中考数学复习图形的变化

中考数学二轮复习重难知识提分方案（八）图形的变化

方法点拨

考向一 尺规作图

1.解角的平分线作法的问题

作的平分线，方法如下：

如图所示，① 以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；

②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；

③画射线，射线即为所求的角平分线.

【注意】分别以点为圆心画弧时，特别强调半径长应大于的长，否则两弧无交点.

2.解与线段垂直平分线作法有关的问题

（1）作线段的垂直平分线，方法如下：

①分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；

②作直线.

直线就是线段的垂直平分线.

（2）经过直线外一点作已知直线的垂线

已知：直线和外一点.

求作：的垂线，使它经过点.

作法：①任意取一点，使点与点在的两旁；

②以点为圆心，长为半径作弧，交于点和.

③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点.

④作直线.

直线就是所求的垂线.

考向二 投影与视图

1.解中心投影的问题

由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.生活中能形成中心投影的点光源主要有路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.在中心投影中，点光源、物体上任意一点及其影子上的对应点三点共线.

【敲黑板】

（1）等高的物体垂直于地面放置时，在灯光的照射下，如图（1）所示，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长.

（2）等长的物体平行于地面放置时，在灯光的照射下，如图（2）所示，离点光源越近，物体的影子越长，离点光源越远，物体的影子越短.

（3）形成中心投影的过程中，点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据同一灯光下两个不同物体及它们的影子，可以确定点光源所在位置.

【方法总结】

中心投影的相关计算常与相似三角形结合，利用相似三角形的性质列方程（组）是解决中心投影计算问题常用的方法.

2.解平行投影问题

太阳光线可以看成平行光线，由平行光线所形成的投影为平行投影，因此物体在阳光的照射下形成的影子是平行投影.常运用平行投影下的不同物体，在同一时刻，物高与影长成正比进行相关的计算.一般情况下，经过平行投影，直线的平行或相交关系保持不变.

【敲黑板】

（1）平行投影中对应点的连线是互相平行的；反之，物体与其投影的对应点的连线是互相平行的就说明是平行投影.

（2）在不用时刻的太阳光照射下，物体的影子的大小和方向都在改变.

（3）平行投影的特征：①等高的物体垂直（或平行）于地面放置时，如图所示，同一时刻，在太阳光下，它们的影子长相等.

②在太阳光下，不同时刻，同一地点、同一物体的影子不仅方向在改变，影子的长度一般也不同.从早晨到傍晚，物体影子的指向是：正西西北正北东北正东（北半球北回归线以北地区）.一天之中，同一物体的影子的长短的变化规律是：长短最短短长.

③在太阳光下，同一时刻，不同物体本身的高度与它们的影子长度成正比，即.

【方法总结】

太阳光下的平行投影作图，应首先确定太阳光线，然后平移太阳光线即可.由于平行投影的投影线是平行的，因此与平行投影有关的计算问题（如测量物体高度等）往往利用相似三角形来解决.

3.解物体三视图的识别问题

从几何体的正面看到的图形是主视图，从左面看到的是左视图，从上面看到的是俯视图.识别三种视图时，要知道主视图表示物体的左右、上下——反映物体的长与高；俯视图表示物体的左右、前后——反映物体的长与宽；左视图表示物体的上下、前后——反映物体的高与宽.由于每一个视图反映物体两个方向的长度，故三视图之间应保持下面的对应关系：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等，简称为“长对正、高平齐，宽相等”.

4.解画物体三视图的问题

如图所示，画基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体方法：

（1）确定主视图的位置，画出主视图；

（2）在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；

（3）在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.

画物体的三视图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.画图时规定：看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡看不见的部分的轮廓线画成虚线.

【注意】

画出三视图，位置一定要放对，主视图的正右方放左视图，主视图的正下方放俯视图，要把握好三者之间的对应关系.

5.根据三视图确定小正方体的个数问题

先根据几何体（由小正方体搭成）的三视图分析出几何体的行数、列数及层数，再确定小正方体的个数.

由主视图和俯视图确定小正方体的最多和最少个数的一般步骤如下：

第一步：根据主视图数出每列中的小正方形个数，在俯视图对应的列（从左到右的顺序）的第一行（从上到下的顺序）的每一个小正方形内填入相应的数字.

第二步：在俯视图对应的列的其他行的小正方形内填入不超过第一行且不低于1的数字.

第三步：若要求的是最多需要小正方体的个数，则应取俯视图中每一个小正方形上最大的数字（若相同，则任取一个），再把它们相加，即可得小正方体的最多个数；若要求的是最少需要小正方体的个数，则应取俯视图每列中一个小正方形上最大的数字，其余小正方形上最小的数字（若相同，则任取一个），再把它们相加，即可得小正方体的最少个数.

【方法总结】

由俯视图我们能够确定几何体从下到上的第一层小正方体的个数及分布形状；由主视图可以确定几何体每层的小正方体的可能的个数.

考向三 图形的轴对称、平移、旋转

1.解轴对称图形和中心对称图形的识别问题

如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.

把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

在判断一个图形是否为轴对称图形、中心对称图形时，要明确以下两点：①如果能找到一条直线（对称轴）把一个图形分成两部分，且直线两旁的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形；② 把一个平面图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能和原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形.

【规律总结】

图中有三角形、五边形等奇数条边的图形时，一般不是中心对称图形；图中含有圆、正方形等图形时，它可能既是轴对称图形又是中心对称图形.

2.解有关图形的平移与旋转的计算问题

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换就是平移.图形平移具有以下性质：经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等.把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，这种图形变换称为图形的旋转.

图形旋转具有以下性质：① 对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前后的图形全等.图形的平移和旋转都不改变图形的形状和大小.

解图形的平移问题时，一要弄清楚平移的方向，二要注意平移的距离；解图形的旋转问题时，要注意图形旋转的三要素（旋转方向、旋转中心、旋转角度）和性质.

3.解图形的平移与旋转的画图问题

平移与旋转作图都应抓住两个要点：一是平移、旋转的方向；二是平移的距离及旋转的角度.基本的作图方法是先选取已知图形的几个关键点，再根据平移或旋转的性质作出它们的对应点，然后以“局部带动整体”的思想方法作出变化后的图形.无论是平移还是旋转，都不改变图形的大小和形状.

4.利用轴对称解决最短距离问题

几何体中的最短路径问题，实质就是构建和转化“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”的问题，关键是找相关点关于直线的对称点实现转化.

【方法总结】

线段和最短的问题，往往把几条线段转化成一条线段，利用“两点之间，线段最短”解决.通常将涉及的几点中的任一点作出其关于直线的对称点解决.

5.解与线段垂直平分线有关的问题

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

已知线段的垂直平分线，就应想到线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等.

已知到线段两端点的距离相等的点，就应想到这些点在该线段的垂直平分线上.

【拓展延伸】

（1）线段的垂直平分线可以看成是到线段两端点距离相等的点的集合.

（2）利用线段垂直平分线的性质可以证明两线段相等，不用再证明三角形全等.利用线段垂直平分线的判定可以证明垂直关系，只需找出线段的两个段带你距离相等的两个点，过这两点的直线就是线段的垂直平分线，从而得出垂直关系，也不必证明两个三角形全等.

（3）任意一个三角形三条边的垂直平分线必相交于一点，且这个点到三角形各个顶点的距离相等.

【规律方法】

证明一个点在一条线段的垂直平分线上的方法有两种：一是从已知点向已知线段作垂线段，证明平分已知线段；二是取线段的中点，连接这一点与已知点，证明所连线段与已知线段垂直.

提分训练

1.图所示的“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(   )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.尺规作图要求：Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ.作线段的垂直平分线；

Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ.作角的平分线．

如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：

则正确的配对是(   )

A.①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ 

B.①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ

C.①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ 

D.①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ

3.如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到.若点恰好落在BC边上，且，则的度数为(   )

A. B. C. D.

4.如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛(长度不计)，一个人在A与墙之间运动，则他在墙上的投影长度随着他到墙的距离变小而(   )

A.变大 B.变小 C.不变 D.不能确定

5.如图，将小立方块①从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体(   )

A.主视图改变，左视图改变 B.俯视图不变，左视图改变

C.俯视图改变，左视图改变 D.主视图不变，左视图不变

6.如图，是等腰直角三角形，是斜边，P为内一点，将逆时针旋转后，与重合，如果，那么两点间的距离为(   )

A.4 B. C. D.8

7.如图，在边长为2的菱形ABCD中，，AE为BC边上的高，将沿AE所在直线翻折得与CD交于点F，则的长度为(   )

A.1 B. C. D.

8.如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则EF的长为(   )

A. B. C. D.3

9.某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是(   )
 

A.该几何体是长方体  B.该几何体的高是3

C.底面有一边的长是1  D.该几何体的表面积为18平方单位

10.如图，在中，平分垂直平分，连接，则的度数为(   )

A.55° B.50° C.40° D.35°

11.如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则________度.

12.如图，小军、小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为.已知小军、小珠的身高分别为，则路灯的高为___________.
 

13.某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是__________.

14.如图，在四边形中，，将绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到，若，，则　        　.

15.如图是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体.

(1)请画出这个几何体的左视图和俯视图(用阴影表示);

(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和左视图不变.那么最多可以再添加几个小正方体?

16.回答下列问题：

（1）如图（1），是的高，.

①设，用x表示；②求的长；③求的面积；

（2）如图（2），点D是等边三角形内一点，.将绕点B顺时针旋转至的位置，连接.

①求的面积；

②求四边形的面积.

答案以及解析

1.答案：C

解析：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第二、三、四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；故选C.

2.答案：D

解析：由作图可得，①作角的平分线；②过直线外一点作这条直线的垂线；③作线段的垂直平分线；④过直线上一点作这条直线的垂线.正确的配对是①-Ⅳ，②-I，③-Ⅱ，④-Ⅲ.故选D.

3.答案：C

解析：本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质.设,，.由旋转的性质知，.，即，解得.故选C.

4.答案：B

解析：连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离的变化规律是:距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长，则他在墙上的投影长度随着他到墙的距离变小而变小.故选B.

5.答案：C

解析：本题考查简单几何体的三视图.移动小立方块①，所得的几何体的主视图没有改变，左视图、俯视图发生变化，故选C.

6.答案：B

解析：连接.绕点A逆时针旋转后，与重合，，，

，即.

又.故选B.

7.答案：C

解析：由菱形的性质知，

由折叠的性质，得，所以和是等腰直角三角形.又AE为BC边上的高，所以和是等腰直角三角形，因为菱形的边长为2，所以，所以，故选C.

8.答案：B

解析：正方形纸片ABCD的边长为3，，根据折叠的性质得，设，

则,,.

在中，由勾股定理得，

即，解得.故选B.

9.答案：D

解析：本题考查几何体的三视图.根据已知几何体的三视图，可判断此几何体是长方体，∴选项A正确；根据左视图中标明的数据，可知几何体的高是3，∴选项B正确；根据左视图中标明的数据，可知几何体的底边一边长为1，∴选项C正确；该几何体的表面积为选项D错误，故选D.

10.答案：B

解析：如图，连接.

平分，

，

，

.

平分垂直平分,

.故选B.

11.答案：32

解析：本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质.根据题意可得BD平分，直线MN垂直平分.

12.答案：3

解析：如图，由题意可知，，

，

，即路灯的高为3m.

13.答案：5

解析：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数为.

14.答案：10

解析：如图：连接

将绕点C顺时针旋转60°后得到

是等边三角形

且

，

.

故答案为：10

15.答案：1.画图如图所示:

2.在第二层第二列第二行和第三各添加1个;第三层第二列第三行添加1个,第三列第三行添加1个, (个),故最多可以添加4个小正方体.

16.答案：（1）①是的高，，

.

②是的高，，

，

.

③，

.

（2）①将绕点B顺时针旋转至的位置，，

是等边三角形，，

在中，.

过点D作，垂足为点F.

设，则.

由（1）知，解得，

的面积为.

②，

.

.