最新中考几何专项复习专题06 半角模型知识精讲

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
半角模型知识精讲
1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.
简证：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合，
通过证明△AEF≌△AEG即可得到BE＋DF＝EF.
2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.
简证：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合；将△ABE绕点A逆时针旋转90º得到△ADH，使得AB与AD重合.
∵旋转，∠1＝∠H，又∵△AFE≌△AFH，∴∠2＝∠H，∴∠1＝∠2；
∵旋转，∠4＝∠G，又∵△AEF≌△AEG，∴∠3＝∠G，∴∠3＝∠4，
即AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.
3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则.
简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明.
4.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.
简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.
5.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则.
简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，则＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.
6.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.
通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.
7.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME △DFN △AMN △BAN △DMA △AFE.
简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.
8.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，
又∵△AMN△AFE，∴.
【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到.
9.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.
10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：设，在Rt△CEF中，
，化简得，.
11.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF最小，最小，最大.
证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.
∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，
，，
∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF、均有最小值，有最大值.
12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：由结论8可得△△ECA△NDA，，
，
同理可得.
补充：等腰直角三角形与“半角模型”
如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.
证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.
∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，
在△DCE与△中，
，∴ED＝，
∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.