高度为，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了，烧杯内水的高度为，故正确，不符合题意；
段是线段，拉力与移动的距离成一次函数关系，铁块是匀速向下移动的，故正确，不符合题意；
烧杯有出水口，水平面在铁块下移过程中保持不变．铁块的高度为段铁块移动的距离为，故正确，不符合题意；
当铁块下降高度为时，铁块的一半刚好浸入水中，拉力的大小为，铁块的重力为，铁块所受到的浮力为，故错误，符合题意．
故选：．
【例4】 （2024•临汾一模）物理爱好者小明为了测试不溶于水且不吸水的“人造自由百变泥”的密度，他向一个圆柱体水杯中装入一定量的水，用电子测力计悬挂“人造自由百变泥”并使它的最下端与水面刚好接触，如图1所示．从此处匀速下放“人造自由百变泥”，直至浸没于水中并继续匀速下放但不与水杯的底部接触．在“人造自由百变泥”下放过程中，测力计示数与“人造自由百变泥”浸入水中深度的关系如图2所示．当时，由此可知，“人造自由百变泥”的密度是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据题图2易得人造自由百变泥”完全浸没后所受到的浮力，“人造自由百变泥”的重力，再利用公式，，并将以上两式相比即可求出人造自由百变泥”的密度．
【解答】解：由题图2可知，“人造自由百变泥”完全浸没后所受到的浮力①，
“人造自由百变泥”的重力②，
而，，
，
．
故选：．
【例5】 （2023春•温州月考）实验表明，铜导线的电阻随着温度的变化而变化．它的电阻可用公式计算．当时，；当时，．求
（1），的值；
（2）当温度为时铜导丝的电阻．
【答案】（1）；
（2）当温度为时铜导丝的电阻为．
【分析】（1）将，；，代入，再求出该方程组的解即可；
（2）由（1）知求电阻的公式为，再将代入求解即可
【解答】解：（1）把，；，代入，
得：，
解得：；
（2）由（1）可知求电阻的公式为，
把代入得：．
答：当温度为时铜导丝的电阻为．
热点考题
一、选择题（共2小题）
1．（2023秋•莱芜区期末）中国明代著名数学家程大位所著《算法统宗》中记载：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”译文为：如果一间客房住7人，那么就剩下7人安排不下；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房．问：现有客房多少间？房客多少人？设现有房客人，可列方程为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设现有房客人，由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程．
【解答】解：设现有房客人，
依题意，得：．
故选：．
2．（2023秋•藁城区期末）“某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路 ，可得方程，则题目中用“”表示的条件应是
A．每天比原计划多修，结果延期20天完成
B．每天比原计划多修，结果提前20天完成
C．每天比原计划少修，结果延期20天完成
D．每天比原计划少修，结果提前20天完成
【答案】
【分析】由代表的含义找出代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论．
【解答】解：设实际每天整修道路 ，则表示：实际施工时，每天比原计划多修，
方程，其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间，
原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前20天完成．
故选：．
二、填空题（共2小题）
3．（2023秋•临渭区期末）某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示：
若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材克，乙食材克，那么可列方程组为 ．
【答案】．
【分析】根据题意和表格中的数据，可以列出方程组，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
4．（2023秋•成华区期末）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列二元一次方程组为 ．
【答案】．
【分析】根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：大容器5个，小容器1个，总容量为3斛，
；
大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，
．
根据题意可列方程组．
故答案为：．
三、解答题（共2小题）
5．（2024•雁塔区校级二模）“世界读书日”是在每年的4月23日，设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权某批发商在“世界读书日”前夕，订购、两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购种书签100张，种书签200张，共花费5000元；订购种书签120张，种书签400张，共花费8400元．
（1）求、两种书签的进价分别为多少元：
（2）该批发商准备在进价的基础上将、两种书签提高售出，若该批发商购进、两种书签共计500张，并且种书签不超过230张，则该批发商所获最大利润为多少元．
【答案】（1）、两种书签的进价分别为20元，15元；
（2）该批发商所获最大利润为3460元．
【分析】（1）设、两种书签的进价分别为元，元，根据订购种书签100张，种书签200张，共花费5000元；订购种书签120张，种书签400张，共花费8400元列出方程组求解即可；
（2）设购买种书签张，利润为元，则购买种书签张，根据总利润单张种书签利润种书签的数量单张种书签利润种书签的数量列出关于的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设、两种书签的进价分别为元，元，
由题意得，，
解得，
答：、两种书签的进价分别为20元，15元；
（2）设购买种书签张，利润为元，则购买种书签张，
由题意得，
，
，，
随的增大而增大，
当时，最大，最大值为，
该批发商所获最大利润为3460元．
6．（2023秋•西安期末）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，如图是该反比例函数的图象，且．
（1）求关于的函数表达式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．
【答案】（1）关于的函数表达式为；（2）该液体的密度为．
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）把代入，得计算出即可．
【解答】解：（1）设反比例函数表达式为．
当，时得：
．
关于的函数表达式为．
（2）把代入，得．
解得．
答：该液体的密度为
专题热度
★★★★★
命题热点
1．古代数学应用题
2．最值问题
3．方案选择问题
4．动态几何问题
5．真实情境下的抛物线问题
6．跨学科问题
热门方法
方程思想
热点题型
解答题
名师点拨
注意正确理解题意．
名师点拨
（1）二次函数中的最值问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
名师点拨
方案决策问题有些可以列二元一次方程（组）求解．二元一次方程的正整数解的个数或几种符合要求的方程组的解的个数，往往是方案的个数，要找出最优方案，还需通过计算每个方案对应的结果，进行对比，再做选择．
甲
乙
成本（元套）
20
24
售价（元套）
25
30
名师点拨
（1）函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
（2）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件可能会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
名师点拨
在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题．
名师点拨
（1）要熟记物理公式．
（2）要学会用数学知识解决物理问题．
甲食材
乙食材
每克所含蛋白质
0.3单位
0.7单位
每克所含碳水化合物
0.6单位
0.4单位