中考数学压轴题专项训练03圆含解析

圆

1．【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，∴AE=ED；
 

（2）解：连接CD，OD，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=30°，

∴∠AOC=∠OCB+∠OBC=60°，
∵OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD=30°，

∴∠COD=2∠CBD=60°，∠ABD=60°，
∴∠AOD=120°，
∵AB=6，
∴BD=3，AD=3，
∵OA=OB，AE=ED，
∴OE＝BD＝，
∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD==．

2．【解析】（1）和是所对圆周角，

；

AB是圆的直径，

，

在中，，

，

，

，

，AE是⊙O的切线．

（2）如图：

AB是圆的直径，DC平分∠ACB，

，，

，

，是直角三角形；

，，

．

3．【解析】（1）证明，

．

∵平分，

，

，

．

，

，

∴是的切线；

（2）证明：连接NE，

∵为的直径，

∴．

，

．

，

，

，

．

4．【解析】解：（1）连接DN，ON

∵⊙O的半径为，
∴CD=5
∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD=CD=AD=5，
∴AB=10，
∴BC==8
∵CD为直径
∴∠CND=90°，且BD=CD
∴BN=NC=4
（2）∵∠ACB=90°，D为斜边的中点，
∴CD=DA=DB=AB，
∴∠BCD=∠B，
∵OC=ON，
∴∠BCD=∠ONC，
∴∠ONC=∠B，
∴ON∥AB，
∵NE⊥AB，
∴ON⊥NE，
∴NE为⊙O的切线．

5．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠BAC=30°，点D是弦AC上的一点．

（1）若OD⊥AC，求OD长；

（2）若CD=2OD，判断形状，并说明理由．

【解析】解：（1） AB为⊙O的直径，

AB=8cm，∠BAC=30°，

OD⊥AC，

，

（2）是等腰三角形．理由如下：

如图，过作于 连接

设 则

由勾股定理可得：

是等腰三角形．

6．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点．

（1）如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度；

（2）如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点．求证：ME⊥AC．

【解析】解：（1）如图1，连接OC．

∵ AE=4，BE=2，

∴AB =6，

∴CO =AO=3，

∴OE =AE-AO=1，

∵CD⊥AB，

∴ CE=

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴CE=DE，

∴ CD=2CE=．

（2）证明：如图2，延长ME与AC交于点N．

∵CD⊥AB，

∴∠BED=90°．

∵ M为BD中点，

∴EM =BD =DM，

∴∠DEM=∠D，  

∴∠CEN=∠DEM=∠D．        

∵∠B=∠C，

∴∠CNE =90°，

即ME⊥AB．

7．如下图所示，在直角坐标系中，以为圆心的与轴相交于两点，与轴相交于两点，连接．

（1）上有一点，使得．求证；

（2）在（1）的结论下，延长到点，连接，若，请证明与相切；

（3）如果，的半径为2，求（2）中直线的解析式．

【解析】解：（1）由题意可知，，

又因为，所以，

故∽，

所以，

（2）连接，则，

因为，，

故，

即，所以与相切．

（3），，所以，

，

所以，均为等边三角形，它们的高分别是，

故点的坐标为；点的横坐标为，纵坐标为，

设的直线为，则，

所以，所以直线的解析式为．

8．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；

（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tanF＝，BC＝5，求DM的值．

【解析】（1）连接OE，则∠OCE＝∠OEC＝，

∵FE＝FG，

∴∠FGE＝∠FEG＝，

∵H是AB的中点，

∴CH⊥AB，

∴∠GCH＋∠CGH＝＋＝90°，

∴∠FEO＝∠FEG＋∠CEO＝＋＝90°，

∴EF是⊙O的切线；

（2）∵CH⊥AB，

∴

∴∠CBA＝∠CEB，

∵EF∥BC，

∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，

∴∠FBE＝∠GBE，

∴△FEB∽△EGB，

∴

∴；

（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，

设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝，则tan＝，

∵EF∥BC，

∴∠FEC＝∠BCG＝，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，

在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tan＝，

则sin＝，cos＝，

CH＝BCsin＝5×＝3，同理HB＝4；

设圆的半径为r，则OB2＝OH2＋BH2，

即r2＝（r﹣3）2＋（4）2，解得：r＝；

GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，

tan∠GCH＝，则cos∠GCH＝，

则tan∠CGH＝3＝tan，则cos＝，

连接DE，则∠CED＝90°，

在Rt△CDE中

cos∠GCH＝，解得：CE＝，

在△FEG中，cos＝，

解得：FG＝；

∵FH＝FG＋GH＝，

∴HM＝FHtan∠F＝×＝；

∵CM＝HM＋CH＝，

∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．

9．（1）如图①，的顶点O重合，且，则∠AOB+∠COD=______°；（直接写出结果）

（2）连接，若分别是四边形的四个内角的平分线.

①如图②，如果，那么的度数为_______；（直接写出结果）

②如图③，若，与平行吗？为什么？

【答案】（1）180；（2）①；②，理由见解析.

【解析】（1）,可得；

（2）①结合,可得 ；

②，

理由是：因为分别是四边形的四个内角的平分线，

所以.

所以

在四边形中，.

所以

在中，.

在中，.

所以.

所以

所以.

因为，

所以

在中，.

因为，

所以.

所以.

所以

10．如图1，设是一个锐角三角形，且，为其外接圆，分别为其外心和垂心，为圆直径，为线段上一动点且满足．

（1）证明：为中点；

（2）过作的平行线交于点，若为的中点，证明： ；

（3）直线与圆的另一交点为（如图2），以为直径的圆与圆的另一交点为．证明：若三线共点，则；反之也成立．

【解析】解：（1）连接，则，

又为垂心

∴，

∴

∴四边形为平行四边形

∴，又为中点

∴为中点

（2）过作

连接，由（1）可知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形

∵

∴

∴为垂心

∴

∴

（3）设与交点为

由（1）可知四边形为平行四边形

∴为直径中点

而圆与圆相交弦为

∴

∴

设

则为垂心

∴

三线共点三点共线

11．如图，是的直径，是的弦，交于点，连接，过点作，垂足为，．

（1）求证：；

（2）点在的延长线上，连接．

①求证：与相切；

②当时，直接写出的长．

【解析】（1）证明：

，

即

（2）①连接

即

是的半径

与相切

②如图，

∵BC为直径，EF⊥AB，

∴∠BAC=∠BFE=90°，

∴AC∥FE，

∴，

∵CE=4，

∴BE=10，

∴BC=14，

∴OA=OC=7，

∴，

在Rt△AOE中，由勾股定理，得

，

∵，，

∴△AEO∽△GEA，

∴，即，

∴，

∴．

12．如图，是的直径，点是弧的中点．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若于点，交于点，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于，连接，交于、交于点，已知，，求的长．

【解析】解：（1）连接，∵点是弧的中点，

∴弧弧∴

∵∴；

（2）延长交于点，连接．

∵，是的直径∴弧弧

∵弧弧∴弧弧

∴∴；

（3）连接

∵是的直径∴

设∴

∵弧弧∴

∵∴

∴

∴

∴

连接，作于点

∵∴，

，∴

∵弧弧∴，

∵是的直径，∴

∴∴

∴，∴

由（1）知，，

∴，

∴∴

∵∴，

∴

，，

作于点，连接

∴∴

，

∴，

∴，

四边形是矩形，∴．