2024年中考数学复习专项训练---04 三角形（菁讲）

这是一份2024年中考数学复习专项训练---04 三角形（菁讲），共62页。


热点突破
热点1 三角形基础
【例1】 （2023秋•钢城区期末）如图，在中，关于高的说法正确的是
A．线段是边上的高B．线段是边上的高
C．线段是边上的高D．线段是边上的高
【答案】
【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：于点，
中，是边上的高，故不符合题意，
，线段是边上的高，选项符合题意；
于点，
是边上的高，故选项不符合题意，选项不符合题意．
故选：．
【例2】 （2024•潮州模拟）若三角形的三边长分别是4、9、，则的取值可能是
A．3B．4C．5D．6
【答案】
【分析】根据三角形三边之间的关系即可进行解答．
【解答】解：三角形的三边长分别是4、9、，
，即．
故选：．
【例3】 （2023•蓬江区校级三模）在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是
A．1，2，3B．2，3，6C．3，3，6D．3，4，5
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系进行判断，两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
、，不能组成三角形，故此选不项符合题意；
、，不能组成三角形，故此选不项符合题意；
、，能组成三角形，故此选项符合题意．
故选：．
【例4】 （2023•邢台二模）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为，则点是
A．的外心B．的内心C．的重心D．的中心
【答案】
【分析】根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，可得结论．
【解答】解：由题意得：，，
为角平分线的交点，
则点是的内心．
故选：．
【例5】 （2023•丰润区模拟）如图，在中，，则下列说法中，正确的是
A．是的中线B．是的角平分线
C．是的高线D．是的中线
【答案】
【分析】利用已知条件可得，然后可得是的角平分线．
【解答】解：，
，
即，
是的角平分线，
故选：．
热点2 特殊的三角形
【例1】 （2023•霞山区校级一模）如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点．则的周长为
A．9B．11C．12D．13
【分析】根据和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，求证，可得，，然后利用即可求出的周长．
【解答】解：是的平分线，
，
过点作的平行线交于点，
，
，
，
同理可得，
的周长即为．
故选：．
【例2】 （2023•高州市二模）如图，在中，，交于点，，，则的长为
A．7.5B．10C．15D．20
【答案】
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质，然后利用角的和差关系求出，从而可得，再利用等角对等边可得，最后进行计算即可解答．
【解答】解：，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
【例3】 （2022•开远市二模）是等边三角形，点在内，，将绕点逆时针旋转得到△，则的长等于
A．4B．C．2D．
【答案】
【分析】根据等边三角形的性质推出，，根据旋转的性质得出△，推出，，求出，得出是等边三角形，即可求出答案．
【解答】解：是等边三角形，
，，
将绕点逆时针旋转得到△
△，
，，
，
即，
是等边三角形，
，
故选：．
【例4】 （2022•惠城区一模）将两个直角三角板如图放置，其中，，．如果点是的中点，与交于点，则的度数为 ．
【答案】120．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，由，得到是等边三角形，那么，，再根据三角形外角的性质可得出答案．
【解答】解；，点是的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：120．
【例5】 （2020•海南模拟）如图1，图2，是等边三角形，、分别是、边上的两个动点（与点、、不重合），始终保持．
（1）当点、运动到如图1所示的位置时，求证：．
（2）把图1中的绕着点顺时针旋转到的位置（如图，分别连接、．
①找出图中所有的等边三角形除外），并对其中一个给予证明；
②试判断四边形的形状，并说明理由．
【分析】（1）易证，即可得出；（2）①可得出，；，，所以，图中有2个正三角形，分别是，；②可证得平行且等于，即可证得四边形是平行四边形．
【解答】证明：（1）是正三角形，
，，
又，
，
．
（2）①图中有2个正三角形，分别是，．
由题设，有，
，，
又，
，
是正三角形，
，，
是正三角形．
②四边形是平行四边形．
，
，
又，
四边形是平行四边形．
热点3 勾股定理及逆定理
【例1】 （2024•浙江模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，连接交，，于点，，，若，，是的四等分点，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接，，则点，，，，在同一条直线上，且，设，依题意得，，证和相似得，则，进而可求出，，则，然后在中由勾股定理求出，则，据此可得的值．
【解答】解：连接，，如下图所示：
，，是的四等分点
点，，，，在同一条直线上，
，
设，
依题意得：，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
．
故选：．
【例2】 （2024•鹿城区校级一模）如图，网格小正方形边长为3，的三个顶点均在网格的格点上，中线，的交点为，则的长度为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，由此即可解决问题．
【解答】解：取中点，连接，
点、分别是、的中点，与交于，
点是的重心，
，，，共线，
，
，
故选：．
【例3】 （2023•温州模拟）魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中，，则的长为 ．
【分析】由求出的长，即为正方形的边长，由与平行，得比例求出的长，由求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长即可．
【解答】解：，，
，
，
，即，
解得：，
在中，，，
根据勾股定理得：，
故答案为：．
【例4】 （2023•贵阳模拟）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为10，18，则正方形的面积是 ．
【答案】28．
【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可．
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可知
，
故答案为：28．
【例5】 （2022•石家庄三模）已知：整式，，，整式．
（1）当时，写出整式的值 （用科学记数法表示结果）；
（2）求整式；
（3）嘉淇发现：当取正整数时，整式、、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）嘉淇的发现正确．证明过程见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，把代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；
（2）把，，代入中，可得，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；
（3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．
【解答】解：（1），
当时，
原式
；
故答案为：；
（2）
；
（3）嘉淇的发现正确，理由如下：
，
，
当取正整数时，整式、、满足一组勾股数．
热点4 全等三角形
【例1】 （2024•碑林区校级一模）如图所示，已知，，，点和点分别是和边上的动点，满足，连接，点是的中点，则的最大值为 ．
【答案】，
【分析】构造一线三垂直得，再利用三角形两边之和大于第三边解答即可．
【解答】解：过作，且，连，．
取中点，连、、．
，
，
，
在和中，
，
，
．
设，
为中点，
．，
，
为中点，
．
，
，
最大值，
，
故答案为：，
【例2】 （2024•新城区校级一模）如图，已知正方形边长为4，为对角线的交点，、分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为 ．
【答案】．
【分析】作于点，延长到点，使，连接、、、，由正方形的性质得，，，，则垂直平分，所以，而，所以，则，再证明，得，所以，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案．
【解答】解：作于点，延长到点，使，连接、、、，
四边形是边长为4的正方形，
，，，，且，，
垂直平分，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【例3】 （2024•碑林区校级二模）已知：如图，，．求证：．
【答案】见解析．
【分析】先根据证明，得到，即可求证．
【解答】证明：，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
【例4】 （2024•南岗区一模）已知：点，，，在同一条直线上，且，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，，，且，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）、、、是等腰三角形，理由见解答过程．
【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解；
（2）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解．
【解答】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：、、、是等腰三角形，理由如下：
如图2，交于点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
、、、是等腰三角形．
【例5】 （2024•新市区模拟）如图，四边形中，，点为对角线的中点，过点的直线分别与、所在的直线相交于点、．（点不与点重合）
（1）求证：；
（2）当直线时，连结、，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解答；
（2）四边形是菱形，理由见解答．
【分析】（1）由，得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）由，直线经过点且，得，，由，得，则，所以四边形是菱形．
【解答】（1）证明：，
，
点为对角线的中点，
，
在和中，
，
．
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
，直线经过点且，
直线是线段的垂直平分线，
，，
，
，
，
四边形是菱形．
热点5 相似三角形
【例1】 （2024•灞桥区校级三模）如图，在中，点，为边的三等分点，点，在边上，且，点为与的交点．若，则的长为
A．B．2C．D．3
【答案】
【分析】利用平行线的性质得到，利用相似三角形的性质求得的长度，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】解：点，为边的三等分点，
，
，
，
，
，
．
点，为边的三等分点，，
点，为边的三等分点，
，
，
，
，
．
故选：．
【例2】 （2024•石家庄模拟）如图所示，中，，若，则下列结论中正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据中可以得到，再根据可以得到，从而得到两相似三角形的相似比为，利用周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方可以得到答案．
【解答】解：，
，
，
两相似三角形的相似比为，
周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，
正确．
故选：．
【例3】 （2024•平城区一模）如图，在四边形中，平分，，．
（1）证明：；
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）见解析过程；
（2）．
【分析】（1）由角平分线的性质可得，由相似三角形的判定方法可证；
（2）由勾股定理可求，的长，即可求解．
【解答】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
．
【例4】 （2024•庐江县一模）已知：如图，和中，，，，且点、、在一条直线上，联结、，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）的值为．
【分析】（1）根据已知易证，然后利用相似三角形的性质可得，，从而可得，进而证明8字模型相似，最后利用相似三角形的性质可得，等量代换得出，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得：，从而可得，进而可证字模型相似，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得，再利用（1）的结论可得：，从而可得，进而可得，最后根据黄金分割的定义可得点是的黄金分割点，从而可得，进而可得，进行计算即可解答．
【解答】证明：（1），，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
点是的黄金分割点，
，
，
，
的值为．
【例5】 （2024•立山区模拟）在菱形中，为对角线，，分别为，边上的点，射线交的延长线于点，射线交的延长线于点，，求证：．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据菱形的性质推出，结合推出，根据相似三角形的性质即可得解．
【解答】证明：四边形为菱形，
，
即，
，
，
，，
，
，
．
热点6 解三角形
【例1】 （2024•浙江模拟）如图，在中，为的中点，若，，则的值为
A．B．2C．D．
【答案】
【分析】根据正切的定义表示出，再结合题中所给线段之间的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为，
所以设，则．
又因为，且，
所以，
则．
在中，
．
故选：．
【例2】 （2024•中山市一模）在中，，，，则的值是
A．5B．C．4D．
【答案】
【分析】运用三角函数定义求解．
【解答】解：中，．
，，
，
故选：．
【例3】 （2024•瑶海区一模）计算：．
【答案】1．
【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可．
【解答】解：原式
．
【例4】 （2024•莱芜区校级模拟）如图，在一个坡度（或坡比）为的斜坡上有一橦建筑物，其中，建筑物的顶端距离水平面．在该建筑物处测得处的俯角为、处的俯角为．
（1）求建筑物的高度；
（2）求的长度．（结果精确到，其中，，；，，
【答案】（1）该建筑物的高度为；
（2）的长度为．
【分析】（1）过点作，交的延长线于点，根据斜坡的坡度代数求出，进而求解即可；
（2）在中，利用角的三角函数值求出，，进而求解即可．
【解答】解：（1）过点作，交的延长线于点，
斜坡的坡度，
，
，
，
，
，
该建筑物的高度为．
（2）在中，，
同理，．
，
的长度为．
【例5】 （2024•子洲县校级一模）如图，在海面上，点处有一艘供给船，在的正东方向，供给船从点向北偏东方向行驶了100海里到达补给点，卸载完物品后接着向北偏西继续行驶，到达补给点，此时点恰好在点的北偏东位置上，则，相距多少海里？（结果保留根号）
【答案】，相距海里．
【分析】过作，过作，根据平行线的性质得到，得到，过作，得到，过作于，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过作，过作，
，
，
，
过作，
，
，
过作于，
，
（海里），
（海里），
海里，
答：，相距海里．
热点考题
一、选择题（共6小题）
1．（2023•衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为．当时，则点到桌面的最大高度是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案
【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
在中，，
在中，，
点到桌面的最大高度，
故选：．
2．（2023•哈尔滨）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点，若，，则的长为
A．2B．4C．6D．8
【答案】
【分析】由易得，根据相似三角形的性质可得，于是，求出，易得为的中位线，则．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，是的中点，
为的中位线，
．
故选：．
3．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，现以原点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形△，则顶点的坐标是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：与△位似，△与的相似比为，
与△位似比为，
点的坐标为，
点的坐标为，即，
故选：．
4．（2023•河北）在和△中，，，，已知，则
A．B．C．或D．或
【答案】
【分析】分两种情况讨论，当时，则△，得出，当时，如图，利用等腰三角形的性质求得，从而求得．
【解答】解：当时，△，
，
当时，如图，
，
，
，
或，
故选：．
5．（2023•德阳）如图，在中，，，，，点是边的中点，则
A．B．C．2D．1
【答案】
【分析】先在直角中利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，最后利用三角形的中位线定理求出．
【解答】解：，，，
，
，，
，
，点是边的中点，
．
故选：．
6．（2023•天津）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．若，，，则的长为
A．9B．8C．7D．6
【答案】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，再结合已知易得，从而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故选：．
二、填空题（共2小题）
7．（2023•山西）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．若，，，则的长为 ．
【答案】．
【分析】过作于，延长，于，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出，证明，得到，根据等腰三角形的性质得出，证明，得到，求出，根据勾股定理求出，根据，得到，即，求出结果即可．
【解答】解：过作于，延长，于，如图所示：
则，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得．
故答案为：．
8．（2023•重庆）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 3 ．
【答案】3．
【分析】先证明，根据全等三角形的性质可得，，进一步可得的长．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
，
故答案为：3．
三、解答题（共4小题）
9．（2023•陕西）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．
【答案】见解析．
【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【解答】证明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
．
．
10．（2023•兰州）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点和，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．请写出平分的依据： ；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点，重合，则过角尺顶点的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到岔路口的距离和休息椅到岔路口的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）；
（2）理由见解析；
（3）图形见解析．
【分析】（1）由等边三角形的性质得，再证，得，即可得出结论；
（2）证，得，即可得出结论；
（3）先作的平分线，再在上截取即可．
【解答】解：（1）是等边三角形，
，
又，，
，
，
是的平分线，
故答案为：；
（2），，，
，
，
射线是的平分线；
（3）如图，
点即为所求的点．
11．（2023•扬州）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和△，，，设．
【操作探究】
如图1，先将和△的边、重合，再将△绕着点按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．
（1）当时， 2 ；当时， ；
（2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取的中点，将△绕着点旋转一周，点的运动路径长为 ．
【答案】（1）2，30或210；
（2）两块三角板重叠部分图形的面积为；
（3）．
【分析】（1）当时，，，共线，，，共线，可得是等边三角形，故；当时，过作于，分两种情况画出图形，可得答案；
（2）画出图形，可得，，故，同理，从而两块三角板重叠部分图形的面积为；
（3）连接，由，为中点，知，故的运动轨迹是以为直径的圆，用圆周长公式可得答案．
【解答】解：（1）如图：
，，
，
当时，，，共线，，，共线，
，
是等边三角形，
；
当时，过作于，
如图：
，
，
，
，
，
；
如图：
同理可得，
，
当时，或；
故答案为：2，30或210；
（2）如图：
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
同理，
两块三角板重叠部分图形的面积为；
（3）连接，如图：
，为中点，
，
的运动轨迹是以为直径的圆，
点的运动路径长为．
故答案为：．
12．（2023•益阳）如图，在中，，，点在边上，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点，作于点，与线段交于点，连接，．
（1）求证：△；
（2）求证：；
（3）若，，当平分四边形的面积时，求的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）．
【分析】（1）利用证明；
（2）要证，也就是证明，但“两个角对应相等”的条件不够，所以想到“夹角相等，对应边成比例”，只要证明即可．
（3）设，利用建立方程求解．
【解答】（1）证明：，，
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△；
（2）证明：，，
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（3）解：，，
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设，则，，
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△△，
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，平分四边形的面积，
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，（舍，
专题热度
★★★★★
命题热点
1．三角形基础
2．特殊的三角形
3．勾股定理及逆定理
4．全等三角形
5．相似三角形
6．解三角形
热门方法
直接法、等面积法、数形结合思想
热点题型
选择题、填空题、解答题
名师点拨
1．三角形的高、中线、角平分线
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
定义
如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高．
如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．
如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线．
推理语言
∵是的高，
∴，
（或）．
∵是的中线，
∴．
∵是的角平分线，
∴．
用途举例
（1）得到线段垂直；
（2）得到角相等．
（1）得到线段相等；
（2）得到面积相等．
得到角相等．
2．多边形内角和定理：
边形内角和等于．正多边形的每个内角的度数为．
3．三角形三边之间关系的应用：
（1）在判断三条线段能否组成三角形时，若两条较短线段的长的和大于最长线段的长，则三条线段可以组成三角形；否则，不可以组成三角形．
（2）已知三角形的两边长，求第三边长的取值范围时，若三角形的已知两边长分别为，，则第三边长的取值范围是．
4．当三角形中已知角之间存在数量关系，求某角的大小时，一般要用一个角表示其他角并根据三角形内角和为180°，列方程来解决．
（1）三角形内角和定理的证明思路是通过平行线将三角形的内角进行转化，可从构造平角、构造邻补角、构造同旁内角这几方面进行思考．
（2）因为三角形内角和为，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角．
名师点拨
1．等腰三角形
（1）应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．
（2）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．
2．等边三角形
（1）判定等边三角形时常用的选择方法：
若已知三边关系，一般选用：三边都相等的三角形是等边三角形；
若已知三角关系，一般选用：三个角都相等的三角形是等边三角形；
若已知该三角形是等腰三角形，一般选用：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
3．含30°角的直角三角形
（1）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．
名师点拨
1．已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式．
2．勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题．
3．勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形．
4．利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形．
5．利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤：
①确定三角形的最长边；
②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；
③通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；
④作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形．
6．勾股数
（1）常见的勾股数有：
①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15．常见的勾股数需牢记，平时在解决问题时常用，有利于打开思路．
（2）用含字母的代数式表示组勾股数：
①（为正整数）．
②（为正整数）．
③（，为正整数）．
注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数．
名师点拨
1．判定两个三角形全等常用的思路方法如下：
2．找等角的常用方法证三角形全等时，常见的隐含等角有
（1）公共角；
（2）对顶角相等；
（3）等角加（或减）等角仍得等角；
（4）角平分线得两等角；
（5）同角（或等角）的余角或补角相等；
（6）平行线得同位角、内错角相等；
（7）垂直定义得两角相等；
（8）一些自然规律：“太阳光线可以看作是平行线”“光的入射角等于反射角”等也是常见的隐含条件．
3．根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出全等三角形的对应边和对应角是解题关键．
4．全等三角形的性质
（1）全等三角形性质的应用：可用来证明两条线段相等，两个角相等．
（2）平移、折叠、旋转属于全等变换，都能产生全等图形，利用全等的性质得到对应边相等、对应角相等解决问题．
名师点拨
1．判定定理
判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
判定定理2：三边成比例的两个三角形相似．
判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似．
2．判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定定理1；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定定理1]或再找夹边成比例[用判定定理2]；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
3．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，这里要特别注意“对应”，在应用时，要注意找准对应线段．
名师点拨
1．特殊角的三角函数值
三角函数
30°
45°
60°
1
2．直角三角形的边角关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
（2）锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
（3）边角之间的关系：
sin A＝eq \f(a,c)，cs A＝eq \f(b,c)，tan A＝eq \f(a,b)，
sin B＝eq \f(b,c)，cs B＝eq \f(a,c)，tan B＝eq \f(b,a)．
可以简记为“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”．
3．解直角三角形的应用
（1）仰角与俯角
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
（2）坡角与坡度
坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比），常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．