2024年中考数学复习专项训练---05 四边形（菁讲）

这是一份2024年中考数学复习专项训练---05 四边形（菁讲），共74页。


热点突破
热点1 平行四边形
【例1】 （2024•河南模拟）如图，在中，与的平分线相交于点，且分别交于点，．为的中线．已知，，则的周长为
A．12B．17C．28D．34
【答案】
【分析】根据，平分，平分，得，根据是的中线，得，根据平分，，得，根据平分，，得，即可求得，即可求的周长．
【解答】解：平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，
，
是的中线，
，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
的周长为，
故选：．
【例2】 （2024•西安校级二模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点为中点，，，则平行四边形的周长为
A．12B．14C．24D．28
【答案】
【分析】首先证明，再由，，推出即可解决问题．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
是中点，
，
是的中位线，
，
，，
，
，
平行四边形的周长，
故选：．
【例3】 （2023•拱墅区二模）如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点，交于点，若，则 ．
【答案】．
【分析】根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质可得，设，又平分，得，设，则，然后利用相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
设，又平分，
，
设，则，
，
，，
，
设，
，
，
，
，
，即，
，（舍去），
经检验是分式方程的解，
．
【例4】 （2023•鹤庆县一模）已知：如图，在四边形中，，，垂足分别为，，延长、，分别交于点，交于点，若，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）5．
【分析】（1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；
（2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在中，
，，
，
，
．
．
【例5】 （2023•南关区校级二模）如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）过点作于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后由面积法求出的长即可．
【解答】（1）证明：，
，
又，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的长为．
热点2 矩形
【例1】 （2023•胶州市二模）如图，在中，，，，为边上一点，，，垂足分别是，，连接，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先证四边形是矩形，得，要使最小，只要最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出即可．
【解答】解：连接，如图：
，，
，
，
四边形是矩形，
，
要使最小，只要最小即可，
当时，最短，
，，，
，
的面积，
，
的最小值为，
故选：．
【例2】 （2023•碑林区校级模拟）如图，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则矩形的面积是
A．40B．20C．15D．10
【答案】
【分析】根据图形的拼剪，可得，根据三角形中位线定理求出，根据矩形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：由题意，，
点、是、的中点，
是的中位线，
，
，
矩形的面积．
故选：．
【例3】 （2023•黔东南州二模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，，则△面积的最小值为 ．
【答案】．
【分析】由折叠的性质可得：，进而可确定点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上的一段弧，如图，作，，由于△，故当最小时的面积最小，因为，故只需要求出即可．
【解答】解：由折叠的性质可得：，
点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上的一段弧，
如图，作，，垂足分别为、，
四边形是矩形，，
，，
，，
四边形是矩形，
，
△，
当最小时，△的面积最小，
，
，
当点在上时，最小，最小为，
△面积的最小值为，
故答案为：
【例4】 （2023•天山区校级三模）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若菱形的边长为10，面积为96，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）28．
【分析】（1）根据题意可判断出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得出，即，可判断出四边形是矩形；
（2）由菱形的面积和勾股定理求出，由矩形的性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：菱形边长为10，面积为96，
，，，，，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
矩形的周长．
【例5】 （2023•双阳区一模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，交延长线于点，交延长线于点．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若四边形为菱形，为中点，连接，若，，则长为 ．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，由勾股定理和三角形的中位线定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
．
，
四边形是平行四边形．
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：如图，四边形是菱形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
为中点，
，
．
故答案为：．
热点3 菱形
【例1】 （2023•龙湾区模拟）如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论：
①；
②与全等的三角形共有5个；
③四边形与四边形面积相等；
④由点、、、构成的四边形是菱形．
其中一定成立的是
A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④
【答案】
【分析】由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；
先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，因此，则四边形是菱形，④正确；
由菱形的性质得，再由证明，得，则②不正确；
由中线的性质和菱形的性质可得，，可得四边形与四边形面积相等，得出③正确．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中位线，
，故①正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，，
，四边形是菱形，故④正确；
，
由菱形的性质得：，
在和中，
，
，
，故②不正确；
，
，
四边形是菱形，
，
四边形与四边形面积相等，故③正确；
故选：．
【例2】 （2022•迁安市一模）问题：已知：如图，四边形是菱形，、是直线上两点，．求证：四边形是菱形．
几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是
甲：利用全等，证明四边形四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对D．甲、丙对，乙错
【答案】
【分析】由全等三角形的性质证出，则四边形是菱形，故甲对；再由菱形的性质得，，，则，得四边形是平行四边形，然后由，得平行四边形是菱形，故乙对，即可得出结论．
【解答】解：甲：四边形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理：，，
，，
，
四边形是菱形；
乙：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
综上所述，甲对、乙对，丙错，
故选：．
【例3】 （2023•旌阳区一模）如图，中，，．和都是等边三角形，为的中点，连接交于点，与交于点．以下结论：①；②四边形为菱形；③；④．其中，正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④．
【分析】连接，证明点，点在的垂直平分线上，即可判断①正确；根据等腰三角形的性质可得，所以，进而可以判断②错误；根据等边三角形的性质，证明四边形是平行四边形，进而可以判断③正确；根据含30度角的直角三角形即可判断④正确．
【解答】解：①如图，连接，
，为中点，
，
点在的垂直平分线上，
是等边三角形，
，
点在的垂直平分线上，
，故①正确；
②是等边三角形，是中点，
，
，
四边形不可能是菱形，故②不正确；
③是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，故③正确；
④，
，
，故④正确；
正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
【例4】 （2024•深圳模拟）如图，在中，，是边上一点，连接，是外一点且满足，，平分，连接交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若四边形的周长为20，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）证四边形是平行四边形，，再证，得，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，则，再由锐角三角函数定义得，则，进而由勾股定理求出、的长，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，
，，，
，
四边形的周长为20，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，，
，
即的长为．
【例5】 （2024•香坊区模拟）已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接，．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，当，时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角．
【答案】（1）见解析；
（2）度数为的度数2倍的角是，，，．
【分析】（1）直接由得出，得出，．再由证明，得出．由得出，从而，根据等角对等边得出，从而，由菱形的判定可知四边形是菱形；
（2）如图2，利用正方形的性质可得，然后证明即可．
【解答】（1）证明：在和中，
，
；
，
同理，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）四边形是正方形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，度数为的度数2倍的角是，，，．
热点4 正方形
【例1】 （2023•坪山区一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是
A．B．C．D．平分
【答案】
【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：
（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等，
即或，
故选：．
【例2】 （2024•浙江一模）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
【答案】3．
【分析】设小正方形在线段上的一个顶点为，与相交于点，由大正方形与小正方形的面积之比为5，可推出，设，，则，利用勾股定理和多项式的因式分解推出；延长交于点，利用平行线等分线段定理可证是的中点，利用平行要线段成比例定理可推得，即；设，则，证得，同理得，由此可推出；由，得，可求得与的长，最后由求出的值即可．
【解答】解：设小正方形在线段上的一个顶点为，与相交于点，
大正方形与小正方形的面积之比为5，
，
，
设，，则，由勾股定理得，，
，
，
，
，
，
，
，
延长交于点，
，，
，
，
，
，
设，则，
，，
，，
，
，
，
同理得：，
，
，
，
，即，
，
，即，
，
，
，
．
【例3】 （2024•碑林区校级二模）如图，正方形的边长为3，，分别在边，上，且，连接，将沿向右平移得到，连接，，则的面积的最小值为 ．
【答案】．
【分析】根据正方形的性质和平移的性质得出函数解析式，进而利用函数解析式的取值解答即可．
【解答】解：设，则，
正方形的边长为3，
，
由平移的性质可得：，，，
，
当时，的最小值为：，
的面积的最小值为；
故答案为：．
【例4】 （2022•南明区二模）如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连．
（1）求证：矩形为正方形；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）作出辅助线，得到，然后判断，得到，则有即可；
（2）同（1）的方法判断出得到，即：．
【解答】（1）证明：如图，作于，于，
，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
（2）证明：正方形和正方形，
，，
，
，
，
．
，
【例5】 （2023•肥城市一模）如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
（1） 45 （直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形是正方形．
②若，求的长．
（3）如图（2），在中，，高，，则的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．
【答案】．
【分析】（1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）①作于，如图1所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形；
②设，根据已知条件得到，由①得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质得到，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由（1）（2）得：四边形是正方形，，，，得出，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1），
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：45；
（2）①作于，如图1所示：
则，
，，
，
四边形是矩形，
，外角平分线交于点，
，，
，
四边形是正方形；
②设，
，
，
由①得四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
，
同理，，
在中，，
即，
解得：，
的长为2；
（3）解：如图2所示：
把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，
由（1）（2）得：四边形是正方形，，，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，即；
故答案为：．
热点5 四边形综合
【例1】 （2024•梅州模拟）如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点，点在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则：
①；
②；
③；
④若，则．
正确的是
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】
【分析】①由“”可证，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得；
②通过证明，可得；
③通过证明，可得，通过证明，可得，可得；
④由矩形的性质和等腰三角形的性质可得，由等腰直角三角形的性质可求．
【解答】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，故①正确；
，，
，
，
又，
，
，
，故②正确；
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，故③正确；
过点作于，于，
则四边形是矩形，
，
，，
，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，故④正确；
故选：．
【例2】 （2023•南漳县模拟）如图，在正方形中，，对角线，相交于点．点为对角线上一点，连接，过点作，分别交，于点，，连接交于点，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，得到．若点为的中点，则的面积为
【答案】．
【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质证明，，得，，利用三角函数和勾股定理分别计算，的长，利用的面积的面积的面积的面积可得结论．
【解答】解：如图，过点作于，作于，过点作于，连接，
将沿翻折得到，
，
四边形是正方形，
，，，
，是等腰直角三角形，
是的中点，
，
，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积的面积的面积的面积．
故答案为：．
【例3】 （2023•广水市模拟）如图，在正方形中，点在边上，连，若，，则长为 2 ；若点是中点，点是直线上的一动点，连，将沿着翻折得到，连交于，连、，当最小值时，则的面积为 ．
【答案】2；．
【分析】作于，设，，在中，表示出，，在中，根据列出方程求得结果；作，交于，，根据比例性质得出当最小时，最大，可得点在以为圆心，2为半径的圆上，作，切于，交的延长线于，从而当点运动到时，最小，解直角三角形，进而解，进一步求得结果．
【解答】解：如图1，作于，
在正方形中，，，，
设，，
在中，，
，
在中，
，
，
，
；
如图，作，交于，
，
，
，
，
当最小时，最大，
，
点在以为圆心，2为半径的圆上，
作，切于，交的延长线于，
当点运动到时，最小，，
作于，连接，
，
，
，
，
在中，
，
在△中，，，
，
．
故答案为：2；．
【例4】 （2024•尉氏县一模）某数学兴趣小组对具有公共顶点，且其中某个角等于大角一半的几何图形中，边与边之间的数量关系进行了如下探索：
初步探索
（1）如图1，，分别是正方形的边和边上的点，并且，我们可通过如下方法探索与和之间的数量关系：
因为，，所以我们以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，使得点与点重合，则点的对应点恰好落在的延长线上，记为点，由且易证，从而可知，，，的数量关系是 ．
探索延伸
（2）如图2，，是等腰直角的底边上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，写出新的结论，并说明理由．
拓展应用
（3）如图3，在矩形中，是边的三等分点，为边上的点，且，当，时，直接写出的长．
【答案】（1），理由见解析；
（2）（1）中的结论不成立，理由见解析；
（3）的长为．
【分析】（1）根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到；
（2）根据旋转的性质得到，，，得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论；
（3）把绕点顺时针旋转，使得点与上的点重合，则点的对应点记为点，则△，得到，，，，，根据已知条件得到，延长交于，交于，连接，根据矩形的性质和正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，设，，，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
故答案为：；
（2）（1）中的结论不成立，
理由：将绕点顺时针旋转，使得点与点重合，则点的对应点记为点，则，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）把绕点顺时针旋转，使得点与上的点重合，则点的对应点记为点，则△，
，，，，，
，，
，
是边的三等分点，，
，
延长交于，交于，连接，
则四边形是正方形，四边形是矩形，
，，
，
，，，
△，
，
，
△，
，
，
，
，
设，，，
，
，
解得，
的长为．
【例5】 （2024•河北一模）如图1和图2，平面上，四边形中，，，，．，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．
（1）若点在上，证明：；
（2）如图2，连接．
①求的度数；
②若点到的距离为2，求的值．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）①；
②或．
【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到，，然后证明出△，即可得到；
（2）①首先根据勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；②当点在上时，，，分别求得，，根据正切的定义即可求解；当在上时，则，过点作，的延长线于点，延长交的延长线于点，证明，得，，进而求得，证明，即可得到答案．
【解答】（1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到，
，
的平分线所在的直线交折线于点，
，
，
△，
；
（2）解：①，，，
，
又，，
，，
，
；
②当点在上时，，，如图2所示：
，，，
，
，
，
，
；
当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，如图3所示：
，
，
，
，即，
，，
，
，，
，
，
，
，解得，
；
综上所述，的值为或．
热点考题
一、选择题（共4小题）
1．（2023•河北）如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则
A．B．C．12D．16
【答案】
【分析】先根据正方形的面积求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后根据勾股定理求出的长，然后即可求出直角三角形的面积．
【解答】解：四边形是正方形，
又，
，
，
在中，点是斜边的中点，
，
即，
在中，，
，
，
故选：．
2．（2023•攀枝花）如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则
A．B．2C．D．
【答案】
【分析】先证四边形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，由“”可证，可得．
【解答】解：连接，
四边形是正方形，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
故选：．
3．（2023•深圳）如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则的值为
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【分析】证得四边形为平行四边形，当时，为菱形，此时．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
将线段水平向右平得到线段，
，
四边形为平行四边形，
当时，为菱形，
此时．
故选：．
4．（2023•呼和浩特）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的长为
A．B．3C．D．
【答案】
【分析】依据题意，连接，记与交于点，先证，从而得，再由线段垂直平分从而，又在中可得的值，从而再在中可求得．
【解答】解：由题意，连接，记与交于点．
线段垂直平分，
，．
四边形是矩形，
．
．
又，
．
．
在中，
．
在中可得，．
故选：．
二、填空题（共4小题）
5．（2023•扬州）如图，已知正方形的边长为1，点、分别在边、上，将正方形沿着翻折，点恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为，那么线段的长为 ．
【答案】．
【分析】连接，过点作，设，则，，根据已知条件，分别表示出、、，证明△，得出，在△中，根据勾股定理建立方程即可解答．
【解答】解：如图，连接，过点作，
已知正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为，
，
设，则，，
，
即，
解得，
，
，
由折叠的性质可得，
，
，
，
又，，
△，
，
在△中，，
，
解得．
故答案为：．
6．（2023•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在轴上，，，，将菱形绕点旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．
【答案】，或，．
【分析】根据菱形的性质和含角的直角三角形的性质得出解答．
【解答】解：如图所示：
菱形的顶点，在轴上，，，，
，边的高是，
点的纵坐标为，横坐标为，
点的坐标为，或，，
故答案为：，或，．
7．（2023•大连）如图，菱形的对角线，相交于点，，，是的中点，则的长是 ．
【答案】5．
【分析】直接利用菱形的性质得出，，再结合，可得为等边三角形，从而，最后根据直角三角形中线的性质得出答案
【解答】解：菱形的对角线、相交于点，
，．
，
为等边三角形．
．
为的中点，，
．
故答案为：5．
8．（2023•凉山州）如图，的顶点、、的坐标分别是、、．则顶点的坐标是 ．
【答案】．
【分析】延长交轴于点，由平行四边形的性质得，，再证轴，然后求出，，，则，即可得出结论．
【解答】解：如图，延长交轴于点，
四边形是平行四边形，
，，
轴，
轴，
，，
，，，
，
，
故答案为：．
三、解答题（共2小题）
9．（2023•怀化）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．
（1）证明：；
（2）连接、，证明：四边形是菱形．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）证明见解析过程．
【分析】（1）根据矩形的对边平行得到，于是有，根据点是的中点得出，结合对顶角相等利用可证得和全等；
（2）由（1）可得，结合，可得四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
点是的中点，
，
又，
；
（2）证明：由（1）已证，
，
四边形是矩形，
，即，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
10．（2023•牡丹江）中，，垂足为，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．
（1）当点在线段上，时，如图①，求证：；
（2）当点在线段延长线上，时，如图②；当点在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段，，的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，，则 1或7 ．
【答案】（1）证明见解答；
（2）图②，；图③，；
（3）1或7．
【分析】（1）由，，得，则，由旋转得，，则，即可证明，得，由平行四边形的性质得，则；
（2）当点在线段延长线上，则，所以，则，而，，则，即可证明，所以，则；当点在线段延长线上，时，则，，所以，仍可证明，得，所以；
（3）分三种情况，一是点在边上，由，得，则，所以，则；二是点在线段延长线上，仍可求得，则，由，得，即，不符合题意，舍去；三是点在线段延长线上，，可求得，则，所以，于是得到问题的答案．
【解答】（1）证明：如图①，于点，
，
，
，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
（2）解：图②，；图③，，
理由：如图②，交的延长线于点，
，
，
，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
，，，
，
，
，
，
；
如图③，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
，，，
，
，
，
，
．
（3）解：如图①，，
，
，，
，
，
；
如图②，，
，
，，
，
，
，
，即，不符合题意，舍去；
如图③，，
，
，，
，
，
，
综上所述，或，
故答案为：1或7专题热度
★★★★★
命题热点
1．平行四边形
2．矩形
3．菱形
4．正方形
5．四边形综合
热门方法
直接法、反例法、数形结合思想
热点题型
选择题、填空题
名师点拨
1．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【注意】（1）判定方法可作为“画平行四边形”的依据．
（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形．
（3）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形．
（4）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形．
2．（1）一组对边平行，另一组对边相等点拨的四边形不一定是平行四边形．例如：等腰梯形．
（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
3．（1）平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半．
（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个小三角形周长之差等于两邻边之差．
4．中点四边形的形状的方法
顺次连接四边形各边的中点得到的四边形叫做中点四边形．连接原四边形的一条对角线，得到两组三角形的中位线，利用一组对边平行且相等这一判定定理可得中点四边形是平行四边形．
5．遇到中点想中位线
如果在三角形中遇到一个中点或一条中线，那么应当考虑是否还存在另一个中点，是否隐含了三角形的中位线，这种方法就是常说的“遇到中点想中位线”．特别是出现“线段相等十垂直”或“角平分线十垂直”模型时，往往存在另一个中点．
名师点拨
（1）不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．
（2）判定矩形的常见思路

（3）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．
（4）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．
名师点拨
（1）菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．
（2）在求菱形的面积时，要根据图形特点及已知条件，灵活选择面积公式来解决问题．
（3）在利用对角线长求菱形的面积时，要特别注意，不要漏掉计算公式中的拓展任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线长乘积的一半．
方法提炼
（4）菱形中的等面积法
因为菱形的面积既等于一边这条边上的高，又等于两条对角线长乘积的一半，所以在求菱形一条边上的高时，我们可以借助等面积法求解．
名师点拨
（1）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
（2）正方形是轴对称图形，它有四条对称轴且对称轴分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线．
（3）正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
（4）正方形与等腰三角形
由于正方形中有很多的线段相等，等腰三角形中也有很多的线段相等，所以它们联手会得到更多的等腰三角形在计算角的度数时可利用等腰三角形的性质进行求解．
名师点拨
1．解决折叠问题需要利用轴对称的性质和平行四边形的性质，往往图形中会产生特殊图形（如等腰三角形），再根据特殊图形的性质即可解决问题．
2．平行四边形的性质的条件和结论正好与判定的条件和结论相反，它们构成互逆的关系．由平行四边形这一条件，得到边、角或对角线的关系，这是平行四边形的性质；反之，由边、角或对角线的关系，得到平行四边形的结论，这是平行四边形的判定．
3．在直角坐标系中解决平行四边形问题时，应熟练进行两个转化，一是线段长度与两点间距离的转化；二是和坐标轴平行的线段与线段端点坐标之间的转化，即与x轴平行的线段其端点的纵坐标相等，与y轴平行的线段其端点的横坐标相等．
4．（1）一组对边平行且相等
（2）两组对角分别相等
（3）两组对边分别相等
（4）两组对边分别平行
（5）对角线互相平分
（6）有一个角是直角
（7）对角线相等
（8）一组邻边相等
（9）对角线互相垂直
（10）一组邻边相等
（11）对角线互相垂直
（12）有一个角是直角
（13）对角线相等