2024年中考数学复习专项训练---03 函数（菁讲）

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热点突破
热点1 平面直角坐标系
【例1】 （2024•武汉模拟）平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点．正方形的四个顶点坐标分别是、、、，其中为正整数．已知正方形内部（不包括边）的整点比边上的整点多177个，则的值是
A．8B．9C．10D．11
【答案】
【分析】根据整点的定义分别得到正方形内部（不包括边）的整点个数，边上的整点个数，再根据正方形内部（不包括边）的整点比边上的整点多177个，列出关于的方程，解方程即可求解．
【解答】解：方法1：如图，
正方形的四个顶点坐标分别是、、、，其中为正整数，
正方形内部（不包括边）的整点个数为，边上的整点个数为，
依题意有，
解得，（舍去）．
方法2：如图，
正方形的四个顶点坐标分别是、、、，其中为正整数，
正方形内部（不包括边）的整点个数为，边上的整点个数为，
依题意有，
当时，满足左右两边相等，
故．
故选：．
【例2】 （2024•贵州一模）如图，是平面直角坐标系 中轴上一点，其坐标为．现以点为圆心、13为半径画圆，交轴的负半轴于点，则点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接，构造出直角三角形即可解决问题．
【解答】解：连接，
因为点坐标为，
所以，
又因为的半径为13，
即．
在中，
，
所以点的坐标为．
故选：．
【例3】 （2023•中山市一模）点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】
【分析】由题意可确定，再根据平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点可知：点位于第一象限．
【解答】解：，
点位于第一象限．
故选：．
【例4】 （2023•新都区模拟）点在轴上，则点坐标为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据点在轴上，可得出的值，从而得出点的坐标．
【解答】解：点在轴上，
，
，
解得：，
，
点的坐标为．
故选：．
【例5】 （2023•惠阳区二模）在平面直角坐标系中，若在第二象限，则的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】由在第二象限得到，解不等式组即可得到答案．
【解答】解：在第二象限，
，
解得，
故答案为：．
热点2 函数及其图象
【例1】 （2024•南昌一模）如图是某男生和某女生从小学到高中身高变化情况统计图，则对于这两人的身高年增长速度的说法不正确的是
A．男生在12岁增长速度最快
B．女生在10岁增长速度最快
C．男生身高年增长速度能达到7厘米年
D．女生身高年增长速度能达到7厘米年
【答案】
【分析】根据函数图象逐一判断即可．
【解答】解：由图象可得：
．男生在12岁增长速度最快，说法正确，故本选项不符合题意；
．女生在10岁增长速度最快，说法正确，故本选项不符合题意；
．男生身高在11岁和12岁时年增长速度能达到7厘米年，说法正确，故本选项不符合题意；
．女生身高年增长速度没有达到7厘米年，原说法错误，故本选项符合题意．
故选：．
【例2】 （2024•鹿城区校级一模）如图，已知函数图象与轴只有三个交点，分别是，，．
①当时，或；
②当时，有最小值，没有最大值；
③当时，随的增大而增大；
④若点在函数图象上，则的值只有3个．
上述四个结论中正确的有
A．①②B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】
【分析】根据函数图象结合选项进行解答即可．
【解答】解：根据函数图象可知：
①当时，或，正确；
②当时，有最小值，没有最大值，正确；
③当时，随的增大而增大，错误；
④结合函数图象可知：若点在函数图象上，则的值有3个，故正确．
故选：．
【例3】 （2024•泌阳县一模）点在第一象限内，且，点的坐标为．设的面积为，则下列图象中，能正确反映与之间的函数关系式的是
A．B．
C．D．
【分析】根据点在第一象限内，且，点的坐标为，从而可以得到关于的函数关系式，从而可以解答本题．
【解答】解：点在第一象限内，且，点的坐标为，
，，
，
故选：．
【例4】 （2023•贵池区二模）如图是某人骑自行车出行的图象，从图象中可以得到的信息是
A．从起点到终点共用了
B．时速度为0
C．前速度为
D．与时速度是不相同的
【答案】
【分析】分别根据函数图象的实际意义可依次判断各个选项是否正确．
【解答】解：、从起点到终点共用了，故本选项错误；
、时速度为0，故本选项正确；
、前的速度是，故本选项错误；
、与时速度是相同的，故本选项错误．
故选：．
【例5】 （2023•铁锋区三模）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度与注水时间之间的函数关系图象大致是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据题意可知，在注满水的过程中，水面均是匀速上升，下面部分的底面积小于上面部分，所以水面上升速度较快，由此可得出答案．
【解答】解：根据题意可知，按一定的速度向容器内均匀注水，
所以函数图象均为匀速上升，
由此可排除，选项，
刚开始时由于长方体铁块在圆柱体容器内，
注水部分的底面积为圆柱体容器的底面积减去长方体的底面积，
所以水面以较快速度均匀上升，
当水淹没长方体铁块后一直到水注满容器，
底面积是圆柱体的底面积，
所以水面以较慢速度均匀上升，
所以排除选项，选项符合题意，
故选：．
热点3 一次函数
【例1】 （2024•西安校级二模）如图，直线与直线相交于点，则关于的一元一次不等式的解集是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：直线与直线相交于点，
当时，，
即关于的不等式的解集为．
故选：．
【例2】 （2024•正阳县一模）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知乙先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离（米与甲出发的时间（秒之间的函数关系如图所示，则下列结论中正确的个数是
①乙的速度为4米秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点80米；
③甲到达终点时，乙距离终点还有80米；
④甲、乙两人之间的距离为60米时，甲出发的时间为72秒和82秒．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】由图象可知，乙3秒钟跑过的路程为12米，即可求出乙的速度，当甲跑了80秒时，甲到达终点，求出甲的速度，再根据路程，速度，时间之间的关系，逐一进行判断即可．
【解答】解：由图可知：乙3秒钟跑过的路程为12米，
乙的速度为：米秒；故①正确；
甲跑了80秒时，甲到达终点，
甲的速度为：米秒，
设乙跑了秒后，两人第一次相遇，则：，
解得：秒，
此时距离起点为米，故②错误；
当甲到达终点时，乙跑了83秒，此时乙距离终点还有米；故③错误；
当甲运动秒时，甲乙两人的距离为60米，分两种情况，
①甲到达终点之前，，解得：秒；
②当甲到达终点之后，此时乙离终点还有68米，当乙距离终点60米时，还需要的时间为秒，即当甲运动了秒，时，两人相距60米；
故④正确；
综上：正确的有2个；
故选：．
【例3】 （2024•榆阳区校级一模）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向左平移1个单位后恰好经过原点，则的值为
A．2B．C．4D．
【答案】
【分析】根据一次函数过原点和平移法则解答本题即可．
【解答】解：将直线沿轴向左平移1个单位后的解析式为：，
平移后的图象经过原点，
，
解得：．
故选：．
【例4】 （2024•杭州模拟）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离（米与时间（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，求出甲和乙的速度各为多少？（单位：米分钟）
（2）求线段所在的直线的函数表达式；
（3）在整个过程中，请通过计算，为何值时两人相距400米？
【答案】（1）甲的速度为40米分钟；乙的速度为60米分钟；
（2）；
（3）在整个过程中，第20分钟和28分钟时两人相距400米．
【分析】（1）根据图象信息，当分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度路程时间可得甲的速度；
（2）首先求出乙从图书馆回学校的时间即点的横坐标，再运用待定系数法求解即可；
（3）分相遇前后两种情况解答即可．
【解答】（1）解：根据图象信息，当分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为（米分钟）．
甲、乙两人的速度和为米分钟，
乙的速度为（米分钟）．
答：甲的速度为40米分钟；乙的速度为60米分钟；
（2）乙从图书馆回学校的时间为（分钟），
，
点的坐标为．
设线段所表示的函数表达式为，
，，
，
解得，
线段所表示的函数表达式为；
（3）两种情况：①迎面：（分钟），
②走过：（分钟），
在整个过程中，第20分钟和28分钟时两人相距400米．
【例5】 （2024•西安校级二模）为了响应“节能环保”号召，某公司研发出一款新能源纯电动车，如图是某款新能源电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程（千米）的函数图象．
（1）当时，每千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为6千米，则 35 ；
（2）当时，求关于的函数表达式，并计算当新能源汽车已行驶180千米时，消耗了多少电量．
【答案】（1）35；
（2）关于的函数解析式是，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量20千瓦时．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，1千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为6千米，汽车已经行驶的路程，求出的值；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出当时，关于的函数解析式，然后将代入求出相应的值即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
当时，1千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为6千米，汽车能行驶150千米耗电为：（千瓦时），
；
故答案为：35．
（2）当时，设关于的函数解析式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即当时，关于的函数解析式是；
当时，，
答：关于的函数解析式是，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量20千瓦时．
热点4 反比例函数
【例1】 （2024•江西模拟）物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流（A）随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的
A．最大电流是B．最大电流是
C．最小电流是D．最小电流是
【答案】
【分析】可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得的值，然后代入求得的值即可．
【解答】解：根据电压电流电阻，设，
将点代入得，解得，
；
若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，
故选：．
【例2】 （2024•石家庄模拟）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为2，则的值为
A．B．4C．2D．
【答案】
【分析】连接，如图，根据三角形面积公式得到，再根据反比例函数系数的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质求出的值．
【解答】解：连接，如图，
轴，
，
，
，
而，
．
故选：．
【例3】 （2024•江西模拟）如图，的各顶点都在反比例函数的图象上，其中，，
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若直线的解析式为，求的解集；
（3）若反比例函数图象上的点的横坐标为，将线段平移到线段，（点与点重合）请判断四边形的形状．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）正方形，见解析．
【分析】（1）由题意得到，求得的值，据此计算即可求解；
（2）数形结合，即可求解；
（3）由平移的性质知四边形是平行四边形，过点，分别作轴的垂线，，证明，推出四边形是菱形．证明，即可证明四边形是正方形．
【解答】解：（1），恰好落到双曲线上，
，解得．
，
将代入，得到．
反比例函数解析式为；
（2）
解：由（1）可知，，
由得到，
根据图象可知，的解集为或，
故由的解集为或；
（3）
解：四边形是正方形．
理由：由点的横坐标为，
可得点，
线段沿平移到线段位置，可得，，
所以四边形是平行四边形．
过点，分别作轴的垂线，，（即轴，轴）过点作轴的平行线．
，
，．
，，
由坐标可知，，
，
，，
四边形是菱形．
，
．
．
四边形是正方形．
【例4】 （2024•石家庄模拟）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点与点，连结，．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
（3）利用图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）把三角形的面积看成是和的面积之和进行计算；
（3）通过观察图象即可求得．
【解答】解：（1），
．
反比例函数表达式为．
把代入反比例函数，得．
把，代入，
得，
．
一次函数表达式为．
（2）如图1，由（1）得，又，，
．
（3）如图2，
，，，
一次函数图象应在反比例函数图象下方对应自变量即为所求．
不等式的解集为或．
【例5】 （2024•大渡口区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．
（1）求，的值．
（2）当的面积为3时，求点的坐标．
（3）设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．
【答案】（1），；
（2），；
（3）或，，．
【分析】（1）将点代入，求得，进而求得，将点坐标代入求得；
（2）表示出的长，根据求得，进而得出点的坐标；
（3）分为是边，点在轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点在轴正半轴上时，过点作轴，作，证明，进而得出，从而求得的值，另外两种情况类似方法求得．
【解答】解：（1）直线过点，
，
，
直线过点，
，
，
过点，
；
（2），，，，
，
，
，
，
，；
（3）如图1，
，，
，
当是边，点在轴正半轴上，
作于，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（舍去），
如图2，
当点在轴的负半轴上时，
由上知：，
，
，
当是对角线时，
当是对角线时，点在轴负半轴上时，
可得：，，
，
，
，
如图4，
，，
，
，（舍去），
当时，，
，，
综上所述：或，，．
热点5 二次函数
【例1】 （2024•西安校级一模）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点，的坐标分别为，，，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为
A．或B．或
C．或D．或
【答案】
【分析】首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围．
【解答】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点．
所以当时，，即，解得．
如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．
抛物线与轴交点纵坐标为1，
，解得：．
当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．
抛物线经过点，
．
如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
抛物线经过点，，
，解得：．
时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，的取值范围是或，
故选：．
【例2】 （2024•渭城区一模）二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如表：
且当时，与其对应的函数值，有下列结论：
①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．
其中，正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【分析】①函数的对称轴为：，则，，故，即可求解；
②和关于函数对称轴对称，故正确，即可求解；
③函数的对称轴为：，则，时，，则当时，上式成立，即可求解；
④当时，，而，解得：，即可求解．
【解答】解：①函数的对称轴为：，则，，故，故①错误，不符合题意；
②和关于函数对称轴对称，故正确，符合题意；
③函数的对称轴为：，则，时，，则当时，上式成立，故是方程的根，根据函数对称性也是方程的根，故③正确，符合题意；
④当时，，而，解得：，故④错误，不符合题意；
故选：．
【例3】 （2024•金乡县一模）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点，、，是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，．其中正确的有 ①③⑥ （填序号）．
【答案】①③⑥．
【分析】根据所给二次函数的图象可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性对所给结论依次进行判断即可．
【解答】解：由所给函数图象可知，
，，，
所以．
故①正确．
因为抛物线与轴有两个不同的交点，
所以．
故②错误．
由函数图象可知，
当时，函数值小于零，
则．
又因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
即，
所以，
即．
故③正确．
因为抛物线与轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，
所以抛物线与轴的另一个交点坐标为，
则．
又因为，
所以．
故④错误．
当点，、，在抛物线对称轴的右侧时，
因为抛物线开口向下，
所以在对称轴右侧的部分，随的增大而减小，
即时，．
故⑤错误．
方程的根可看成函数的图象与直线的交点的横坐标，
因为抛物线经过点，
所以函数的图象与直线的一个交点的横坐标为．
又因为抛物线的对称轴为直线，
所以函数的图象与直线的另一个交点的横坐标为5，
所以关于的一元二次方程的两根分别为，．
故⑥正确．
故答案为：①③⑥．
【例4】 （2024•临汾一模）综合与探究
如图1，抛物线与轴交于点和点，点的坐标是，与轴交于点，点在抛物线上运动，作直线．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）如图2，是直线下方抛物线上的动点，连接交于点，当时，求点的横坐标；
（3）连接和，当的面积是4时，请直接写出符合条件的点的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为，点坐标是；
（2）点的横坐标为；
（3）点坐标为或，或，．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，过点作轴交于点，根据题意可得，设，则，所以，求出点的横坐标为；
（3）分两种情况讨论：当点在直线的下方时，，点坐标为；当点在直线的上方时，，点坐标为，或，．
【解答】解：（1）将点，点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
解得或，
点坐标是；
（2）过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
解得或（舍，
点的横坐标为；
（3）当点在直线的下方时，，
解得，
点坐标为；
当点在直线的上方时，，
解得或，
点坐标为，或，；
综上所述：点坐标为或，或，．
【例5】 （2024•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线交轴于点，点为线段下方抛物线上的一点，过点作轴交直线于点，在直线上取点，连接，使得，求的最大值及此时点的坐标；
（3）连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，点是平移后新抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，连接，直接写出所有使得的点的横坐标．
【答案】（1）抛物线的表达式为；
（2）的最大值为，点的坐标为；
（3）点的横坐标为12或0或或．
【分析】（1）把，代入抛物线即可求解；
（2）作于点，证明，用含的式子表示，利用二次函数的性质解决最值问题；
（3）求出平移后的函数解析式，分四种情况求解．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于，，
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）作于点，
，
，
当时，，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式，
把代入，得，
解得，
，
设，则，
，
，
，
当时，取得最大值，
点的坐标为；
（3），，，
，，，
，
，
抛物线沿射线方向平移个单位长度，
抛物线向右平移了2个单位长度，向下平移了4个单位长度，
，
平移后的解析式为，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
解得，
综上所述，点的横坐标为12或0或或．
热点考题
一、选择题（共4小题）
1．（2023•湖北）在反比例函数的图象上有两点，，，，当时，有，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：当时，有，
反比例函数的图象位于一、三象限，
，
解得，
故选：．
2．（2023•岳阳）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数，为常数，总有两个不同的倍值点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】将代入二次函数，得，是关于的二次方程．若它总有两个不同的实根，必有△．是关于的一元二次方程，其图象开口向上，若它恒大于0，则与轴无交点，故有△，解此一元二次不等式即可．
【解答】解：将代入二次函数，得，整理得．
是关于的一元二次方程，总有两个不同的实根，
△．
令
，
△，
即△，解得．
故选：．
3．（2023•乐至县）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点，、，是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】
【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
，，，
，故①正确，
抛物线的对称轴为直线，且过点．
，，
，
，故，故②正确，
当时，取得最小值，
，即为任意实数），故③错误，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
若点，、，是图象上任意两点，且，
，故④正确；
故选：．
4．（2023•内蒙古）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点从点出发，沿路径匀速运动，速度为，点到达终点后停止运动，的面积与点运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：
①；
②；
③点从点运动到点需要；
④矩形纸板裁剪前后周长均为．
其中正确信息的个数有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】
【分析】根据图像和题上条件，逐项计算判断即可．
【解答】解：①由图象可知，当点运动到点处时，的面积是5，，，，正确；
③由图象可知当点运动到点处时，三角形面积是25，，，正确；
②由图象可知，当点从点到点处，用时是8秒，段运动时长秒，，错误；
④，，周长，错误．
正确①③，
故选：．
二、填空题（共3小题）
5．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，函数为大于0的常数，图象上的两点，，，，满足，的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ．
【答案】2．
【分析】证明出点、为矩形边的中点，根据三角形的面积求出矩形面积，再求出三角形面积即可．
【解答】解：如图，延长交轴于，延长交轴于点，
轴，轴，
四边形为矩形，
，
点为的中点，
由几何意义得，，
点为的中点，
，
，
．
故答案为：2．
2
6．（2023•无锡）二次函数，有下列结论：
①该函数图象过定点；
②当时，函数图象与轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧；
④当时，点，，，是曲线上两点，若，，则．
其中，正确结论的序号为 ．
【答案】①②④．
【分析】抛物线整理为可判断①，将代入并计算即可判断②，计算抛物线对称轴并根据可判断③，根据题意确定对称轴的范围后可确定、的位置，再根据增减性可判断④．
【解答】解：，
当时，，
该函数图象过定点，故①正确；
当时，，
，
函数图象与轴无交点，故②正确；
抛物线的对称轴为：，
，
，
当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在轴右侧，故③错误；
，
，
，，
，在对称轴左侧，，在对称轴右侧，
，
抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大，
当时，，
当时，，
此时，，
，
，
，故④正确，
故答案为：①②④．
7．（2023•连云港）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．
【答案】．
【分析】作轴于，由矩形的面积可以求得的面积是3，然后通过证得，求得，最后通过反比例函数系数的几何意义即可求得的值．
【解答】解：作轴于，
矩形的面积是6，
的面积是3，
，，
，
对角线轴，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
三、解答题（共5小题）
8．（2023•湖州）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量（千克）与销售价格（元千克）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）试求出关于的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为元，如果不考虑其他因素，求当销售价格为多少时，日销售利润最大？最大的日销售利润是多少元？
【分析】（1）设与之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润每千克利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设关于的函数表达式为．
将，和，分别代入，得：，
解得：，
关于的函数表达式是：．
（2）．
当时，在的范围内，取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
9．（2023•江西）综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为 ，正方形的面积为，探究与的关系．
初步感知
（1）如图1，当点由点运动到点时，
①当时， 3 ；
②关于的函数解析式为 ．
（2）当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长．
延伸探究
（3）若存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．
① ；
②当时，求正方形的面积．
【分析】（1）①当时，，运用勾股定理即可求得答案；
②由题意得，运用勾股定理可得；
（2）观察图象可得当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，抛物线的顶点坐标为，由勾股定理可得，，即，设，将代入，即可求得，再利用勾股定理即可求得线段的长；
（3）①方法一：根据抛物线的对称性可得当时，点与关于直线对称，点与关于直线对称，可得答案；方法二：过点作于点，可证得，得出，可求得，，根据存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等，可得，再证得，可得，列出等式即可；
②方法一：由，，可得，与联立即可求得答案；方法二：证明，得出，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）①当时，，
又，，
．
故答案为：3；
②当点由点运动到点时，，
，，
．
故答案为：；
（2）由图2可得：当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，
抛物线的顶点坐标为，
，，
，
设，将代入，得，
解得：，
，
，
在中，，
抛物线的解析式为；
（3）①方法一：由（1）（2）可得，图象如图所示：
存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等，
，
点与关于直线对称，点与关于直线对称，
，，
，．
故答案为：4；
方法二：如图，则，
，
，
，即，
，，
，，
存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：4；
②方法一：由①知：，，
，
，
，
．
方法二：，，，
，
，
，
，
，
，
．
10．（2023•无锡）某景区旅游商店以20元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元，不高于45元．经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元之间的函数关系如图所示．
（1）求关于的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润（销售价格采购价格）销售量】
【答案】（1）；
（2）当销售价格为35元时，利润最大为450元．
【分析】（1）由图象可知，分两种情况：当时，当时，分别利用待定系数法求解即可；
（2）设销售利润为元，再根据销售利润（销售价格采购价格）销售量列出与的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）当时，设函数表达式为，
将，代入解析式得，，
解得，
函数表达式为：；
当时，设函数表达式为：，
将，代入解析式得，，
解得，
函数表达式为：，
综上，与的函数表达式为：；
（2）设利润为元，当时，，
在范围内，随着的增大而增大，
当时，取得最大值为400；
当时，，
当时，取得最大值为450；
，
当销售价格为35元时，利润最大为450元．
11．（2023•菏泽）如图，已知坐标轴上两点，，连接，过点作，交反比例函数在第一象限的图象于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线，求直线与反比例函数图象的交点坐标．
【答案】（1）；；
（2）或．
【分析】（1）过点作轴于点，先证，求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式和直线的解析式；
（2）先求出直线的解析式，然后与反比例函数的解析式组成方程组，求出方程组的解即得出直线与反比例函数图象的交点坐标．
【解答】解：（1）如图，过点作轴于点，，
，，
，，，
，，，
，，
，，，
，，，
，，
，，
点的坐标是，
反比例函数过点，
，
反比例函数的解析式为；
设直线的解析式为，
其图象经过点，
，解得，
直线的解析式为；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线，
直线的解析式为，
由题意得，，解得，，
直线与反比例函数图象的交点坐标为或．
12．（2023•湖北）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足时的取值范围；
（3）点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若的面积为3，求点的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3），或．
【分析】（1）将点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数的解析式，进而求得的坐标，再将、两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由题意即求的的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的的取值范围；
（3）由题意，设且，则，求得，根据三角形面积公式得到，解得即可．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，
，．
反比例函数解析式为．
把，代入，得．
点坐标为，，
一次函数解析式图象经过，，，
，．
故一次函数解析式为：．
（2）由，
，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，．
（3）由题意，设且，
．
．
．
解得，．
，或专题热度
★★★★★
命题热点
1．平面直角坐标系
2．函数及其图象
3．一次函数
4．反比例函数
5．二次函数
热门方法
待定系数法、数形结合思想
热点题型
选择题、填空题、解答题
名师点拨
1．点的坐标特征
点的坐标特征
坐标轴上的点（x，y）
在x轴上
（x，0）
在y轴上
（0，y）
在原点
（0，0）
点在各象限的坐标特点
第一象限
（+，+）
第二象限
（–，+）
第三象限
（–，–）
第四象限
（+，–）
象限角平分线上的点
第一、三象限
（m，m）
第二、四象限
（m，–m）
点P（a，b）到坐标轴的距离
到x轴的距离=点P的纵坐标的绝对值，即|b|
到y轴的距离=点P的横坐标的绝对值，即|a|
具有特殊位置关系的两个点的坐标特征
点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于x轴的直线上
横坐标不相等，纵坐标相等，即x1≠x2，y1=y2
点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于y轴的直线上
横坐标相等，纵坐标不相等，即x1=x2，y1≠y2
点平移后的坐标特征
点（x，y）
向右平移a个单位长度
（x+a，y）
点（x，y）
向左平移a个单位长度
（x–a，y）
点（x，y）
向上平移b个单位长度
（x，y+b）
点（x，y）
向下平移b个单位长度
（x，y–b）
2．图形上点的坐标变化与图形平移间的关系
（1）横坐标变化，纵坐标不变：
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位
（2）横坐标不变，纵坐标变化：
原图形上的点（x，y）向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向下平移b个单位
（3）横坐标、纵坐标都变化：
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向下平移b个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向下平移b个单位
名师点拨
1．一个函数问题，只与自变量、函数之间的对应关系有关，而与自变量、函数采用什么字母无关．
2．求函数的值，实质上就是求自变量取某一个值时，代数式的值．
3．不能随意约分，同时要区分“且”和“或”的含义．
4．对函数定义的理解，主要抓住以下三点：
（1）有两个变量．
（2）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．
（3）函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同．
在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数．
名师点拨
1．用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
（1）由题意设出函数的关系式；
（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组；
（3）解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值；
（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出．
2．一次函数与方程、不等式
（1）y＝kx＋b与kx＋b＝0
直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．
（2）y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0
从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零（即kx＋b＞0）的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．
（3）一次函数与方程组
两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．
3．一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
名师点拨
1．反比例函数（k≠0）系数k的几何意义
从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．常见模型如图：
2．应用反比例函数解决实际问题的基本步骤如下：
（1）审清题意，找出题目的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
（2）根据常量、变量之间的关系，设出函数关系式，待定系数用字母表示；
（3）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数；
（4）写出函数关系式，并注意关系式中变量的取值范围；
（5）用函数关系式解决实际问题．
3．跨学科问题中常见的反比例关系：
（1）压力一定时，压强与受力面积成反比例．
（2）当功率一定时，力与速度成反比例．
（3）当电压一定时，用电器的输出功率与电阻成反比例．
（4）当电压一定时，电流强度与电阻成反比例．
4．当问题中设计几何问题时，可根据其图形建模，构造反比例函数解析式，并运用其性质解决问题，但要注意自变量的取值范围．
名师点拨
1．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c（a>0）
y=ax2+bx+c（a<0）
开口方向
向上
向下
顶点坐标
（，
（，）
对称轴
x=
x=
增减性
x>时，y随x的增大而增大；
x<时，y随x的增大而减小
x>时，y随x的增大而减小；
x<时，y随x的增大而增大
最大（小）值
当x= 时，y最小值=
当x= 时，y最大值=
2．待定系数法求二次函数解析式的步骤：
（1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式；
（2）找点：找函数图象上的点；
（3）代入：把点代入函数解析式得到方程；
（4）求解方程；
（5）反代入：把求出的字母的值带入解析式．
3．二次函数的平移
解析式
y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0）
分情况讨论
m>0，n>0
m>0，n<0
m<0，n>0
m<0，n<0
变换过程
由y=ax2向左平移|m|个单位，向上平移|n|个单位
由y=ax2向左平移|m|个单位，向下平移|n|个单位
由y=ax2向右平移|m|个单位，向上平移|n|个单位
由y=ax2向右平移|m|个单位，向下平移|n|个单位
4．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
5．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
6．建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）找出题中的已知量和未知量；
（3）用一个未知量表示题中的其他未知量；
（4）找出等量关系并列出函数解析式；
（5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题．
0
1
2
销售价格（元千克）
50
40
日销售量（千克）
100
200